Procurateur de l'Université d'Oxford vers

-tï-i-, ^

à un angle fixe (celui de la tangente et du cercle), nous dirons que ce dernier, pris à la rigueur, est exactement nul. Aussi bien ce qui nous intéresse n'est pas son évaluation directe, c'est la manière dont on s'en rapproche. Lorsque la sécante tend à se confondre avec la tangente, l'angle de ces deux droites tend lui aussi vers zéro, ce qui n'empêche que la variation plus ou moins rapide dcTangle de contingence, c'est-à-dire d'une quantité constamment mobile, peut donner l'idée d'une propriété fixe de la courbe, savoir de sa courbure ^ Cardaiî,pii\s Pelelier, partirent de là pour construire les tangentes et les normales

aux courbes.

Vers la fin du xvi° siècle et au commencement du xvn* siècle des considérations d'un ordre tout différent amenèrent les mathématiciens à la nécessité d'une géométrie infinitésimale. Les sciences physiques et astronomiques se voyaient arrêtées dans leur développement par l'absence de moyens analytiques propres à mener à bout leurs calculs. La découverte du théorème des aires, dont les applications devaient être si fécondes, posa tout de suite le problème des quadratures planes. L'étude des solides planétaires, des volumes de révolution, dont l'astronomie faisait si souvent usage, obligeait à l'emploi de cubatures dont Archimède n'avait pu donner la méthode. De là les célèbres recherches tentées par Kepler et Guldin- en vue de mesurer les solides par des méthodes analogues à celles dont Archimèdes'était servi pour évaluer les aires. C'est dans sa5/ereoniPlria Dolioruyn que Kepler a donné l'essentiel de ses artifices avec quelques exemples importants (quadrature du cercle, cubature du tore, volumes des solides ayant la forme « d'une poire, d un citron, d'une olive^ »). Il est douteux que Kepler ait possédé une méthode infinitésimale véritable, et l'on peut supposer que dans bien des cas il avait appliqué à la géométrie

i. « Ciim ergo circuli ciirvitas maneat, et angiilus tendat in piinctum perpétua diminutione, necesse est ut curvitas circuli impediat divisionem recte. » — Opus Soviim de Proportionibus, L. XVI, De sublililate.

2. Paul Guldin il577-1643), né à Saint-Gall, débuta comme orfèvre, puis entra dans l'ordre des Jésuites (1597). Il enseigna à Rome, à Vienne et à Graz. C'est dans l'ouvrage en 4 volumes intitulé Cenh-abaryca (l63b-16U) qu'il énonça la fameuse « règle de Guldin » desUnée à ramener aux quadratures les cubatures de révolution.

3. Voy. Opéra KepUri, Ed. Frisch, T. IV, p, 551-646, et Chastes, Aperçu Historique, p. 56.

L'ORIGINE DU CALCUL DES FLUXIONS lî

un procédé de tâtonnement et d'approximation sembléiMe-à celui qu'il employait en astronomie. On sait que les lois portanl son nom ont été le fruit d'inductions laborieuses, fondées sùf l'accumulation des expériences. Il semble admissible qu'un tel observateur, plus soucieux de vérification que de démonstration, ait cherché à essayer des formules dont l'expérience lui fournissait le contrôle. Il ne prétendait pas, de son propre aveu, être « apodictique », et il a énoncé parfois des théorèmes inexacts en invitant d'autres à en chercher la démonstration. Ce qu'il faut reconnaître chez Kepler, ce n'est donc pas un pressentiment exact du calcul infinitésimal, c'est plutôt un ensemble d'intuitions heureuses, qui ne tarderont pas à être reprises et précisées. On peut citer comme particulièrement curieuse la relation dont il se servait pour la mesure des zones sphériques, ei qui équivalait à l'intégration formelle de sîtk^K Mais nous devons signaler surtout son interprétation des maxima et des minima, qui allait être le point de départ des travaux de Cavalieri et d'Huyghens.

C'est encore le besoin de la mesure, l'étude des solides présentant le volume le plus grand sous une surface donnée qui a obligé Kepler à traiter dans sa Doliométrie^ des conditions analytiques du maximum ou du minimum. Aux environs d'un maximum ou d'un minimum la variation d'une courbe commence par devenir insensible ^. A la différence de ce qui se produit dans le voisinage d'un point ordinaire^ l'accroissement d'une quantité qui approche d'un maximum ou d'un minimum est d'autant plus petit qu'on est plus près de l'avoir atteint effectivement. Dans le langage qui s'est généralisé depuis, nous traduirons fidèlement la pensée de Kepler en énonçant cette formule :

Aux environs d'un maximum, les décréments de la fonction sont des infiniment petits du second ordre ; il en est de même

1. La somme des sinus des arcs de 1», 2», 3»..., ^\ est égale au sinus- •verse de cp, ou, en langage moderne : Tj sin cp c/cp r= 1 — cos cp.

Voy. Gùnther, Veber eine Merkwurdige Beziehung zwischen Pappus und Kepler (Bibliotheca Mathematica d'Enestrôm, 1888, p. 81-87).