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nous avons simplement exprimé qu'à chaque instant il y avait équilibre fictif entre la force appliquée et le produit de la

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masse par Taccélération. Mais si la force F, au lieu d'être constante, varie avec le temps, cette équation demeure vérifiée. Nous allons pouvoir exprimer à l'aide du calcul que l'équation valable en un instant t est la conséquence de toutes les équations analogues écrites pour les instants précédents. 11 suffira d'appliquer aux deux membres de l'équation la sommation par rapport au temps. Cette sommation permettra de passer des accélérations aux vitesses, et une seconde sommalion permet de s'élever des vitesses aux déplacements. Oji v(»it que l'emploi du calcul intégral, qui est la grande supériorité de la mécanique de Newton par rapport à celle de (îalilée, repose entièrement sur l'application du principe de l'indépendance des effets des forces.

Le même principe prend une autre expression si au lieu (renvisager les effets successifs d'une même force, on considère les effets simultanés de forces différentes. La notion des forces simultanément appliquées à un même corps n'a pas été définie jusqu ici. Nous avons pris l'habitude de considérer le mouvement comme un tout, et de lui chercher une cause totale. Mais, grâce à ce que nous venons de dire, il va nous être possible d'introduire la convention par laquelle deux ou plusieurs forces peuvent agir en même temps sur une masse donnée.

Considérons une masse matérielle qu'on a soumise à une première impulsion. Elle va se transporter avec une vitesse constante qui pourra donner une idée de cette impulsion. Supposons qu'une deuxième impulsion soit imprimée à la même masse un temps très court après la première, et qu'ensuite le système soit abandonné à sa propre inertie. Il ressort du principe de Newton, sous sa première forme, que le mouvement se modifiera de façon que la trajectoire réelle, nécessairement rectiligne, soit la même pour un observateur solidaire de la translation du mobile qu'elle eût été dans le cas du repos. En pratique il est impossible de donner à un corps des impulsions instantanées, et surtout des impulsions qui se suivent à un intervalle de temps « indivisible ». Mais le principe de continuité permet de suppléer à l'imperfection de nos moyens. Il nous autorise à étendre le résultat de nos observations de cas très voisins du cas idéal à ce cas limite lui-même, et à dire que la nature suit à peu près les lois que le calcul énonce rigoureu-

sèment. Alors nous voyons qu'on arrive à définir ce qu'il faut entendre par un groupe de forces appliquées simultanément à un même corps. C'est l'ensemble limité d'un groupe réel de forces appliquées presque en même temps. Four que cette définition soit légitime il faut encore démontrer que l'effet produit est indépendant de l'ordre dans lequel les forces agissent. Cela même résulte immédiatement de ce que nous savons déjà du principe de Newton. On peut donc convenir de regarder comme agissant ensemble des forces qui en réalité sont toujours successives, pourvu qu'il ne résulte de cette convention rien de contraire aux faits.

En d'autres termes, il faudra vérifier que le passage à la limite est légitime, comme dans le calcul des fluxions il faut toujours contrôler la solution par la contre-épreuve. Mais on conçoit tout de suite qu'en mécanique le contrôle direct est rigoureusement impossible. Il nous est impossible, par la nature des choses, d'instituer des expériences où plusieurs forces simultanées agiraient de concert. Tout ce que nous pouvons faire, c'est d'interpréter une force globale comme la résultante de forces partielles, et de chercher si cette manière de voir n'entraîne aucune contradiction. A vrai dire il n'y a pas d'expérience particulière qui puisse confirmer mieux qu'une iiutre notre principe. La valeur pratique de ce principe ressort de la mécanique tout entière. La cohésion des parties de cette science, l'appui mutuel et la confirmation indirecte qu elles se prêtent, sont la meilleure preuve de la validité de son point de départ. C'est volontairement que Newton, au lieu de déduire la composition des forces a priori, préfère le regarder comme une donnée de la mécanique rationnelle K

La seconde forme du principe de Newton est celle qui est demeurée dans la science sous le nom de théorème de la composition des forces, ou du parallélogramme des vitesses. Elle est énoncée par Newton de la façon suivante. «Un corps poussé par deux forces, parcourt, par leurs actions réunies, la diagonale d'un parallélogramme dans le même temps dans

i. Cf. Principes, L. I, Axiomes p. 19. « CeUe résolution et cette composition des forces se trouve confirmée à tout moment dans la mécanique ». — et cor. II, p. 2L « Ceci fait voir la fécondité de ce corollaire, et fournit de nouvelles preuves de sa vérité ».

lequel il aurait parcouru ses côtés séparément. D'où Ton voit qu'une force directe AD est composée des forces obliques quelconques AB et BD, et réciproquement qu'elle peut toujours se résoudre dans les forces obliques quelconques AB et CD*. » Ce théorème pose d'une manière définitive le principe d'additivité des forces. Jusqu'à présent nous avions bien le moyen de juger si deux forces sont égales, mais nous ne savions pas, dans le cas où elles ne le sont point, déterminer leur somme ni leur dift'érence. Maintenant nous sommes en possession d'un mode géométrique qui va nous permettre d'appliquer aux forces un système complet d'opérations. De même qu'un nombre peut toujours, et cela d'une infinité de manières, être regardé soit comme une somme soit comme une différence d'autres nombres, une force pourra toujours se composer ou se décomposer par l'emploi de forces homogènes. Seulement les grandeurs de ces forces ne s'additionnent ou ne se retranchent pas d'une manière purement algébrique. La force, outre sa grandeur et son signe, possède un caractère géométrique, savoir sa direction. 11 est nécessaire que cet élément géométrique soit également susceptible d'addition. Ce résultat s'obtient d'une manière systématique en faisant usage de la règle du parallélogramme. Cette règle fournit en mécanique l'équivalent des algorithmes spéciaux qu'on rencontre dans le Calcul des Fluxions. Elle permet d'appliquer indifféremment, avec une large part d'arbitraire, la méthode analytique ou la méthode synthétique, puisque la composition et la décomposition géométrique ne diffèrent que par le point de vue où l'on se place. Dans l'un et l'autre cas la loi du parallélogramme des forces doit être envisagée comme un axiome expérimental, elle tire sa valeur du contrôle permanent des faits.

Le principe de l'indépendance des effets des forces par rapport au mouvement antérieurement acquis peut se formuler d'une troisième manière, si l'on fait intervenir la distinction des mouvements absolus et des mouvements relatifs.

Jusqu'ici nous avons admis implicitement que nous avions affaire à un corps se mouvant dans l'espace absolu. Les forces telles que nous les mesurions étaient des forces absolues, et