Cf. Melh. F/u.i. p

i. V. Ch. I, rArilhnuHique el TAlg^bre.

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des besoins de mesure. Le moyen pratique de perfectionner les notions a été, en conséquence, de les rendre susceptibles de mesure. Le passage progressif du point de vue vague au point de vue précis n'a pu se faire que par une transformation des idées qualitatives en idées quantitatives. Nous entendons par là que les notions les plus simples, sans cesser de s'appliquer aux données concrètes, sans même perdre la clarté primitive qu'elles tiraient d'images usuelles, ont été traduites de plus en plus dans le langage des nombres. Lorsqu'une distance a été exprimée en pieds, en stades ou en milles, elle ne cesse pas de signifier pour cela un ensemble d'impressions que nous procure l'éloignement des objets. Mais nous y gagnons de savoir si les impressions sont comparables à d'autres, et dans quel cas tel objet nous sera plus accessible que tel autre. De même lorsqu'on a mesuré en grammes le poids d'une poudre ou d'une monnaie, l'idée première que nous avions du poids reste flottante et qualitative, mais cette idée s'exprime par un nombre qui n'a plus rien d'ambigu et qui donne un signe précis aux impressions que nous pouvons ressentir. 11 en est exactement de même de toutes les tentatives, soit arithmétiques, soit algébriques, soit géométriques, qui ont pour but de définir clairement des notions utiles. Ces notions restent identiques à elles-mêmes, mais elles revêtent une forme maniable, elles peuvent se prêter à des comparaisons, par suite à la précision et au contrôle.

La marche qui a conduit au Calcul infinitésimal est la même, dans l'esprit de Newton, que celle grâce à qui s'est formé peu à peu le langage mathématique élémentaire. C'est qu'après avoir mesuré directement les longueurs, les surfaces, les volumes, les masses et les temps, après avoir évalué indirectement les densités, les forces, les températures, etc., l'esprit humain a rencontré d'autres notions qu'il était nécessaire d'approfondir pour des raisons pratiques. Prenons par exemple la notion de vitesse, dont Newton fait un usage constant. La vitesse est une réalité objective, bien déterminée, facile à saisir. C'est d'elle que dépendent une foule d'effets dont la connaissance exacte est indispensable. 11 a donc fallu introduire dans la notion vague de vitesse, que le sens commun possède obscurément la distinction du plus et du moins, de

LA PORTÉE DU CALCUL DES FLUXIONS

l'égal et de l'inégal, afin de rendre possible l'addition et la mesure des vitesses. Prenons une notion plus abstraite, celle de la courbure d'une trajectoire en un point. C'est là encore une idée très simple, dont le sens commun a l'intuition, mais qu'il convient de rendre quantitative afin d'y appliquer les procédés de mesure. De là les efforts des géomètres pour comparer cette courbure à une courbure constante prise comme unité, celle du cercle de courbure ou cercle osculateur. L'idée de courbure n'a reçu par là aucune modification logique. Mais on lui fait correspondre, dans le langage, une expression numérique précise peuvant permettre des comparaisons.

Une fois la coubure définie, on voit encore que cette courbure n'est pas en chaque point la même. Elle varie d'un façon continue le long de la courbe, elle possède en chaque point une qualité spéciale qui à son tour peut être transformée en quantité. Ceci mène à chercher une expression précise de la « courbure de la courbure », et on voit que le même procédé va s'appliquer indéfiniment ^ Chaque fois qu'une donnée du bon sens a été affectée dune expression mathématique, il reste à ramener à une forme analogue les variations de cette donnée. Ainsi la création d'un langage mathématique, s'appliquant progressivement à toutes les notions utiles, va se poursuivre indéfiniment. Là où l'Arithmétique et l'Algèbre ont introduit des symboles du premier ordre, permettant la réduction en mesures précises de données concrètes, l'analyse infinitésimale introduira des symboles du second ordre, grâce auxquels la variation des données prendra à son tour une expression nouvelle. A la notion de longueur ou d'espace succédera la notion de vitesse, après celle-ci viendra celle d'accélération, puis celle d'accélération de l'accélération, et ainsi de suite à l'infini. De même l'idée familière du contact, qui s'exprime par la fluxion ou la dérivée première, conduira aux contacts d'ordre supérieur dont le calcul infinitésimal devra donner la mesure.

Nous avons choisi ces exemples entre mille, parce que ce sont ceux de Newton ^, pour montrer la continuité qui existe