Barrow, Lectiones Geometricœ (1670) X« leçon, exemple

par le baron de Sluse. De Sluse communiqua sa mélhode en 1672 à la Société Royale, et sur la demande de celle société, il ajouta à l'énoncé de sa règle quelques ti.éorèmes destinés à la justifier théoriquement'. Ces théorèmes montrent que de Sluse, comme Barrow, avait conscience de l'artifice londamental <1« calcul différentiel. Tous deux prenaient le petit accroissement xlc l'abscisse, dx ou a, comme variable indépendante dans le domaine des quantités inlinitésimales. Ils évaluaient les autres quantités très petites, par exemple laccroissemcnt de l'ordonnée, dy ou e, en prenant la première comme unité de mesure. Ceci les amenait à diviser leurs formules par la plus haute puissance de la variable évanouissante, et à négliger, dans le développement résultant, les puissances de a ou de e.

Pour effectuer ces opérations d'une façon pratique, il n'est pas nécessaire de refaire chaque fois tous les calculs. 11 suffit de résumer en quelques règles simples, analogues à celles de Barrow et de Sluse, le résultat de ces opérations, commepour laire une multiplication algébrique il n'est pas nécessaire de justifier isolément chaque opération, mais on peut employer des simplifications évidentes qui conslituenl précisément le calcul algébrique. Ainsi Barrow a fort bien compris qu il faut constiluer avant tout un véritable calcul des indivisibles. Les opérations à effectuer sur les infiniment petits sont du ressort d'une algèbre spéciale, qui a ses règles et ses procédés, aussi rigoureux que ceux de l'algèbre ordinaire. Tant que cet instrument de calcul ne sera pas suffisamment perfectionné, l'analyse infinitésimale sera arrêtée par la complexité des formules. Comme l'étude des approximations numériques avait mené Wallis à l'emploi des séries, létude des approximations algébriques conduit Barrow au calcul différentiel.

L'ordre dans lequel Aewton publia ses ouvrages ne donne pas une idée très exacte du développement historique de son esprit. A part son premier traité, l'Analyse par les Séries — Analysis per iEqualiones Numéro Terminorum inlinitas ' — qui

1. Voy. l'hil. T,-a»saclions, n» 95. p. 6059 et n- 97, p. 01Ï6. l'hil. Trans. Abi:, vol. I. p. ii- . .,

2. Barrow communiqua le manuscrit à CoUùiS. qui '« 'r»"^"';'' P""; le faire lire à Oldenbur,j. Celle copie a élè Irouvee par Jones dans les pap^rs de Collins. cl c'esl lui qui la publia comme un ouvrage de Newton. Le ma nuscrit de Newton n'était pas primitivement destine à la publication.

L'ORIGINE DU CALCUL DES FLUXIONS

fui communiqué à Barrow dès le mois de juillet 1669, les autres publications de Newton sont toujours des divulgations tardives de découvertes longuement mûries. Beaucoup sont des écrits d'occasion * destinés à répondre aux sollicitations de son entourage. Quelques traités ont été suggérés par des problèmes d'actualité. Enfin une certaine quantité de lettres adressées à Oldenbitrg, à Chamberlyne, à Wallis et à Tabbé Co7iti, se rapportent surtout au conflit avec Leibniz et sont moins des compléments de doctrine que des revendications de priorité.

Newton a gardé de tous temps, par le fait d'une nervosité spéciale, la haine de la publicité. Les plus importantes de ses découvertes, comme par exemple celle de la gravitation, étaient au point dans son esprit plus de 20 ans avant qu'il songeât à les communiquer au monde savant. A plus forte raison se montra-t-il réservé en ce qui concerne les débuts de sa méthode et ne devons-nous chercher dans la chronologie de ses opuscules qu'une indication assez peu sure de l'ordre où se formèrent ses idées. 11 est bien certain par exemple que VEniimeralio Linearum Tertii Ordinis, publiée pour la première fois à Londres en 1706 représente un stade de la pensée de Newton bien antérieur à cette date, et que le traité De Quadralura Curcarum^ édité par l'auteur en 1704, est contemporain par ses idées de la méthode des Fluxions que Newton pratiquait certainement en 1671. 11 serait donc illusoire de chercher à saisir les progrès de l'analyse infinitésimale en s'en tenant rigoureusement à l'ordre des dates où

1. La « Metfiodus Fluxionum et Série riim in finitarum » était faite d'abord pour être ajoutée à l'Introduction de Kinckkuysen à l'Analyse Spécieuse. CoUins devait se charger de l'éditer. Mais les travaux optiques de Newton et son goût de la tranquillité retardèrent longtemps cette publication. Pemberton nous apprend qu'à la suite de la II h partie de la Metliodus Fluxionum, Newton se proposait d'en ajouter une IV« sur « les Problèmes qui ne peuvent pas se ramener aux quadratures. » La perte de cette IV" partie est d'autant plus regrettable que Newton n'a nulle part repris le même sujet. La Méthode des Fluxions a été traduite par Bu/fon en 1740.

Le traité « de Quadralura Curvarum » a été publie par W. Jones en 1711 à Londres, en même temps que VEnumeralio Linearum Tertii Ordinis sous le titre Analysis per quantilatam Séries, Fluxiones ac Differentias. L'Énumération des lignes du troisième ordre fut rééditée avec commentaires par Stirling (Oxford, 1717) et vulgarisée par Mac-Laurin (1720), Nicole et Bragelongne. L'opuscule intitulé Methodus differentialis a été publié par Jones d'après le manuscrit de Newton. L'édition donnée par Castillon en 1744 contient quelques fragments mathématiques de moindre importance, dont un d'une authenticité douteuse (opuscule VII, 2« partie).

L ORIGINE DU CALCUL DES FLUXIONS

Newton a publié ses méthodes. Nous croyons plus exact et plus sur de nous fier à l'esprit de ses Traités. Fort heureusement les découvertes de Newton ont toutes été en sa possession d'assez bonne heure. On peut dire qu'après 1690 il n'y ajouta plus rien, même dans le détail, et nous n'aurons pas à signaler chez lui, comme on serait amené à le faire pour Leibniz, aucun changement de point de vue, aucune évolution.

Nous avons vu que bien avant Newton on trouve les indices d'un calcul intégral et d'un calcul différentiel, mais jamais avant lui on ne sut exprimer l'idée d'un calcul infinitésimal, c'est-àdire d'une branche nouvelle des mathématiques, dont le calcul intégral comme le calcul différentiel ne sont que des aspects. Les problèmes qui avaient mené peu à peu à constituer une sorte de calcul intégral, étaient très nombreux et en apparence bien différents : problème des quadratures, des rectifi- .cations des volumes tournants, problème des maxima et des minima, problème des isopérimètres, problème des centres de gravité.

Les questions qui avaient orienté les recherchés du côté du calcul différentiel étaient tout aussi riches et aussi dissemblables : problème des tangentes, des trajectoires orthogonales, problème des roulettes, problème de dcBeaune. * Beaucoup de géomètres avaient abordé avec une réelle ingéniosité un certain nombre de ces problèmes et en avaient parfois donné des solutions assez complètes. Mais on ne soupçonnait en aucune façon que des difficultés aussi variées dussent se résoudre par une méthode uniforme ou fissent partie d'un type commun qu'il suffisait d'analyser une fois pour le retrouver dans tous les cas. Assurément quelques mathématiciens d'élite, et ici à côté deBarrowil faut certainement nommer Descartes, pressentaient cette réduction. Le nom môme de « problème inverse des tangentes » donné au problème général de l'intégration, montre qu'on entrevoyait son rapport au « problème des tangentes » proprement dit, c'est-à-dire au calcul différentiel. Mais ce ne

i. Bien que le problème de de Beaune doive être considéré comme un exemple de « problème inverse des tangentes », c'est-à-dire de calcul intégral, il a servi surtout à perfectionner la notation différentielle. On peut l'énoncer ainsi : trouver une courbe dont l'ordonnée soit à la sous-tangente comme une longueur donnée est à la différence entre l'ordonnée et l'abscisse.

sont là que des vues imparfaites, sans suite et sans fécondité. Newton au contraire, a compris dès l'abord que les mêmes notions se retrouvent à la base des nombreux problèmes que la science présentait comme disjoints. Il est inévitable qu'on s'élève à la méthode des fluxions, soit qu'on parte des tracés géométriques, soit qu'on approfondisse le calcul des différences ou même l'arithmétique ordinaire. Une fois la notion de « variation infinitésimale » acquise par une voie ou par une autre, le calcul de ces variations n'est plus qu'une affaire d'habileté.

La Géométrie Analytique et l'arithmétique pure sont les deux voies que Newton préfère pour s'élever au calcul infinitésimal, et ces deux voies mènent l'une et l'autre à une même conception fondamentale, celle des séries qui se composent d'un nombre infini de termes variables. Partons par exemple du point de vue cartésien. 11 n'est qu'un cas où la géométrie analytique, telle quelle a été traitée par Descartes, s'applique complètement. C'est celui où toutes les grandeurs qui interviennent dans le calcul sont rationnelles ^ et où par suite les opérations de l'algèbre ordinaire réussissent jusqu'au bout. Tel est le cas de certains problèmes touchant la parabole, la droite et quelquefois le cercle. A ces problèmes. Descartes ajoute ceux qui impliquent des radicaux carrés, et même les racines d'équations générales du 3« et du 4« degré. Ceci lui permet d'appliquer sa méthode au folium par exemple, et à la parabole semi-cubique. Mais ce sont là les problèmes les plus complexes que l'algèbre cartésienne puisse résoudre effectivement. Non qu'elle ne s'applique en théorie aux courbes algébriques de degré quelconque, mais sitôt que la variable ne peut plus s'exprimer explicitement en fonction simple des données, les procédés pratiques du calcul ne sont plus utiles, et Descartes est obligé de se contenter de considérations gêné- -raies touchant le degré du lieu cherché.

Cette imperfection pratique éclate d'autant plus que Descartes se proposait de donner un moyen permettant toujours de construire un problème. Or lorsqu'on cherche, par exemple, à évaluer l'aire d'une courbe, la méthode cartésienne ne donne

1. On reconnaît la catégorie des problèmes portant sur des courbes « unicursalcs ».

aucune construction. Bien plus, elle méconnaît la nature métrique du problème, puisqu'il faut posséder, au moins d'une manière approchée, l'expression explicite de l'ordonnée si l'on veut arriver à une sommation. Si donc Descartes résout parfaitement les problèmes où l'ordonnée de la courbe est donnée en fonction rationnelle de l'abscisse, si à la rigueur on peut dire qu'il résout ceux où l'ordonnée implique des radicaux, sa méthode ne donne aucun renseignement, ni pour les problèmes de construction, ni pour les problèmes de mesure, dans le cas des équations non résolues, où l'ordonnée est fonction implicite de la variable.

La première nécessité qui s'impose à Xewton est de compléter sur ce point l'algèbre cartésienne. L'ordonnée de toute courbe algébrique est à considérer comme une fonction explicite dont la forme doit être déterminée. Une pareille détermination. Newton le reconnaît, ne peut se faire par les ressources de l'algèbre dans le cas des courbes composées. Au delà du 4* degré nous ne possédons aucune formule exacte qui permette de caractériser chaque branche de la courbe par une équation de la forme

où l'ordonnée est fonction simple de l'abscisse. Mais si une formule explicite rigoureuse est hors d'atteinte, nous nous contenterons d'une formule approchée. Même au-dessous du 4^ degré il sera parfois utile de renoncer à une expression exacte, chargée de radicaux superposés, pour se contenter d'une formule limite, où figureront une infinité de termes, mais où chaque terme sera simple, rationnel ou entier, et comme préparé d'avance pour les transformations du calcul.

De là le principe newtonien, qu'il faut faire disparaître de toutes les formules les « irrationalités » ou les « asymétries » et pour cela, développer les formules en séries rationnelles. Ce développement peut toujours se faire, d'après Newton, en se servant de la seule divisioij ou de la seule extraction des racines poursuivie jusqu'à l'infini. Si par exemple nous rencontrons dans le calcul l'irrationnelle

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nous la remplacerons par son développement qui est

et cette série, quoique illimitée, sera plus utile que l'expression finie, parce que chacun de ses termes pourra aisément être soumis au calcul. Ainsi, à chaque branche de courbe, il sera possible de faire correspondre pour l'ordonnée une série spéciale, explicite, uniforme, généralement entière. En même temps qu'on a isolé de la sorte les branches de courbe que l'équation donne confondues \ on a le moyen d'effectuer sur l'ordonnée, par les règles ordinaires du calcul, toutes les opérations qui auparavant étaient impossibles. Le résultat obtenu, comme l'équation dont on part, prendra la forme de »érie infinie. Mais cette série sera évaluable avec une approximation aussi grande qu'on le désire, et cela doit suffire en pratique^. L'Arithmétique, aussi bien que l'Algèbre, doit mener aux développements en série. Nous avons vu que le nombre irrationnel s'interprète dans l'arithmétique de Newton comme une généralisation du nombre rationnel. Si nous voulons mesurer une longueur, nous commençons par chercher combien de fois elle contient la longueur prise pour unité. Soit n le plus grand nombre de fois que l'unité entre dans la longueur donnée; n sera une première mesure de la grandeur en question. Si nous désirons une mesure plus précise, nous diviserons l'unité en dix parties égales par exemple, et nous chercherons combien de fois l'une quelconque de ces parties entre dans le reste laissé par la première mesure. Soit n' ce nouveau nombre ; n -h -7-7 sera une mesure plus approchée. Si nous divisons le 10« de l'unité en 10 parties égales, nous obtenons des unités du 3« ordre qui entreront n" fois dans le résidu des mesures précédentes; n-f -fjj -i- -jôô sera une mesure approchée au quatrième ordre près. Généralement les nécessités de la pra-

4. C'est le point de départ du célèbre procédé de Newton pour la séparation des racines, repris et complété par Puiseux (Cf. Picard, Traité d'Analyse, T. II).

2. Dans une lettre à Collins, du 10 décembre 4672, Newton montre déjà que les développements en série donnent la solution pratique du problème des tangentes : « liane melhodum (tangentium) intertexui alteri isti, quà iEquationum Exegesim instituo, reducendo eas ad séries infinitas. »

tique ne nous conduiront pas au delà d'un certain ordre. Notre besoin de précision est satisfait, selon les cas, lorsque nous avons évalué une grandeur jusqu'à un ordre déterminé. Nous convenons alors de représenter la mesure au moyen d'une formule limitée

" + TF +

et le nombre rationnel ainsi trouvé est écrit dans le système décimal. En réalité, une mesure concrète n'est jamais exacte. Il faudrait pour qu'elle le devînt pousser l'approximation à l'infini, et cette extension est l'origine véritable du nombre irrationnel. Un nombre incommensurable n'est autre chose que la mesure exacte d'une grandeur dans le système décimal. Il peut s'écrire sous forme de série infinie

et l'on voit qu'il comprend le nombre rationnel comme cas particulier.

De même que l'Algèbre rationnelle étudie sous une même formule l'ensemble de tous les nombres commensurables, il est clair que les radicaux « asymétriques », tels qu'on les rencontre en algèbre, correspondent d'une manière générale à un ensemble continu de nombres incommensurables. Lorsqu'un radical carré, par exemple, porie sur une fonction entière de a;, il est visible que si la variable passe par une suite continue de valeurs, le radical prendra lui aussi une infinité de valeurs distinctes, parmi lesquelles un petit nombre seulement seront par exception rationnelles. Mais alors une analogie évidente, un besoin de mesure identique à celui que nous venons d'analyser, nous feront exprimer, pour chaque valeur de la variable, la valeur que prend le radical dans un système de numération déterminé *. Nous obtenons de la sorte une série, généralement illimitée, pouvant se réduire exceptionnellement à un nombre jîni de termes, et qui, si nous avons respecté les conventions

\. Lettre à Leibniz, 13 juin 1676 : Frationes in infinitas séries reducuntur per divisionem, et quantitates radicales per exU-actionem radicum, perinde instituendo operationes istas in speciebus, ac institui soient in decimalibus numeris. Haec sunt fundamenta harum rcductionum.

L'ORIGINE DU CALCUL DES FLUXIONS

fondamentales de l'algèbre, sera équivalente à l'irrationnelle dont nous sommes partis. La seule différence, importante il est vrai, qui sépare le cas arithmétique du cas algébrique est que dans le premier chaque terme de la série est un nombre bien déterminé ; la série ne peut donc elle aussi représenter qu'un seul nombre. Dans le cas de l'algèbre au contraire, le& termes de la série sont des termes algébriques, ils sont fonctions d'une ou de plusieurs variables, et par suite la série tout entière peut représenter un ensemble de nombres, c'est-à-dire une véritable fonction. Comme l'approximation d'une mesure croît lorsqu'on évalue plus de termes dans l'expression d'un nombre irrationnel, de même l'approximation d'une fonction augmente lorsqu'on tient compte dune plus grande partie de son développement'. L'arithmétique ordinaire et l'algèbre spécieuse sont donc susceptibles d'une interprétation identique-. Elles mènent à des séries de tous points comparables à celles qu'on tire de l'analyse géométrique des courbes.

Une fois en possession de la méthode de développement en série. Newton n'a plus qu'à appliquer les principes énoncés par Barrow et "Wallis pour construire à la fois le calcul intégral et le calcul différentiel.

S'agit-il d'évaluer une aire, de mesurer un volume, de rectifier une courbe ? On devra trouver la forme algébrique de l'élément qu'il s'agit de sommer, la transformer par l'emploi des^ séries jusqu'à ce qu'on obtienne une suite de termes entiers,, et appliquer à chacun de ces termes les procédés de somma-^ tion inventés par Wallis. Faut-il au contraire construire une tangente, chercher le point le plus haut ou le plus bas d'une courbe, on donnera aux coordonnées de petits accroissements désignés par des lettres arbitraires, on développera encore

1. Nam quod numeris accidit, idest, quod eo majus eorum valor decrescit in decimali, vel subdecupla ratione, quo magis ad dextram accédant, id respective locum etiam habet in speciebus, quando termini juxta dimensiones numeratoris vel denominatoris cujusque sunt dispositi in uniformani progressionem in inlinitum, prolatam. — Meth. Flux, Ed. Castillon, p. 32.

2. Hinc facile additionem, substractionem, divisionem, multiplicationenr et radicum extractionem discere quis potest, dummodo in decimali ac speciosa arithmetica versatus sit, nec animum divertat unquam ab analogia quîe est inter décimales fractiones et algebricos termines in inlinitun*productos, Meth. flux, p. 33.

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l'équalion en série ordonnée suivant les puissances de ces lettres, et conformément aux règles de Barrow on trouvera en négligeant les puissances supérieures soit la formule qui donne la tangente, soit celle qui donne l'ordonnée maxima. Ce sont des calculs de ce genre qui remplissent le premier opuscule de Newton, VA)ialysis per /Equaliones Numéro Tenninoruni Infinitas. Newton y donne une série d'exemples où sa méthode de développement réussit», et bien qu'il l'applique exclusivement à des problèmes de calcul intégral, il est hors de doute qu'il l'utilisait dès cette époque dans des questions de calcul différentiel. Mais on ne trouve dans ce premier écrit aucun indice de notation nouvelle. La découverte d'une notation permettant de rendre pratique la méthode des séries et de lui donner toute l'ampleur qu'elle comporte date seulement de l'année suivante-, et fait l'objet de la « Méthode des Fluxions ».

L'expression de moment avait été employée de tout temps par Newton pour désigner l'élément infinitésimal dont la sommation engendre une quantité finie. Cette expression lirait son origine des idées de Cavalieri, pour qui l'aire d'une courbe s'engendre progressivement parle déplacement de l'ordonnée parallèlement à elle-même. Le moment n'est alors autre chose que le rectangle infiniment petit qui va s ajouter à la somme des rectangles déjà produits. Mais ni Cavalieri, ni Barrow luimême n'avaient jamais considéré le moment comme une fonction de la variable indépendante. Ils avaient plutôt envisagé comme telle la somme des moments ou l'aire de la courbe. L'expression de celte aire dépend en effet de l'ordonnée où on la limite, et comme cette ordonnée elle-même dépend de l'abscisse, il était naturel que 1 aire de la courbe apparût €omme une fonction de x. Le moment au contraire est un infiniment petit, diiïicile à comparer avec une variable finie, plus diiïicile encore à considérer comme une fonction d'une telle variable.

De là l'idée fondamentale de Newton qu'il faut évaluer les moments, non en les rapportant à des unités finies, mais en prenant comme unités de mesure d'autres quantités infiniment

1. Dans tous les exemples qu'il cite n'entrent encore que des irrafioniielles du second degré.

L'ORIGINE DU CALCUL DES FLUXIONS

petites, ou, si l'on préfère, d'autres moments. La variation très petite de l'abscisse et la variation très petite de l'ordonnée sont alors rigoureusement comparables. Leur rapport n'est plus un nombre très petit, c'est un nombre qui tend vers une limite finie. Le moment de la fonction d'une part, le moment de la variable d'autre part, deviennent fonction calculable l'un de

l'autre.

Il suit immédiatement de là qu'il est nécessaire, dans un développement quelconque, de désigner par des lettres d'espèce différente les grandeurs ordinaires d'un côté, les grandeurs évanouissantes de l'autre. De la sorte nous serons assurés de respecter l'homogénéité, comme il est indispensable dans toutes les questions qui doivent recevoir une interprétation concrète. Les lettres ordinaires de l'alphabet continueront à servir pour les nombres finis, mais les accroissements iniiniment petits que les nombres doivent recevoir seront notés par des symboles spéciaux permettant d'éviter toute confusion. 11 faut que ces symboles s'appliquent de la même façon aux quantités que nous considérons comme indépendantes et aux quantités que nous considérons comme dépendantes. L'abscisse aussi bien que l'ordonnée est susceptible d'accroissements infinitésimaux et, comme ces accroissements sont de même nature, il convient d'employer pour les caractériser une notation parfaitement uniforme.

L'expression de moment peut aisément suggérer une pareille notation. Elle semble indiquer en effet que l'élément d'aire est un accroissement de nature simple, en tout semblable à l'élément de temps pendant lequel cette aire s'accroît. Il vaut mieux pourtant se servir, comme va le faire désormais Newton, du mot plus imagé de fluxion. Ce mot indique d'une façon saisissante le rapport qui e.\iste entre une quantité quelconque et la variation })rogressive qu'elle subit. C'est le rapport même qu'on observe entre le débit instantané d'un fleuve et la masse totale de ses eaux. 11 n'est pas de grandeur dont l'accroissement, la constance ou la diminution ne puisse se comparer aux états successifs d un fluide mobile. Il suffit d'avoir cette comparaison sans cesse présente à l'esprit pour comprendre qu'en mathématique tous les accroissements qu'on rencontre, accroissements daire, de longueur, de distance, de volume.

L'ORIGINE DU CALCUL DP:S FLUXIONS

sont à la quantité dont ils dérivent comme une « fluxion » est à la masse « fluente ».

Que Ton convienne donc de marquer par un point, par un Irait, ou par un signe quelconque les lettres qui doivent désigner les fluxions, pour les distinguer commodément de celles qui sont affectées aux quantités finies, et l'application de l'algèbre ordinaire à ces nouveaux symboles deviendra immédiate. L'algèbre repose sur ce postulat, que toutes les lettres sont homogènes entre elles, et représentent des grandeurs de même genre. Le calcul différentiel devient possible dès qu'on a fait une convention analogue ; les lettres marquées ou soulignées sont elles aussi homogènes entre elles, elles représentent toutes des grandeurs du même genre, seulement ces grandeurs sont évanouissantes. En fait, la notation choisie par Newton est celle qui consiste à marquer d'un point la leltre 2, symbole d'une grandeur, pour obtenir la première fluxion z de cette grandeur. La fluxion de cette fluxion s'écrira H, la suivante z, et ainsi de suite. Cette dernière généralisation n'existe pas encore dans la « Methodus Fluxionum » et on la trouve appliquée pour la première fois dans le traité « de Quadratura Curvarum » publié en 1704*. Mais l'emploi dos lettres marquées d'un point avait suffi pour permettre à Newton d'aborder par ses développements en série les problèmes les plus compliqués de son époque. L'équation qui donne le maximum ou le minimum d'une fonction peut s'écrire sous la forme nouvelle y = 0. La solution du problème des tangentes est toujours comprise dans la relation générale exprimant que la sous-tangente est à l'ordonnée comme x est à y, La détermination de la courbure et des points d'inflexion résulte de formules analogues où les fluxions de a; et de y apparaissent toujours d'une manière homogène et où leurs rapports donnent toujours naissance à de& nombres finis.

Tous ces résultats, et d'autres encore que Newton utilisa plus tard dans la composition des Principes, font voir l'importance capitale qu'avait pour cette partie de la science le choix d'une notation-. On peut dire que sans l'emploi des séries Newton no