Arith. Univ. p

siste à faire cette détermination de façon que la relation fonctionnelle soit la plus simple possible, et par suite la mieux adaptée aux calculs d'élimination.

C'est donc le choix des variables auxiliaires qui est la grande tâche de l'analyste. Ce choix ne peut se faire tout d’abord d'une façon rationnelle, car si l'issue en était méthodiquement prévue, le problème serait résolu d'avance. Il est inévitable qu'il s'inspire d'une part de sentiment, ou qu'il y entre, si l’on préfère, une part d'hypothèse. C’est un sentiment, nécessairement très général, de la continuité, c’est une habitude, le plus souvent instinctive, de l’allure des fonctions, qui doit nous guider. Les quantités qu'il est indiqué de prendre comme variables auxiliaires sont celles qui présenteront la route la plus facile pour arriver à la connaissance des autres, la route inverse étant en même temps la plus difficile‘. Ce sont elles qu'il convient d'adjoindre au domaine des données primitives, jusqu'à ce que l'inconnue elle-même s'exprime rationnellement dans le nouveau domaine. Cette adjonction est chose d'estime. Il n’est pas nécessaire de connaître du premier coup d’œil par quelle marche le calcul algébrique nous conduira d'une quantité à l’autre ; il suffit de sentir en général que l’une peut être déduite de l’autre par un moyen quelconque.

S'il entre ainsi une part de divination et presque un élément d’art dans la science du calcul, que devient cette « longue chaïne de raisons » par laquelle Descartes espérait nous mener des vérités simples jusqu'aux plus composées ? Pourrons-nous dire que les vérités simples ne se trouvent qu'au début de la science, et qu'on peut apprécier la complexité d'un théorème en jugeant de son éloignement dans la série ? Il faudrait dire alors que tous les théorèmes sont de même importance, puisque l’omission d’un seul rend caducs tous ceux qui le suivent. I] faudrait dire aussi qu'il existe une seule voie pour les démontrer tous, celle qui va des propositions initiales, à travers

4. Arith. Univ., p. 118 : « C'est toujours par ces lignes que le calcul doit commencer, quoique dans le cours de l'opération on puisse en introduire d'autres. Le moyen le plus court d'arriver au but, est de mettre pour un moment de côté la question qu'on veut résoudre, et de s'imaginer qu'il ne s’agit uniquement que de choisir, parmi toutes les quantités qui doivent entrer dans le problème, celles qui, étant connues, mèneront plus facilement à la connaissance des autres. »

d'autres propositions, de plus en plus nombreuses, jusqu'à la conclusion nouvelle,

Une telle idée, appliquée aussi bien à la géométrie qu'à l'algèbre, en ferait des sciences rigoureuses, mais forcément stériles. Malgré les efforts tentés par Descartes pour accoutumer l’esprit à posséder d'emblée toute la science, il est évident qu'en pratique l’art des découvertes exige autre chose. Sans doute la démonstration d'un théorème devient chose relativement simple lorsqu'on a présent à l'esprit le théorème compliqué qui le précède, mais il arrive toujours un moment où le théorème nous manque. Il vaut mieux, d'après Newton, garder comme repères plusieurs propositions très simples, faciles à retrouver, quitte à briser un peu la chaïne des démonstrations. N'est-ce pas un fait remarquable que certains théorèmes interviennent sans cesse dans nos déductions, alors que d’autres, souvent aussi simples, demeurent dénués d’application ? Ce sont les premiers à coup sûr qui seront les plus importants, ce sont eux aussi qui seront vraiment les plus simples. Ainsi en Géométrie les problèmes les plus difficiles pourraient être résolus par ces deux théorèmes : la composition des lignes par le moyen de leurs parties (parallélogramme des segments) et la similitude des triangles. Pour Newtonil n'y aurait même pas nécessité d'en employer d'autres, puisque ceux-ci suffisent à tout.

On reconnait là une conséquence du rôle attribué par Newton à l'instinct mathématique : l'instinct ne peut être sollicité que dans un petit nombre de directions spéciales. Une fois dirigé dans une certaine voie, il est capable de la poursuivre jusqu'au bout, mais l'impulsion première qui le détermine ne peut provenir que d’intuitions vagues, fondées sur des données familières. Par suite il faut chercher avant tout la simplicité pralique. Celle-ci réside dans l'emploi de moyens exactement proporlionnés au but poursuivi. Le calcul mécanique qui transformera les équations sera peut-être long et pénible. La soluton n’en sera pas moins la plus simple si la part de difficulté

réelle y est réduite au minimum, c’est-à-dire si l'établissement des formules repose sur des analogies faciles, claires et toujours les mêmes !.

1. Arilh. Univ., p. 121 : « L'analyste doit avoir en réserve ces moyens

Puisque la simplicité n'a qu'un sens pratique, quelle idée devons-nous nous faire de l'application de l'Algèbre à la Géométrie et de la classification des problèmes telle qu’elle était entendue par l’école cartésienne? Il faut savoir d'abord que dans cette école, à l'exemple de ce qu'avait fait Descartes, on classait toutes les questions en deux groupes, les problèmes géométriques et les problèmes mécaniques. L'origine de cette distinction se trouve dans quelques théorèmes énoncés par Descartes à la fin de sa géométrie. Chaque fois qu'un problème, mis en équation, donne lieu à un nombre fini de formules algébriques, il est possible, d'après les lois de l'élimination, de le ramener à une équation algébrique unique, dont l'interprétation est immédiate : la grandeur inconnue peut se construire, en partant des quantités connues, à l’aide d'opérations géométriques, c'est-à-dire en menant des droites parallèles ou en construisant des triangles rectangles. Lorsque ces opérations ne peuvent se faire directement sur les lignes données, elles peuvent du moins s’effectuer sur des paramètres auxiliaires, qui sont eux-mêmes susceptibles d’être construits géométriquement à partir des données. Il faut alors construire non seulement des triangles, mais des courbes auxiliaires, guidées par des triangles. C’est le sens du théorème entrevu par Descartes, et démontré depuis d’une manière générale par Kempe, que toute racine d’une équation algébrique peut se construire par un mécanisme cinématique’. Le xvn*siècle entendait donc par problèmes géométriques ceux que nous nommerions maintenant algébriques. Au contraire, il désignait sous le nom de questions mécaniques, non pas celles dont la résolution implique le tracé mécanique d'une courbe, — on vient de voir que cette propriété appartient aussi bien aux questions géométriques, — mais celles qui ne pouvaient se résoudre par des courbes purement algébriques. C’est l'équivalent des problèmes qu'on nomme aujourd'hui transcendants, et leur dénomination leur venait sans doute de ce qu'on les rencontre immédiate-

{compliqués) et d’autres semblables pour les cas de besoin ; mais il ne doit en user qu'avec économie et leur préférer autant qu'il pourra des principes plus simples, dussent-ils rendre le calcul un peu plus difficile. »