Voy. G. Kœnigs, Cinémalique, Notes

ment dans l'étude de la mécanique concrète (cyeloïde, chainette, etc.).

La distinction que nous venons de faire était déjà connue des anciens. Pour eux aussi tous les problèmes étaient ou géométriques ou mécaniques. Mais ils n’admettaient dans la géométrie que les problèmes relevant de la ligne droite ou du cercle, rejetant au rang des questions mécaniques toutes celles qui impliquent le tracé d’une courbe de degré supérieur (à l'exception peut-être des coniques, qui finirent par être reçues dans la géométrie proprement dite). Une telle façon de voir s'explique en un temps où l'algèbre n'existait pas, et où la notion de degré, très confusément entrevue, ne permettait pas encore un classement général des courbes. Il faut laisser à Fermat et surtout à Descartes, le mérite d’avoir compris Île parallélisme fondamental entre les équations de degré successif et les courbes de plus en plus complexes. Descartes explique très clairement que la construction d'une courbe d'ordre n et la résolution d’une équation de même ordre sont deux problèmes équivalents, et, avec une assurance que les progrès de l’Algèbre ont partiellement démentie, il ajoute que les unes et les autres peuvent se construire par des combinaisons d’ordre inférieur à n. En tous cas, il classait les problèmes comme il classait les courbes par ordre de complexité croissante en même temps que le degré. Pour lui une équation d'ordre n est par définition moins simple qu'une équation d'ordre n — 1, le degré algébrique étant l'exacte mesure de la difficulté logique. Enfin Descartes, bien qu'il ne le dise pas expressément, laisse entendre que les problèmes algébriques, même les plus compliqués, sont plus simples que ceux dont le degré est infini : ce sont ces derniers qu’il appelle mécaniques et que nous nommons transcendants!.

1. CE Le début de l'ouvrage de Newton, Enumeralio linearum Terlit Ordinis, Londres, 1706.

La distinction des courbes et des nombres algébriques et transcendants se trouve aussi faite avec une grande netteté dans les Principes mathématiques de la Philosophie naturelle, L. I. S. 6, lemme, XXVIIL, p. 416. Ce lemme a pour objet de démontrer que « les parties quelconques de toute figure ovale, déterminées par les coordonnées ou par d’autres droites tirées à volonté, ne peuvent jamais être trouvées par aucune équation d’un nombre fini de termes et de dimensions. »

Cette classification si élégante et si conforme à l'idée cartésienne de la simplicité semble à Newton théoriquement parfaite. Mais en pratique elle fait trop souvent sacrifier à une simplicité apparente, exprimable par le degré, la simplicité réelle qui ne l’est pas.

Si le seul fait de posséder l'équation d'un problème suffisait à satisfaire notre curiosité, il est clair que nous pourrions juger de la simplicité de ce problème par le degré de l'équation à laquelle il conduit. Mais, nous le savons, le but de l'algèbre cest différent : elle doit nous permettre de lire dans l’équation les propriétés concrètes de l’objet. L'équation, prise en ellemême, n’est qu'une formule plus précise de ce que nous sentions à l’avance. Pour nous apprendre une vérité nouvelle, il faut qu'elle présente à notre intuition un ensemble de rapports que limperfection du langage ordinaire n'aurait pu exprimer. Donc on ne peut la séparer de la figure qui lui correspond, celle-ci « n'est point une équation, c’est une peinture soit « géométrique, soit mécanique par laquelle on exprime des « idées pour les rendre faciles à concevoir. »t. Il suit de là immédiatement qu'une équation, pour être simple, doit représenter une figure simple. A cet égard il est juste de dire qu'une équation de degré supérieur sera généralement parlant moins simple qu'une autre de degré plus petit. Mais cette règle n’a rien d’absolu. Le degré, qui est assurément la mesure exacte de la complexité algébrique, n'a par contre rien de commun avec la complexité géométrique. Une fonction comme le sinus, qui est d’une complication inextricable pour l'algèbre, représente une courbe, la sinusoïde, qui est une des plus simples de la géométrie. On peut même, en suivant Newton, faire un pas de plus. Si la simplicité algébrique était le critérium unique, on ne sait pas pourquoi on se limiterait à classer les équations d’après le degré. A l’intérieur même de chaque degré, il faudrait classer les équations d’après la simplicité de leur forme extérieure. C’estun des problèmes difficiles de l'analyse que la réduction de l'équation générale d'ordre n à un certain nombre de types canoniques. En ce qui concerne le 3° degré, Newton a complètement résolu le problème dans son Enume-