CHAPITRE III

LA PORTÉE DU CALCUL DES FLUXIONS

Nous avons tenu à présenter la Méthode des Fluxions à ui> point de vue mathématique abstrait, pour permettre de saisir sa filiation exacte par rapport aux doctrines antérieures. Nous avons dit que le problème des tangentes, le problème des quadratures, et les autres difficultés auxquelles se heurtait la géométrie du temps avaient amené les mathématiciens anglais et hollandais à inventer de nouveaux artifices, soit de calcul, soit de notation, et que Newton, généralisant ces recherches, avait donné une forme systématique à l'Analyse nouvelle. Mais ce serait méconnaître le sens véritable de la méthode de Newton que den limiter l'interprétation au domaine strictement mathématique. Wallis, Iludde, Fermât, et quelques autres précurseurs de Newton sont géomètres et rien que géomètres. Mais déjà Descartes avait réduit la géométrie au rôle d'auxiliaire de la physique et de la logique. Barrow, le maître de Newton,, s'occupait autant d'optique que de mathématiques, et il est probable que Newton lui dut le goût précoce des recherches concrètes qui l'empêcha de se spécialiser dans les mathématiques pures.

Quoi quil en soit, dès 1G69, c'est-à-dire dès l'époque où Newton composa les premiers écrits mathématiques qui nous soient restés, il est certain que la physique, la mécanique et l'astronomie étaient devenues sa préoccupation essentielle. Les premières expériences sur l'optique datent de 1G66, et Newton lui-même rapporte les premiers théorèmes de sa mécanique aux années i66o-l()6()^ Ceci explique pourquoi dès

1. Bien que cette date soit facile à justifier au point de vue personnel de

cette époque les conceptions mathématiques de Newton sont empreintes d'allusions directes soit à la dynamique, soit à la physique. Déjà dans ÏAyialysis per jEquaiiones Numéro Terminorum Inflnilas, Newton, bien qu'il annonce une doctrine purement algébrique, se sert d'idées et d'expressions empruntées aux sciences appliquées. A plus forte raison dans ses ouvrages ultérieurs, la Méthode des Fluxions et la Quadrature des Courbes, voit-on les problèmes dont s occupe Newton revêtir une interprétation de plus en plus concrète et se rapprocher davantage des problèmes mécaniques. Si nous passons aux Principes Mathématiques de la Philosophie Naturelle, qui contiennent la forme la plus mûre du calcul Newto- Tiien, nous voyons que le langage abstrait a presque complètement disparu. Les quantités algébriques et géométriques sont remplacées par des vecteurs et des trajectoires. Les incréments ou les décréments des lignes, les maxima ou les minima des fonctions, sont toujours interprétés mécaniquement. Le mot même de fluxion a disparu, il est régulièrement remplacé par celui de vitesse. Ainsi l'évolution du calcul des fluxions devait se ressentir non seulement de la géométrie infinitésimale, mais de la mécanique infmitésimale et de la physique intinitésimale. Issu des découvertes concrètes de Kepler et de Galilée, le calcul des indivisibles n'est dirigé par Newton dans la voie algébrique que pour mieux revenir à ses origines, c'est-à-dire aux applications réelles.

La différence de ton entre le langage des Principes et celui des premiers écrits de Newton est tout d'abord si frappante, qu'elle fait croire à un changement d'idées. Les grandeurs dont il est fait mention sont envisagées comme des variables mécaniques. Une fonction n'est pas un ensemble de valeurs considérées indépendamment de leur genèse, et qui correspondent d'une manière tout abstraite aux valeurs d'une certaine variable. C'est une suite, ou mieux une succession de grandeurs qui sont engendrées d'une façon continue par un

Newton, on peut prétendre avec M. Rosenberger [Isaac Sewlon und seine " Physikalische Principien, chez Barth, Leipzig 1895. Ih Partie, ch. I) que les historiens ont eu trop de tendance à ramener à cette date l'origine objective de la mécanique céleste. Cette découverte avait été préparée par des travaux antérieurs dont Newton n'avait pas encore pu prendre connaissance.

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mouvement donné, dans un temps donné. La fluxion d'une quantité quelconque, son incrément ou son décrément, n'est pas l'élément très petit qui s'ajoute d'une façon idéale à la grandeur donnée par le fait d'un accroissement virtuel de la variable. C'est l'augmentation réelle de la fonction quand la variable reçoit un déplacement réel. Partout les infiniment petits, comme aussi les infiniment grands, au lieu d'être assimilés à des nombres arbitraires qui s'ajoutent abstraitement aux nombres donnés, deviennent l'expression de mesures concrètes, correspondant aune réalité mécanique.

On peut juger de cette tendance par le lemme V du Livre L Il s'agit de définir l'idée de limite d'une façon générale, qu'elle s'applique aux grandeurs numériques, géométriques ou algébriques. Newton fait intervenir dans sa définition, d'une manière explicite, l'idée de temps. Les grandeurs dont il s'occupe sont supposées varier dans le temps, même si elles seprésensent in abstracto comme de simples paramètres indéterminés. La notion de temps est d'après lui indispensable pour conduire à celle de limite, quand même il semble que cette dernière se conçoive clairement par la seule étendue. Le Lemme de Newton s'énonce alors ainsi : les quantités et les raisons des quantités qui tendent continuellement à devenir égales pendant un temps fini et qui, avant la fin de ce temps, approchent tellement de l'égalité que leur différence est plus petite qu'aucune différence donnée, deviennent à la fin égales. Bien que Newton essaye en quelques lignes de fournir une démonstration de ce LemmeS il est clair qu'il y a là une définition première plutôt qu'une conclusion démontrable. Le point important de cette définition, c'est qu'elle permet une vérification pratique. Comme les quantités tendant vers une limite doivent l'atteindre dans un temps fini, il devient évident que l'existence des limites relèvera plutôt de l'observation que du calcul. Là où nous admettons l'existence d'une limite, il faut qu'il existe une expérience réalisable, portant sur des grandeurs mécaniques, et dont l'interprétation conduise à voir celte limite comme un fait. En d'autres termes, si le Calcul des Fluxions veut se fonder sur une base solide, il faut que les