Ed. Gaslillon, p

2. L. in, Lemme V. « Invenire Lineam curvam gcneris Parabolici qua? per data quotcumque puncla transibit. »

3. C'est le problème essentiel de la Methodus Di/ferenlialis : « Figuram <îuamcumqiiecurvilineam quadrare quaniproxime, cujus ordinata? aliquot inveniri possunt. »

taie. Dans le raisonnement du géomètre comme dans celui de l'homme ordinaire intervient une part d'hypothèse que les faits seuls peuvent contrôler. De là cette tendance constante chez Newton, qui s'oppose si fort aux habitudes d'esprit cartésiennes, à n'admettre un résultat pour vrai qu'après une série d'épreuves et de contre-épreuves. De là encore cette sorte de défiance qui fait préférer parfois l'évidence d'un exemple à l'apparente certitude d'une démonstration. La Méthode des Fluxions, tout abstraite qu'elle semble, n'échappe pas à la règle commune. Les démonstrations n'y sont assurées que si des exemples variés les confirment, et Newton n'énonce jamais un théorème sans le faire suivre de vérifications. Supposons qu'un développement en série ait été obtenu par voie déductive. Il se peut que ce développement soit illusoire, ou bien parce qu'il est trop général, ou parce qu'il est purement formel. Si l'on veut être sûr que la série ait un sens, qu'elle représente la quantité dont on est parti et elle seule, il faut la substituer dans les équations du problème et s'assurer qu'elle les rend identiques ^ Ce n'est pas là un supplément de preuve, c'est l'achèvement d'une preuve autrement incomplète. De môme lorsqu'on a obtenu la formule qui satisfait à une équation différentielle, il convient de retrouver, en partant de la formule, l'équation différentielle primitive. Alors seulement le problème se trouve avoir reçu une solution adéquate.

Est-ce à dire que la voie analytique, celle qui sert à guider les recherches et à trouver les solutions, soit entièrement douteuse, ou qu'elle mène à des propositions d'une exactitude purement fortuite ? Newton dit au contraire qu'une démonstration synthétique complète est toujours théoriquement possible et qu'elle est comme sous-entendue dans toutes les recherches analytiques. Seulement cette démonstration, qui apporterait avec elle l'universalité, obligerait le plus souvent à des détours pénibles. Il vaut mieux dans un cas donné faire une vérification particulière sur la solution présumée, que se référer déductivement à des théorèmes lointains-. Par exemple lorsqu'une qua-

1. De Anal, per Alquat. Infin. « Substituendo quotientem proy in iEquatloneni propositam, videbis terminos illos sese perpetuo destruere, in quibus X est minimarum dimensionum. »

2. Meth. Flux. p. 8i. « Hoc pacto solutum est Problema, sed latet Demons-

Bloch. 8

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drature a été effectuée, il convient de repasser de la fonction à sa fluxion, de contrôler par un calcul inverse le résultat du calcul directe Le plus souvent ce procédé mènera plus rapidement au but qu'un essai de déduction toujours laborieux.

On voit que Newton, malgré le caractère général de sa méthode, admet la possibilité qu'elle se trouve en défaut. De fait, on a pu démontrer avec rigueur que les règles pratiques données par Newton ne s'appliquaient qu'à certains types de fonctions, et pouvaient conduire dans d'autres cas à des formules divergentes ou indéterminées. Les vérifications qu'il propose sont donc nécessaires, et si généralement elles sont heureuses, c'est que le Calcul des Fluxions s'est attaché d'abord aux problèmes les plus simples et les plus réguliers. Mais il est intéressant de comparer l'attitude prudente de Newton avec le ton décisif de la science cartésienne. Là où le calcul a priori donne un résultat formel, il est impossible, pensait Descartes, que ce résultat puisse être révoqué en doute. Si nous sommes partis d'idées claires et si nous les avons développées conformément aux règles de la méthode, l'évidence où nous arrivons doit s'imposer à la nature. C'est seulement dans le cas où le calcul ne peut rien qu'il y a lieu « daller au-devant des causes par les effets. » Partout ailleurs l'idée de démontrer une vérité par l'expérience, soit en se servant d'une vérification directe, soit en invoquant un contrôle indirect, eût semblé à Descartes aller à rencontre de toute méthode. Ce que la « raison » donne comme assuré ne peut être obtenu que par une seule voie, celle desdéductions, et dumomentque cette voie aboutit, il estinutile d'en rechercher d'autres. Pour Newton tout au contraire, la raison n'est qu'une forme du bon sens, et celui-ci se fonde sur l'expérience. Les produits les plus raffinés de cette raison, — l'analyse mathématique est du nombre, — ne sont que des règles pratiques permettant de résumer et de prévoir l'expérience. La valeur qu'aura l'analyse ne peut donc se juger qu'à l'emploi. Si

tratio. Cum autemtot et tam varia contineat hoc Problcma ut Demonstratio synthetica sine maximis ambagibus deduci nequeat ex genuinis ejus fundamentis, sufficiet eam breviter indicare analyticè. m

1. Ibid. « Proposita igitur vEquatione. et opère peracto, tenta niim ex œquatione reperta regredi liceat ad propogitam, per Probl. \. Qiiod ubi accidit, constat Relaiionemquœ est inter quantitates in .Equatione reperta requirere Relationem qiiae est inter Fiuxiones in proposita. et vice versa. *

LA PORTÉE DU CALCUL DES FLUXIONS 415

la méthode des fluxions nous conduit à des résultats cohérents, vérifiables, d'accord avec les faits avérés, elle pourra prétendre à un rôle utile. Mais tenter d'en faire à priori, sans contrôle expérimental, un mécanisme de pure déduction grâce auquel on peut construire l'expérience, serait une vue métaphysique que Newton ne pouvait partager. C'est pourtant ce que fait Leibniz, et il y a là une des raisons sérieuses de son conflit avec Newton.

Il sortirait du cadre de cette étude de faire un historique complet du conflit entre Newton et Leibniz. On trouvera un exposé très clair de la question dans la troisième partie de l'ouvrage déjà cité du Professeur Ferd. Rosenberger ^. Les incidents de ce conflit y remplissent un très long chapitre, fort instructil au point de vue du jugement à porter sur la question de priorité. Mais au point de vue de l'histoire des idées, il n'existe pas sans doute dans les annales de la science de querelle plus déplorable et moins féconde. Il est remarquable que cette dispute célèbre, née de circonstances tout accidentelles, entre deux hommes arrivés l'un et l'autre au faîte de la vieillesse et de la gloire, n'ait modifié en rien ni les idées des deux adversaires, ni les tendances de leurs disciples. On pourrait difficilement citer un seul progrès que cette dispute ait fait faire aux notions nouvelles touchant les infiniment petits, alors qu'en armant l'une contre l'autre l'Ecole anglaise et l'Ecole allemande, elle les priva pour longtemps l'une et l'autre des avantages qu'elles eussent tirés de leur union.

Presque au môme moment un autre conflit, moins lameux dans l'histoire, plus pénible peut-être au point de vue moral, devait s'élever entre les deux frères Jean et Jacques Bernouilli^. C'est à propos du problème des isopérimètres que le désaccord surgit. Mais ce conflit au moins fut riche en résultats, il suscita des recherches nouvelles, fit découvrir des méthodes inconnues. Autant la querelle des frères Bernouilli a servi à promouvoir les méthodes naissantes de Calcul infinitésimal, autant celle de Newton et de Leibniz, fondée sur de

1. Isaac Newton u. seine Physikalisclie Principien, Ein Hauptstùck aus der Entwickelungsgeschiciite der modernen Physik. — Chez Johann Ambrosius Barlh, Leipzig 1895.