Cf. Newton, Opuscula Mathemalica, Ed. Castillon, p

2. Malgré la fécondité de ceUe notation, on sait que la notation de Leibniz devait la supplanter. Plus tard, Lagrange, l'auteur de la notation des

serait jamais arrivé à élever le calcul différentiel au delà du point où l'avaient mené les artifices de de Sluse et de Barrow, mais il n'est pas moins exact de dire que sans l'emploi d'une notation spéciale les développements en série seraient demeurés stériles. En prenant les choses à la rigueur, toutes les idées de la méthode newtonienne étaient déjà en germe dans les travaux de Fermât, de Wallis, et de leurs successeurs. Il n'en est pas moins vrai que l'invention d'une vue d'ensemble et d'une notation générale font de la w Méthode des Fluxions » le premier traité de calcul infinitésimal.

C'est un fait extrêmement remarquable, que Newton, arrivé de si bonne heure à se servir d'une notation différentielle, ne semble jamais avoir créé de notation intégrale. La parenté des deux branches nouvelles du calcul lui était pourtant bien connue. Dans sa très longue et très importante Lettre à Oldenbtcrg du 24 octobre 1676s Newton avait inséré un cryptogamme dont il donna plus tard l'explication et qui renfermait, disait-il, le principe essentiel de sa méthode. Le sens de cette formule secrète était le suivant : étant donnée une équation renfermant un nombre quelconque de « fluentes » trouver leurs « fluxions », et réciproquement-. Un deuxième cryptogamme se trouve à la fin de la lettre. Newton y disait qu'il était en possession d'une double méthode, consistant d'une part à extraire les quantités fluentes d'une équation qui contient aussi leurs fluxions, d'autre part à exprimer les inconnues en série, et à trouver la forme de ces séries par la méthode des coefficients indéterminés^ C'est là une allusion directe à lintégra-

dérivées, employa des symboles tout à fait analogues à ceux de Newton. Pourtant, comme le remarque avec raison M. F. Rosenberger, il y a une dis- Unction à faire entre la différentielle /" [x) dx de Lagrange et la fluxion y de Newton. C'est que dans la première, la variable par rapporta laquelle la différenciation s'opère est clairement indiquée, tandis que la fluxion newtonienne est l'équivalent d'une différenciation par rapport à un paramètre indélevminé. Cette notation, trop générale pour le calcul différentiel il son début, devait jouer plus tard un grand rôle dans le calcul des variations.

1. Cette lettre avait été adressée à Oldenburg, avec prière de communiquer à Leibniz. C'était une réponse à la lettre de Leibniz en date du 27 août précédent. Elle est citée généralement sous le nom de « deuxième lettre de Newton à Leibniz ».

2. « Dalaœqualionequotcumque quantitates fluentes involvente, fluxiones invenire et vice versa. »

3. « Una methodus consistit in extractione fluentis quantitatis in œqua-

Bi.ocii. ^

lion par approximations successives des équations différentielles. Mais dans aucun de ces deux passages Newton, jaloux pourtant de réserver ses droits de priorité, n'émet de prétention à la propriété d'une notation nouvelle pour le calcul intégral. Les expressions mêmes de « fluentes » et de « fluxions » montrent l'importance qu'il attachait dès ce moment à sa notation différentielle. Au contraire il ne semble jamais, même dans ses écrits ultérieurs, avoir utilisé de signe spécial pour la sommation. Ce ne fut pas une des moindres raisons de son conflit avec Leibniz. C'est à juste titre que ce dernier prétendait avoir inventé le signe S ou/, inverse du signe d ou 8. Mais si l'on ne peut trouver chez Newton l'analogue de la notation intégrale, on peut du moins comprendre les raisons qui expliquent cette lacune. Le problème de l'intégration, pour Newton, doit toujours être précédé du développement des irrationnelles en série. Mais ces séries, devenues rationnelles, se trouvent être immédiatement sommables. Il suffit de savoir que ^^"j est la quantité dont la fluxion est x'^'x pour pouvoir obtenir directement la quadrature d'une série entière. Dans le cas où la série n'est pas entière. Newton a montré qu'on peut encore utiliser une formule analogue, soit qu'on ait affaire à des exposants fractionnaires, soit même, si le cas se rencontrait, à des exposants incommensurables. Le premier point résulte immédiatement des travaux de Newton sur le développement du binôme, le second est une conséquence nécessaire du principe de continuité. L'analogie et l'induction, auxquelles Newton fait ouvertement appel, suffisent ainsi à établir dans toute sa généralité la formule essentielle du calcul intégral

L'ORIGINE DU CALCUL DES FLUXIONS

Aire ABCD =

an

si Ton a

m y z= ax'^

Ainsi l'on peut se passer de désigner les sommes, les aires ou les volumes par un signe spécial. Un pareil signe, aux yeux

tione simul involvente fluxionem ejus ; altéra tantum in assumptione seriei pro quanUtate qualibet incognita, e.x qua tœtera commode derivari possint et in coUatione terminorum homologorum sequationis resultantis ad eruendos termines assumptai seriei.

de Newton, serait tout à fait inutile, puisque l'emploi même de sa méthode rend immédiate une évaluation explicite.

Il ne faudrait pas croire pourtant que Newton n'ait eu aucun pressentiment des difficultés inhérentes à l'emploi des séries. Il avait compris d'une manière très nette que le fait de sommer une fonction correspond à la création d'une fonction nouvelle et s'il ne se servait pas, comme Leibniz, d'un symbole particulier pour désigner cette opération, on trouve chez lui quelque chose d'équivalent. Nous voulons parler des règles curieuses qu'il donne pour constituer une Table des Quadratures.

Quel est exactement le rôle du signe/tel que Leibniz l'avait défini ? Si ce signe ne faisait que rappeler l'origine de la grandeur qu'il affecte, il serait comme le pensait Newton généralement superflu. Mais il existe des cas, Newton le reconnaît luimême, où la méthode des séries est inefficace, soit parce qu'elle nécessite des développements trop complexes , soit parce qu'elle donne des formules illusoires, soit parce que les séries cessent d'être convergentes. Dans ces différents cas nous sommes bien obligés d'effectuer les quadratures sur des expressions brutes, irrationnelles ou transcendantes, telles qu'elles résultent des équations du problème. C'est alors que le signe/pourra avoir son utilité. Il permettra de spécifier d'une manière méthodique des quantités non effectuées, qu'il est nécessaire d'introduire dans la suite des calculs. Comme le signe + ou le signe v/~permettent d'utiliser des grandeurs algébriques sans qu'il soit besoin d'effectuer l'opération correspondante, le symbole d'intégration lui aussi rend directement utilisables des expressions non évaluées. C'est là son véritable but, et c'est le rôle que lui assignait Leibniz.

Newton, malgré la confiance qu'il accorde aux développements en série, reconnaît qu'en certains cas ils sont inapplicables. Même dans les cas où ils sont légitimes, il est fastidieux de les recommencer à chaque problème qui se représente. Si par exemple nous savons trouver l'aire d'un secteur d'hyperbole, il est inutile de refaire les calculs, à quelques changements de signe près, pour évaluer un secteur d'ellipse. Plus généralement, si des quadratures ont été faites sur des courbes données, il est oiseux de les recommencer pour toutes les courbes de même espèce. De là il n'y a qu'un pas à l'idée

qu'adopte Newton, celle d'une Table des Quadratures. Les sommations que la méthode de Newton permet de mener jusqu'au bout, celles même où elle échoue mais qui peuvent se faire par d'autres procédés, doivent se calculer une fois pour toutes avec une approximation donnée. On construira des tables qui contiendront les valeurs de la somme correspondant à des valeurs suflisamment rapprochées de l'argument, en y ajoutant le moyen de la déterminer par interpolation pour les valeurs intermédiaires'. Alors chaque fois que dans nos calculs nous rencontrerons une quadrature d'un certain genre, au lieu de la refaire intégralement par des développements toujours laborieux, nous nous référerons à la table où est évaluée la quadrature type du genre-. Nous pourrons ainsi indirectement, et avec une approximation donnée, introduire dans la suite des calculs les expressions que le signe/permet à Leibniz d'employer directement.

Mais pour cela il est nécessaire que toutes les opérations fonctionnelles qui peuvent se rencontrer dans le calcul soient ramenées à un petit nombre de types « canoniques^ ». Les intégrales canoniques sont les seules qui pourront se trouver dans les tables. Ce sera le rôle de l'analyste de ramener par des réductions convenables une opération quelconque au type

1. Cf. Methodus Differenlialis, Prop. VI, Scholie : « Utiles siint luT propositiones ad Tabulas construendas per Interpolationem seritM-um. ut et ad solutiones problematum qiiaî a quadratiiris curvarum dependunt, priesertim si ordinalanim intervailaet pana sint eta^qualia interse, et Regulae computentur et in usum reserventur pro dato quocumque numéro ordinatarum. »

2 De qiiad. Curv. Ed. Castillon p. 232. « Ubi quadrandœ sunt figurœ. ad Régulas hasce générales semper recurrere niniio molestum esset. Prœstat figuras, quœ simpliciores sunt, et magis usui esse possunt quadrare, et quadraturas in Tabulam referre, deinde Tabulam consulere quoties ejusmodi curvam aliquani quadrare oporlet ».

3. Meth. Flux-, p. 138. « Praecipua vero utilitas hujus et pra?cedentis problemalis in eo sita est, quod assumplis conicis sectionibus aut quibusvis aliis curvis cognitœ magnitudinis, inveniri licet alias curvas, qua& cumiis comparari possunt, et earum aîquationes ordine disponi in Catalogo, seu Tabula. Constructa autem hac Tabula, quando invenienda est area curvie alicujus, perspiciendum est utrum wquatio defmiens ejus naturam vel immédiate sit in hac Tabula, vel saltem transformari possil in aliam, quie ibi sit. Quod si accidit, datur hœc area. Insuper Gatalogus, aut Tabula hsec applicari potest ad determinandas curvarum longitudines, ad invenienda earum centra gravitatis, solida genita earum rotatione, superficies horum solidorum ; et quasvis alias fluentes quantitates generatas fluxionibus huic analogis. »

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normal, immédiatement résoluble par les tables. Les quadratures qui impliquent un radical carré constitueront un premier exemple de type canonique. Celles qui portent sur un radical •cubique en seront un deuxième, et ainsi de suite, chacun de ces types principaux pouvant se décomposer en sous-groupes selon le degré des polynômes ou le nombre des paramètres qu'il renferme ^ Si nous nous heurtons à une quadrature qui ne se trouve pas dans les tables, nous conviendrons, par définition, que nous avons créé une fonction nouvelle -. Celle-ci devra Hve calculée, au moins approximativement, à l'aide des séries si cela est possible ou autrement en se fondant sur la définition même de l'intégration. De la sorte nous laissons possible la construction dune infinité de fonctions, en même temps que nous créons des types simples auxquels doivent se réduire les fonctions connues. Il est impossible de méconnaître dans ces vues de Newton un pressentiment tout à fait exact des principes qui depuis ont guidé l'analyse, et dont la théorie des fonctions elliptiques a fourni la plus belle confirmation.

Nous venons d'indiquer la marche qu'a suivie Newton pour établir son calcul infinitésimal. 11 reste à voir si ce calcul, fondé sur l'emploi des séries, est vraiment légitime. En d'autres termes, les développements infinis dont Newton se sert constamment, sont-ils dans tous les cas valables ? N'arrive-'-il pas qu'ils représentent une quantité différente de celle dont on est parti, ou même qu'ils soient totalement dépourvus de sens ? Nous faisons allusion, on le voit, à la délicate question de la convergence.

Si le développement en série entière d'une irrationnelle ou il'une transcendante donnée nous conduisait à une suite de termes dont la somme augmente sans limite, il est clair que l'artifice deviendrait illusoire. Il est donc nécessaire, — et les mathématiciens modernes se poseront cette question avant

i. « Conslrui possunt Tabulai Curvarum relatarum ad alias curvas, in suo génère, simpliciores, puta ad ^a -f- bx^ = u aut ad x y a -f- àx* =. u aut ad \/a -{- 6x* = u, etc. » — Mélh. Flux. p. 163.

2. « Quod si, licet omnibus laboribus exhaustis , tamen id inveniri ïion possit, pro certo habendum est. quod curva proposila comparari nequit, neque cum figuris rectilineis, neque cum sectionibus conicis ». — Mélh. Flux. p. 168.

ilK-

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toute autre, — d'examiner si les séries dont on se sert sont convergentes ou divergentes. Newton ne s'est jamais posé le problème d'une façon générale. L'expérience lui avait fait voir que dans un grand nombre de cas simples les séries obtenues par sa méthode convergent très rapidement. Sa formule du binôme, qui a été le point de départ de toutes les autres, lui aurait permis de trouver certains critériums par lesquels la convergence eût pu se démontrer. Mais de semblables démonstrations sont toujours inutiles si nous nous en tenons aux problèmes qu'on rencontre dans la pratique. Rappelons-nous en effet que le calcul des fluxions n'est qu'un procédé de mesure indirecte. C'est un moyen d'étendre les opérations de l'arithmctique au delà du domaine des nombres fractionnaires, au delà du domaine des nombres irrationnels. Les séries décimales illimitées qu'on rencontre dans la théorie des incommensurables convergent par définition , car elles sont la mesure d'une quantité concrète et bornée. Les séries générales qu'on obtient en prolongeant à l'infini la division algébrique jouiront de la même propriété. Si nous sommes restés fidèles aux règles de l'algèbre, l'expression illimitée que nous trouvons, représentant une infinité de mesures faites dans un système de numération convenable, converge nécessairement^

Ainsi les conditions mômes dans lesquelles on emploie le développement en série garantissent sa légitimité. Chaque fois qu'il s'agit d'un problème susceptible d'une interprétation concrète, la convergence des développements n'est pas plus

1. Des remarques analogues s'appliquent aux quadratures qui peuvent être envisagées comme des limites de séries. La suite des rectangles infiniment petits en lesquels se décompose Taire d'une courbe tend nécessairement vers une limite qui est justement Taire de la courbe. Il suit de là non seulement que cette limite existe, mais qu'elle est indépendante du mode de subdivision adopté pour Tévaluer, pourvu que la subdivision soit poussée jusqu'à Tinfmi. De la sorte Newton peut se dispenser des démonstrations rigoureuses, mais souvent pénibles, données par les modernes pour établir l'existence des intégrales. De pareilles démonstrations sont purement analytiques, et Newton leur préfère la clarté de Tintuition. Du moment que la signification d'une intégrale est toujours celle d'une mesure concrète, en disant que l'intégrale possède un sens indépendamment du procédé employé pour la calculer, on affirme simplenient que tous les moyens de mesure, supposés théoriquement parfaits et s'appliquant à une quantité définie, donnent toujours le même résultat.

Cf. Principes, L. I, Lemme III, p. 38 et fin du Lemme IV.

douteuse que l'existence des mesures. Assurément on pourrait concevoir des problèmes fictifs, dénués de signification physique, et choisis précisément de façon que les séries correspondantes divergent. Mais de pareils problèmes sont exclus par Newton du domaine des mathématiques véritables *. Pour les autres on peut dire que la convergence est de leur nature. Estce à dire que Newton lui-même ne se soit jamais heurté à des développements divergents ? On peut voir le contraire dans la « Méthode des Fluxions » et dans le traité « de la Quadrature des Courbes. » S'il s'agit par exemple de développer en série

le binôme (z + e)T, Newton nous donne deux développe-

ments, l'un qui converge lorsque -;- est plus petit que l'unité,

l'autre qui converge au Contraire quand — est plus grand que l'unité 2. L'idée de Newton est qu'une suite divergente indique non pas une impossibilité dans le problème, mais un manque d'artifice dans les calculs. Si nous conduisons les calculs autrement, en restant plus près de l'interprétation physique, il doit toujours être possible de transformer une série divergente en une autre qui converge. L'analyse infinitésimale ne doit pas s'appliquer brutalement partout, ni procéder d'une manière uniforme. C'est un certain sentiment de la continuité, commun au physicien et au géomètre, qui doit suggérer les méthodes les plus propres non seulement à obtenir des séries convergentes, mais les séries les plus rapidement convergentes. Car sur ce point Newton s'est expliqué formellement. Différentes séries peuvent être employées à la résolution d'un même problème. Mais parmi ces séries il en est dont le calcul approximatif est des plus pénibles, alors que d'autres donnent par leurs premiers termes une idée très approchée du résultat. L'habitude du calcul apprendra dans quel cas il faut avoir recours à une série plutôt qu'à une autre. S'agit-il par exemple de calculer