CHAPITRE II

LORIGLNE DU CALCUL DES FLUXIONS

C'est un fait général dans l'histoire des idées que Tinfluence exercée par les sciences exactes sur les progrès de la philosophie. Une telle influence n'a pu être douteuse que dans les «ièclesde mysticisme ou aux époques de bouleversement moral qui ont signalé les crises de l'histoire. Il est clair que le moyen âge, aveuglé par la foi, les contemporains d'Kpicure ou de "Zenon, désireux surtout de sérénité morale, les poètes-philosophes d Alexandrie, attendant d un amour divin toute paix intellectuelle, devaient ailleurs que dans la science chercher d'obscures inspirations. Et encore ne faudrait-il ici affirmer •qu'avec réserve. Le labeur scientifique du moyen âge a été plus grand qu'on ne dit généralement \ et son influence sur la philosophie scolastique s'est montrée directe et profonde. Epicure ou Lucrèce, tout en méprisant la science, s'en servent à <îhaque instant, et l'on peut dire que leur morale môme est remplie de piîvsique et de mathématiques. En tous cas, de Platon jusqu'à Kant, chaque système rationnel de philosoi)hie s'est vu accompagné d'un système scientifique nouveau, comme aussi chaque progrès dans les sciences a entraîné une modification <lans la vue d'ensemble qu'on se faisait de l'univers.

Il est une remarque qu'il faut ajouter. Si les sciences ont dû quelque chose aux progrès de l'esprit philosophique, c'est presque toujours dans leur parlie concrète ou appliquée. Les idées toutes formelles d'Aristote sur la matière et l'être ont marqué d'une profonde empreinte - les premières recherches sur la

4. Cf. par exemple Canlor, CMesch. d. Mat hem, t. II. -2. Voy. Lange, Hist. du Matérialisme, V. I.

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physique. Démocrite, par sa théorie du monde autant que par ses essais d'expériences, a été, comme l'a fait voir M. Berthelot, le véritable initiateur de la chimie. L'école néo-académicienne et l'école sceptique ont introduit l'esprit critique en médecine. Les préceptes logiques de Bacon ont servi de règle aux sciences expérimentales.

Au contraire, si nous nous demandons quelles sciences ont aidé le plus au développement des idées philosophiques, nous verrons que, toujours et partout, ce furent les sciences matKématiques. L'arithmétique dePythagore a donné aux anciens la première notion de l'harmonie naturelle. La géométrie était pour Platon le passage nécessaire de l'erreur à la sagesse. Les progrès de l'algèbre ont amené Descartes à la recherche d'une méthode philosophique possédant à la fois la clarté et la rigueur. Spinoza, Leibniz, Kant ont tiré de leurs idées sur l'étendue les véritables prémisses de leurs systèmes. Il semble qu'il y ait là une loi générale, d'après laquelle les idées de rapports sont les plus propres à servir de base aux autres. La manière dont nous concevons la grandeur, la continuité, les relations de figure, la réalité que nous donnons à nos expressions et à nos formules, déterminent le fond môme de nos idées. Le sens des conceptions les plus simples varie selon le cadre où nous les plaçons, et le système qui semblait évident au disciple d'Aristote parce qu'il croyait vivre au centre d'une sphère finie, semblera impossible au philosophe moderne, par cela seul que la géométrie l'a rendu familier avec la notion d'étendue

sans limites.

L'invention du Calcul Infinitésimal, qui a rendu possible la théorie des fonctions, est une de ces découvertes mathématiques dont le contre-coup était inévitable sur la marche des idées. Si l'on considère la philosophie de Descartes, dont l'auteur croyait à coup sûr qu'elle répondraitpendant longtemps à toutes les exigences de l'esprit moderne, et si l'on se demande pourquoi, trente ans après la mort de Descartes, son système n'avait plus d'adhérents que parmi les obstinés ou les retardataires, on est obligé d'admettre l'explication que iournit l'histoire : la méthode de Descartes, entièrement inspirée de ses découvertes mathématiques, avait été un instrument utile tant que ces découvertes ne lurent pas dépassées. Sa géométrie, et surtout son Blocu. 3

algèbre, sa manière de discuter les équations, de classer les courbes, de construire graphiquement les problèmes, étaient autant d'innovations dont on ne saurait nier l'importance et qui, avec les travaux de Fermât, ont fait progresser les mathématiques plus que des siècles n'avaient fait. Descartes avait donc eu raison lorsqu'il s'en était inspiré pour trouver une méthode universelle. Sa philosophie, ayant la môme certitude que celle dont la géométrie se pique, et profitant à sa façon du progrès immense accompli par cette science, était naturellement faite pour donner confiance. Il était difficile de croire qu'après une réforme si importante ne vînt pas une période d'évolution paisible, où la philosophie d'une part, les mathématiques de l'autre, se développeraient spontanément dans le sens marqué par Descartes.

C'est cependant le contraire qui eut lieu. Les mathématiques, orientées par Fermât et Descartes, venaient de recevoir une impulsion qui devait aller en s'accélérant. Comme Descartes avait cru trouver dans l'algèbre linstrument tout-puissant de la raison, les précurseurs de Newton et de Leibniz, tentèrent de chercher dans un symbolisme nouveau le moyen d'aborder des problèmes imprévus. C'est par la physique que commencèrent à se faire jour les lacunes de la théorie cartésienne ; ce sont aussi les hypothèses physiques de Descartes qui amenèrent d'abord la refonte de sa ggométrie. Le but essentiel du cartésianisme avait été de rendre les mathématiques immédiatement applicables à la réalité, telle du moins que le concevait l'esprit constructif du maître. On peut dire que le même but est celui de Newton, puis de son école. Mais l'esprit d'observation propre à celle-ci l'obligea voir la réalité dune laçon moins simple et moins schématique. Les relations numériques entre les objets, c'est-à-dire l'algèbre proprement dite, ne représentent que l'aspect momentané des choses, l'ordre universel tel que le conçoit l'intuition cartésienne. Les lois du changement et du mouvement ne peuvent s'élucider par l'Algèbre toute seule. La continuité qui y préside a besoin d'une expression spéciale, et c'est la Géométrie Infinitésimale qui va la fournir ^

1. « C'est l'étude scientifique des phénomènes naturels qui avait guidé Newton et Leibniz, comme leurs prédécesseurs, jusqu'à leurs découvertes

L'ORIGINE DU CALCUL DES FLUXIONS

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L*idée d'une « Géométrie des Infinis » n'était pas absolument nouvelle. Sans remonter aux premiers aperçus que nous ont laissés les anciens eux-mêmes, on sait que dès le xiv® siècle, les géomètres s'étaient préoccupés de l'idée de limite. Campanus^ et Thomas de Bredwardin^ dîVddani, semble-t-il, rencontré d'insurmontables difficultés à définir l'angle suivant lequel une droite coupe une courbe, principalement au cas où la droite est mobile et tend, à la limite, vers l'une quelconque des tangentes k la courbe. Cette difficulté ne fut surmontée que deux siècles plus tard par les travaux de Cardan, Dans son Opus nomim de proporlionibus, publié àBàle en 1570, on trouve la définition rigoureuse de l'angle de contact ou de contingence. C'est l'angle que forme une courbe avec sa tangente regardée comme limite de sécantes infiniment voisines. Une telle notion avait été suggérée à Cardan par l'étude de l'intersection des courbes. Si nous convenons de mesurer l'angle de deux courbes par l'angle des tangentes au point commun, il estclair qu'entre deuxcercles par exemple, nous pourrons en insérer une infinité d'autres se coupant sous des angles de plus en plus petits rilsuftira de diviser en un nombre croissant de parties égales l'angle des tangentes primitives et de considérer les droites de division comme les tangentes à des cercles nouveaux. Nous obtenons de la sorte des angles « indivisibles », c'est-à-dire infiniment petits, dont la somme reproduit l'angle donné. Mais que devient la construction si les deux cercles sont déjà tangents? Est-il possible de mener entre un cercle et sa tangente un autre cercle faisant avec la tangente un angle moindre que le premier? Cardan répond très hardiment que tous les cercles intercalés entre un cercle donné et sa tangente forment, aussi bien avec la courbe qu'avec la droite des angles égaux. Ces angles ne sont pas de grandeur finie, ce sont les « indivisibles » de tout à l'heure. Et si l'on demande comment il est possible qu'un angle évanouissant (celui do la sécante et de la tangente) demeure supérieur

définitives : une fois acquises les deux notions dintégrale et de différentielle, c'est encore l'étude de la nature qui devait en diriger les premières applications. » — Painlevé, le Problème moderne de Vintéqration des équalions différentielles [Bull, des Se. Math., T. XXVIII. p. 193).

1. Jean Campanus de Novare, chapelain du pape Urbain IV de 1261 à 1281.