Œuvres de Descartes, Ed. Cousin. T. V, p
Le problème posé par Pappus et qu'Euclide ni Apollonius n'avaient su entièrement résoudre consiste à chercher le lieu des points tels que n demidroites issues de ces points et rencontrant i» droites données sous des angles donnés soient divisées en segments dont le produit ait un rapport donné au produit analogue correspondant à n autres demi-droites.
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comme tel, la méthode de Descartes consiste à le remplacer par un élément constant susceptible de devenir racine d'une équation. C'est ainsi que procède Descaries lorsqu'il aborde le problème des tangentes ^ Au lieu de faire entrer dans ses calculs l'angle de contingence, qui est évanouissant, il préfère le remplacer par l'angle que fait la courbe avec sa normale. Les problèmes relatifs au contact des courbes sont ainsi ramenés aux questions d'orthogonalité qui peuvent s'aborder sans faire ouvertement usage du calcul infinitésimal. De même lorsqu'il s'agit de déterminer le point le plus haut ou le plus bas d'une courbe. Descartes, qui connaissait pourtant la -méthode de Kepler et de Cavalieri, préfère écrire que l'équation aux abscisses a deux racines égales plutôt que d'annuller ia variation première de la fonction qu'il étudie. La pensée de Descartes apparaît en pleine lumière dans une lettre de mai 1638\ où il explique que le problème des tangentes se ramène pour lui à la détermination des valeurs de x qui donnent à l'équation des racines multiples en y. L'idée de Descartes, facile à vérifier dans les courbes algébriques, était -que le calcul ordinaire suffit à déterminer ces valeurs sans qu'il soit besoin d'algorithme nouveau. Et de fait les artifices -de Descartes réussirent à lui donner les tangentes aux paraboles •d'ordre supérieur, comme plus tard, sous l'inspiration visible de Cavalieri, il les employa à la cubature de quelques solides de révolution. Mais ces résultats, bien que rigoureux, n'avaient Tien de nouveau. Autant les découvertes de Descartes avaient été fécondes et systématiques en Algèbre, autant il est frappant de voir combien sa Géométrie est fragmentaire. Il a ajouté linéiques artifices nouveaiwc à ceux des géomètres qui l'ont précédé, mais il n'a pas su entrevoir le lien qui unissait tous les problèmes dont commençait à s'occuper la science : proi)lème des tangentes, problème des maxima, centres de gravité, etc. C'est que l'unité de ces différents problèmes devait •se chercher dans des considérations nouvelles, étrangères à la méthode de Descartes. L'idée de continuité et l'idée de fonc- Mon ne figurent pas parmi les « natures simples » de Descartes.
