V. par exemple Principes L. I, S. 1, Scholie p

Les expressions « d'angle de contact infiniment plus petit ou infiniment plus grand que les angles de contact contenus entre la tangente et la

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entre les difTércntes parties des malhémaliqucs. Elles partent toutes du sens commun, conçu de la façon la plus modeste, comme l'ensemble des idées familiî^-es que l'expérience met en jeu. Ces idées ne sont ni complétées, ni modiliées par les opérations mathématiques. Elles restent des idées du bon sens immédiatement applicables. Mais elles reçoivent une forme spéciale, sont traduites dans un langage nouveau, qui permet de les désigner sans erreur et de les mesurer commodément. L'analyse des intlniment petits n'est qu'un chapitre de ce système de signes, et comme la partie la plus neuve d'une langue répond le mieux aux besoins les plus récents, on conçoit que la méthode des fluxions doit s'appliquer de préférence à la résolution des problèmes nouveaux : quadratures, centres de gravité, problèmes direct et inverse des tangentes. Mais les autres modes de calcul restent utiles chacun dans leur sphère. Le relativisme qui caractérise la méthode de Newton n'est donc qu'une conséquence de sa tendance au nominali.sme. Du moment qu'une notation heureuse est le point essentiel de toute méthode, et qu'une notation, si parfaite soit-elle, ne peut s'appliquer qu'à un certain nombre de choses, il devient évident et nécessaire que les notations se superposent sans se détruire pour former un système complet. L'esprit du physisien et l'esprit du mathématicien collaborent ainsi à la même besogne. S'élever d'impressions vagues et stériles à un ensemble de symboles qui permettent des combinaisons exactes, partir des données de bon sens pour édifier un langage commode, c'est l'œuvre essentielle du géomètre comme ce sera celle du physicien. A la fois physicien et géomètre, Newton, par son Calcul des Fluxions comme par ses Principes^ ne prétend apporter aux problèmes de son temps que la contribution d'un langage nouveau.

Issue comme l'Algèbre et comme l'Arithmétique des données du bon sens, la méthode infinitésimale est en droit d'employer les procédés d'induction dont se sert le bon sens. Parmi ces procédés les deux plus importants sont l'analogie et l'interpolation.

Newton admet que l'analogie aussi bien que l'interpolation

corde des cercles », sont, comme le fait voir le langage très clair de ce lerame, de pures abréviations destinées à désigner des idées communes.

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sont légitimes dans de larges limites. C'est à l'expérience de nous faire voirjusqu'oùon peutlesélendre sans danger. D'abord l'analogie est d'une application constante lorsqu'on veut développer une fonction en série. Newton, qui ne pouvait prévoir les formules générales de Mac-Laurin et de Leibniz, ne connaissaitpas d'autre moyen pour arriver aux développements en série que la division et l'extraction des racines. Ces opérations

sonttoujours pénibles etquciquefois inextricables. Uarrivegénéralement que les premiers termes d'une division peuvent s'écrire sans diflicullé, mais sitôt qu'on veut pousser l'approximation un peu loin, les opérations, théoriquement possibles cessent i)ratiquement d'être eiïectuables. Dans ces cas l'analogie va nous guider. Si les premiers termes d'une série laissent entrevoir une loi de succession régulière, si l'on s'aperçoit qu ils sont des fonctions simples du rang qu'ils occupent, il est tout naturel de supposer que la régularité ne va passe démentir. On écrira les termes éloignés en les construisant en fonction de n sur le modèle des termes les plus proches, et il restera à vérilier si l'expression trouvée répond bien au développement qu'on désire. C'est cette voie que Newton a suivie

l)ourdémontrerdansdescas généraux sa formule du binôme. Ce qui est évident pour le cas d'un exposant entier et positif peut tout au moins suggérer des analogies pour le cas des exposants négatifs, fractionnaires ou incommensurables. C'est cette voie encore qu'il recommandelorsqu'il s'agit de vérifier la validité <1 un développement. Au lieu de substituer aux fluxions de la variable des valeurs infinitésimales, nous sommes obligés de les remplacer par des nombres petits, mais finis, et nous devons voir si ces nombres finis vérifient approximativement la formule Nous calculons donc notre série numérique, jusqu'à un terme <lerangcon vonable, pour une suite décroissante de valeurs dcx, et nous examinons si la somme obtenue satisfait de mieux en mieux aux identités posées. Cette vérification ne pouvantjamais se faire que d'une manière approximative, c'est l'analogie, elle encore, qui nous autorise à estimer qu'à la limite elle se f-erait exactement '. En d'autres termes, les séries infinitésimales gar-

i. Comp. lect. Oplic. Prop. XIV, Cor. II, Lemme VI, p. 141 ,< Nam ralin fmite. co nomme conveniunl ellam incommensurabilibus similiter affécUs,

LA PORTÉE DU CALCUL DES FLUXIONS

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dent une signification précise lorsqu'aux infiniment petits qui y * figurent on substitue des quantités très petites. Mais les expressions qui en résultent, au lieu de converger rapidement, ne tendent que d'une manière assez lente vers leur limite ». La convergence croît d'autant plus vite que les « différences » sont plus près d'être des « fluxions ». On peut donc admettre qu'un résultat approché, lorsqu on se contente de quelques termes finis, deviendra précis lorsqu à la limite on aura une série de termes infinitésimaux.

Enfin l'analogie se retrouve encore dans une autre partie de la méthode. 11 arrive que le langage difl'érentiel rapproche des notions que la géométrie sépare. Cela tient à ce que l'analogie des formules est parfois plus grande que celle des figures. Ainsi l'hyperbole équilatère et le cercle sont pour le géomètre deux courbes entièrement distinctes. Au contraire, l'expression différentielle de Tare du cercle et de l'arc d'hyperbole, la quadrature des aires interceptés par les deux courbes, le développement en série de leurs ordonnées, montrent des analogies profondes que la géométrie ne pouvait dévoiler-. Il suffit de changer un sisrne dans l'ordonnée du cercle pour obtenir celle de l'hyperbole, et il s'en suit que ces deux courbes se ramènent à un type fondamental unique. Dans la Table des Quadratures elles seront représentées par une seule quadrature canonique et l'analogie qui excite entre elles suffira pour <iéduire des propriétés de l'une, par des opérations toujours parallèles, les propriétés de l'autre. Ici encore l'analogie est dictée par la comparaison des formules, elle aura besoin d'être vérifiée a posteriori. En tous cas elle permet de réduire l'un à l'autre des problèmes en apparence distincts,.

quemadmodum ex Euclidis definitione similium rationiim osicndi potest Sed facilius deprehcnditur imaginando quantitates, quas vocant incommensurabiles, posse numerari per partes indefinite parvas, el sic ad naturam commensurabilium, praesertim quoad rationum habitudines, quodam modo reduci m.

1. Cf. MHh. Flux. p. 52. « Denique, licet species, quœ perspicuitatis gratia fuenint hacteniis supposita» infinité parva? .supponanlur quantumvis magnae, tamem quotiens erit adhuc verus, quanquam non adeo celeriter ad veram radicem convergal ; quod palet ex rerum analogià. »

2. Meth. Flux. p. 150. « Hic observare potes quod, licet area circularis cum hyperbolica conferri nequeat, geometrice rem considerando, tameiï ambas deteximus eodem calculo arilhmetico. »

dont l'affinité géométrique ne saute pas aux yeux tout d'abordé L'interpolation, plus encore que l'analogie, est un procédé essentiel à la méthode de Newton. Newton lui-même dit en plusieurs endroits'-, que le problème de l'interpolation est (( peut-être le plus beau de tous ceux dont il désirait la solution ». 11 faut savoir qu'aux yeux de Newton la création des nombres fractionnaires et des nombres incommensurables est déjà la solution d'un problème d'interpolation. Sitôt que l'esprit, humain s'est aperçu qu'il fallait mesurer des grandeurs plus petites que l'unité, il a remarqué que l'intervalle des nombres entiers devait être subdivisé par adjonction de nombres nou-^ veaux servant de passage. Cette idée d'interpolation se représente lorsqu'on veut appliquer la méthode des fluxions à des. courbes complexes. Théoriquement il est possible d'employer l'équation de la courbe, d'en tirer l'expression de l'ordonnée et de procéder à des sommations directes. Mais les séries sur lesquelles ilfaudraitopérerseraientincommodesetcompliquées.

Même en faisant appel à l'analogie, nous n'arrivons pas toujours, à un développement maniable. C'est ici qu'intervient l'idée de l'interpolation. Pour Newton, une courbe transcendante compliquée peut toujours s'intercaler entre deux courbes algébriques plus simples. De même qu'il existe un passage continu d'un nombre entier à un autre, et que les différents termes de ce passage nous sont approximativement connus par les nombres simples qui les enferment, on peut dire qu'une courbe quelconque peut se situer entre deux courbes plus simples. La connaissance exacte de ces dernières fournira une idée de la courbe donnée . Si par exemple nous voulons calculer l'aire d'une courbe non algébrique, il nous est toujours possible de déterminer deux ou plusieurs courbes algébriques, voire même des courbes paraboliques, rencontrant la première ou la touchant, en des points déterminés. Supposons que nous ayons écrit l'équation de ces courbes. Leurs ordonnées étant directement exprimées par un polynôme du 2*= degré, le calcul des aires devient immédiat. Or l'aire de la courbe donnée est comprise entre les valeurs extrêmes qu'on obtient pour les courbes.

1. C'est l'analogie des formules qui suggère à Newton sa théorie de la transformation des figures (V. Principes, L. I, S. 4, Lemme XXII, p. yj).

2. V. par exemple Deuxième Lettre à Oldenb. 24 octobre 1676, p. 341.

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intermédiaires. Plus le degré des courbes de comparaison sélève, c'est-à-dire plus elles sont près de coïncider avec la première, plus l'approximation est parfaite.

De là les règles données par Newton, aussi bien dans la Methodus Differenlialis^ que dans les Principes- pour obtenir l'expression parabolique la plus propre à donner une mesure des aires. Ces règles font pressentir le « calcul des différences » tel qu il allait être créé par Leibniz. Mais ce que linterpolation newtoniennea d'original, c'est qu'elle se donne comme un procédé de bon sens. Newton ne recherclie pas si une courbe transcendante est vraiment la limite de courbes algébriques d'ordre croissant. Il suffit que la continuité existe pour que le bon sens"" permette d'aftirmer que deux courbes ayant un grand nombre de points communs possèdent en tous leurs j)oints des propriétés peu différentes. On sait ce qu'il faut penser de cette règle et les limitations qu elle doit subir. Mais en pratique Tinterpolation newtonienne réussit. Les problèmes transcendants que Ion rencontre ont toujours une allure quasi-algébrique. En déterminant un grand nombre de points et faisant passer par ces points une courbe qllarrable^ nous faisons, l'expérience le montre, une approximation légitime. C'est que la contiimité, dont nous avons l'instinct, se vérifie dans la langue précise du calcul. L'analogie et l'interpolation, que cet instinct de continuité inspire, se trouvent réussir en Analyse pour les mêmes raisons qu'en Algèbre et en Aritbmétique.

Ce qu'on appelle d'ordinaire le bon sens n'a pas une valeur absolue. C'est au fond une croyance vague en la continuité des phénomènes naturels, et cette croyance a besoin d'être consolidée par des vérifications incessantes. Dès qu'on admet avec Newton que toute méthode mathématique emprunte son point de départ aux faits, se laisse guider par des analogies et progresse par une suite d'inductions, il devient évident que la certitude mathématique se rapproche delà certitude expérimen-