DeQuad. Curv. p
« Postquam vero iluentes ex fluxionibus collectae sunt, si de verilate conclusionis dubilatur, Fluxiones Fluentium inventarum vicissim coUigendaî sunt, et cum fluxionibus sub inilio propositis comparandae. Nam, si proderuntœquales, conclusio rectesc habet, sin minus, corrigendae sunt fluentes sic, ut earum Fluxiones Fluxionibus sub initio propositis œquentur. Nam, et fluens pro libitu assumi potest, et assumptio corrigi, ponendo fluxionem fluentis assumptae œqualem fluxioni propositae, et terminos homologos inter se comparando. Et bis principiis via ad majora struitur. »
Ce procédé de vérification peut même mener plus loin. Si, après avoir substitué la quantité trouvée, nous constatons qu elle ne satisfait pas exactement à l'équation, nous avons au moins une première idée de l'erreur commise et souvent le calcul nous suggère l'addition d'un terme correctif. Ce terme correctif pourra être suffisant dans certains cas. Alors le problème doit être considéré comme complètement résolu. Mais si, malgré la correction, nous n'arrivons pas à une identité, de nouvelles vérifications nous amèneront à introduire des corrections nouvelles, et ainsi de suite jusqu'à la limite où nous obtiendrons, sous forme de série, une solution rigoureuse.
La vérification n'est donc pas une opération stérile. Non seulement elle s'impose toujours, puisque rien ne garantit d'avance la convergence des développements, mais encore elle suggère naturellement un système d'approximations successives propre à mènera des déterminations exactes ^
On a là un exemple frappant de la façon dont l'esprit empirique a pu aider au progrès des mathématiques. Newton part de cette idée que la méthode des fluxions est un fil directeur, un instrument de découverte, permettant surtout de pressentir les solutions. Une solution n'est véritablement acquise que lorsque les expressions suggérées par le calcul ont été vérifiées par un calcul inverse. Le calcul inverse à son tour peut aider au redressement du calcul primitif, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on obtienne une expression définitive. Il est donc juste de dire, en un certain sens, que les séries dont Newton fait usage, comme les séries célèbres que Mac Laurin et Taylor allaient formuler bientôt, manquaient à cette époque de fondement théorique. Les conditions de leur convergence n'étaient pas démontrées. Mais si Newton, malgré cette lacune, a pu étendre sa méthode des fluxions à une multitude de problèmes nouveaux, il faut en rapporter certainement le mérite à sa prudence d'esprit. Soucieux non seulement de découvrir des développements neufs et élégants, mais encore des solutions valables aux problèmes que pose la nature, il complétait toutes
1. Comp. avec les méthodes d'approximations usitées dans la théorie des équations différentielles. V. p. ex. Picard, Traité d'Analyse, T. II et III.
L'ORIGINE DU CALCUL DES FLUXIONS
ses analyses par des vérifications et des contre-épreuves. Il a créé ce qu'on pourrait appeler l'empirisme mathématique.
Si nous cherchons à résumer ce que les découvertes de Newton ont ajouté aux résultats de ses prédécesseurs, nous verrons que son originalité réside dans les trois points suivants.
D'abord il a compris que les différents problèmes dont se préoccupait le monde savant avaient une origine commune et devaient se résoudre par une méthode commune. Les questions de quadrature ou de rectification, le problème des tangentes ou celui des normales, reposent tous sur une même notion, celle d'infiniment petit ou de moment. Si l'Algèbre spécieuse de Wallis n'arrivait pas plus que celle de Descartes à traiter d'une manière uniforme tous ces problèmes, c'est qu'elle ne possédait aucune notation commode pour désigner les moments. La première invention de Newton est celle d'une notation difl'érentielle.
En second lieu. Newton a saisi le lien de réciprocité rigoureuse qui rattache le calcul intégral au calcul diflérentiel. Bien qu'avant lui on eût donné des exemples du « problème inverse des tangentes », Newton le premier a fait voir que Fluentes et Fluxions se déterminent les unes les autres. L'Algèbre généralisée do Barrow^ permettait, dans certains cas, de trouver les fluxions ou les incréments en partant de fonctions données. On savait aussi remonter des fluxions aux nombres dans quelques circonstances très particulières. Newton, en partant du développement du binôme, et en tirant de là ses développements généraux en série, fit voir qu'un algorithme simple permet, dans tous les cas, avec une approximation aussi grande qu'on le veut, de passer des accroissements aux nombres ou des nombres aux accroissements.
Enfin la méthode de Newton avait un caractère pratique. Les artifices inventés pardeSluse, par Hudde,par 'W^allis, réussissaient dans certains cas et échouaient dans d'autres. Newton a soin d'appliquer aux différentes catégories de problèmes des méthodes proportionnées à leur difficulté. Les expressions dont il est fait usage sont toujours vérifiées à posteriori, et la convergence de ces expressions contrôlée par une sommation directe.
L'esprit pratique de Newton va même plus loin. Afin d'éviter aux calculateurs le soin de refaire sans cesse les mômes opérations, il propose de consigner dans une table les résultats numériques les plus importants afin quon puisse s'y référer systématiquement : c'est l'idée du Catalogue des Quadratures. Par là Newton ne dépassait pas seulement la méthode des mathématicens contemporains, il jetait les premières bases de la Tliéorie des Fonctions et traçait sa voie à l'Analyse moderne.
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