PARIS

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A Monsieur Jules RICHARD

Hommage cordial.

LA

DE

HENRI POINCARE

La logique traditionnelle, telle qu'on la trouve exposée chez les Rationalistes classiques, repose sur le dilemme suivant : les principes des sciences sont ou des vérités rationnelles, ou des vérités empiriques. Les vérités rationnelles sont a priori, universelles, éternelles, analytiques et nécessaires ; les vérités empiriques sont a posteriori, singulières, révisibles, synthétiques et contingentes. A ces deux catégories de principes correspondent deux sortes de sciences : les sciences rationnelles et les sciences de la nature, les premières de vérité nécessaire, les secondes de vérité contingente. Ces deux sortes de vérité relèvent de deux facultés bien distinctes : l'entendement discursif qui élabore des concepts empiriques et qui enchaîne des syllogismes ; la raison, une et

F.. RoiGIER. 1

enlière en chacun de nous, qui est le lieu des vérités nécessaires. La raison apparaît dans la nature comme « un empire dans un empire », et la question de son origine pose un problème métaphysique considérable.

Kant a essayé de se soustraire à ce dilemme, en reconnaissant une troisième alternative : il existe des jugements synthétiques a priori, issus d'une législation de l'esprit sur la nature, dont la nécessité est subjective en ce sens que, s'appliquant au monde phénoménal de l'expérience, ils ne valent pas pour monde nouménal des choses en soi. L'existence des jugements synthétiques a priori implique la présence en nous d'une structure mentale spécifique, dont l'origine est tout aussi mystérieuse que la raison des philosophes classiques.

Pour échapper à ce mystère, les empiristes se sont efforcés à ramener les axiomes des sciences dites rationnelles à des généralisations empiriques fondées sur l'induction : telle est l'idée maîtresse qui commande le Traité de logique inductive et déductive de Sluart Mill. Cette . conception se heurte à une difficulté insurmontable. Si les sciences mathématiques, sciences rationnelles par excellence, reposent sur des vérités empiriques, rien ne les distingue plus de celles de la nature : elles deviennent, comme elles, approximatives et révisibles, et perdent le caractère de certitude et d'exactitude que tout le monde s'accorde à leur reconnaître. La correction qu'apporLe Taine, dans son livre V Intelligence, à l'empirisme du logicien anglais, pour sauvegarder 1 apodicité des mathématiques, est une concession au rationalisme. Il existe, dit Taine, une opération intellectuelle que Stuart Mill a systématiquement négligée : c'est l'abstraction. Les axiomes mathématiques sont des propositions

abstraites, nécessaires parce qu'analytiques : « Les axiomes sont des propositions analytiques, où le sujet contient l'attribut, soit dune façon très visible, ce qui rend l'analyse inutile, soit d'une façon très masquée, ce qui rend l'analyse presque impraticable1. »

Les philosophes ne se sont jamais entendus sur les sciences auxquelles il convient d'attribuer le qualificatif de rationnelles. Au xvnie siècle, par exemple, le débat était vif pour savoir si les principes de la mécanique étaient des vérités nécessaires ou des vérités contingentes ; et. cédant aux préoccupations de l'époque, l'Académie de Berlin fit de ce problème un sujet de concours. Il est toutefois des sciences considérées unanimement comme rationnelles : ce sont les sciences mathématiques. Au sujet de leurs principes, la logique traditionnelle, en tenant compte de la solution kantienne, nous met donc en face de ce trilemme : ces principes sont des jugements analytiques, ou des jugements synthétiques a priori, ou des jugements empiriques ; dans les deux premiers cas, ces principes sont des vérités apodictiques ; dans le troisième, ce sont des vérités assertoriques.

Ce sera l'incomparable mérite d'Henri Poincaré d'avoir établi que ce trilemme nest pas de mise. Il existe une solution, dont ne s'était avisé aucun des philosophes classiques, et qui est la bonne : les principes des sciences mathématiques ne sont ni des vérités apodictiques, ni des vérités assertoriques ; ce sont des dé Imitions déguisées 3 c'est-à-dire des conventions. Ces conventions sont facultatives, en ce sens qu'elles sont choisies entre plusieurs autres possibles ; mais leur choix n'est pas

1 L'Intelligence, t. II, p. 336.

arbitraire, en ce sens qu'il est guidé par des raisons de commodité théorique et de convenance pratique : l'expérience nous le suggère, sans toutefois l'imposer.

C'est, précisément, parce qu'elles reposent sur des conventions initiales que les mathématiques sont apodictiques. Elles constituent des théories déductives, dont la vérité est purement formelle. Le mathématicien est tenu seulement de rester d'accord avec les décrets qu'il a librement posés, sous la seule réserve d'être cohérents, et dont il saisit par avance tout le contenu. Il n'a pas de compte à rendre par devant une réalité objective qui se dérobe toujours en partie à une analyse exhaustive, comme dans les sciences de la nature.

• Le caractère conventionnel de l'analyse a été souvent reconnu ; il n'en est pas de même pour la géométrie. Les théorèmes géométriques semblent bénéficier d'une double certitude : à la nécessité apodictique, qui procède de la démonstration, ils joignent l'évidence sensible, qui résulte de l'intuition spatiale. Ils semblent comporter ainsi une double vérité : la vérité formelle, qui consiste dans la cohérence logique du discours ; la vérité matérielle, qui réside dans l'accord de la pensée avec son objet. « Les vérités géométriques, dit Ampère, ont une réalité objective qui ne se trouve pas dans celle de l'arithmologie1. » Aussi est-ce à la géométrie ordinaire que les Rationalistes classiques ont emprunté le plus volontiers leurs exemples. Gomme le dit excellemment Russell, si l'on veut bien remplacer, dans le passage suivant, le terme d' « Idéalistes » par celui de o Rationalistes » : m Pendant le xvne et 4e xvin° siècles, la Géométrie est

1 Ampère, Essai sur la philosophie des Sciences, p. 64.

resiée la forteresse inexpugnable des idéalistes dans la guerre contre l'empirisme. Ceux qui soutenaient, comme on le faisait généralement sur le continent, qu'on peut avoir une connaissance certaine indépendante de l'expérience et portant sur le monde réel, n'avaient qu'à montrer la Géométrie : personne, si ce n'est un insensé, disaient-ils, n'élèverait de doute sur sa validité, et nul autre qu'un fou ne pourrait nier son application objective1. »

C'est donc appliquée à la géométrie, que la thèse de Poincaré devait sembler surtout subversive ; c'est en géométrie que ses incidences philosophiques étaient susceptibles du plus grand retentissement ; c'est à l'imposer en géométrie que Poincaré devait consacrer la majeure partie de ses efforts ; c'est en cette matière que sa pensée a été le plus souvent défigurée , travestie, sollicitée en des sens divers, en vue des utilisations les plus variées.

Cet ouvrage est consacré à l'exposé du « conventionalisme » géométrique de Poincaré. Toutefois, étant donnée l'étendue du sujet, on a éprouvé le besoin de se restreindre. Les spéculations de Poincaré ont porté, tour à tour, sur Y Analysis Situs ou Topologie, sur la géométrie projective, sur la géométrie métrique, et, plus particulièrement, sur le postulat métrique d'Euclide et l'axiome topologique des trois dimensions. Laissant délibérément de côté les autres principes des deux premières géométries, il ne sera ici question que des postulats de la géométrie métrique et de l'axiome des trois dimensions.

1 Russell, Essai sur les fondements de /a Géométrie, trad. Cadenat, Paris, 1901 , p. 1.

La procédure adoptée est la suivante. L'expression de la pensée de Poincaré est extrêmement elliptique et, souvent, d'apparence paradoxale. Pour être comprise, elle nécessite des connaissances techniques qui font défaut à la plupart de ceux qui l'abordent, croyant de bonne fo1 qu'elle s'adresse au grand public. Or, on ne peut fructueusement en disserter, qu'après s'être initié à la théorie logique de la déduction, à l'étude géométrique des métriques non-euclidiennes, à la théorie analytique des groupes de transformations. Aussi, avons-nous tout d'abord dû songer à écrire les prolégomènes logiques et mathématiques propres à rendre accessible aux philosophes la lecture de l'œuvre épistémologique de Poincaré. C'est à quoi s'emploie la première partie de ce travail. Elle trouve son unité, en se présentant, tout naturellement, comme un exposé des origines et du développement des métriques non-euclidiennes. Le point de départ des spéculations de Poincaré, qui devait le conduire à sa théorie de la convention, se trouve, en effet, dans la découverte qu'il fît, au cours de ses recherches sur les fonctions fuchsiennes, d'une interprétation euclidienne remarquable des géométries non-euclidiennes.

La seconde partie est consacrée à l'exposé de la théorie de la convention et dès critiques adressées par Poincaré aux doctrines adverses : à l'empirisme et au kantisme. Ce faisant, nous n'avons pas compris notre rôle à la façon d'un rapporteur passif, simplement soucieux d'être fidèle. Prenant fait et cause pour la doctrine que nous exposions, nous nous sommes appliqué à la préciser en maints points qui appelaient d'indispensables compléments. Nous avons montré comment la confirment les utilisations récentes qui ont été faites, dans la physique de la relativité, des

PRÉFACE il

géométries non-euclidiennes et de la géométrie à quatre dimensions. En particulier, le caractère obscur de la notion de convention étant souvent incriminé, nous avons pris soin de l'élucider, en distinguant différentes sortes de conventions. Il y a là les premiers linéaments d'une Logique de la convention, qui mérite de trouver droit de cité, dans l'avenir, à côté de la Logique des classes, des propositions et des relations.

Cet essai procède directement des préoccupations d'esprit qui ont inspiré la rédaction de notre ouvrage les Paralogismes du Rationalisme. Ce dernier travail, comme son nom l'indique, est essentiellement critique. Il se borne à dénoncer les paralogismes contenus dans les arguments par lesquels on prétend accréditer la croyance en l'existence de vérités a priori, indépendantes de notre esprit et de la nature. Il établit que ces arguments sont dénués de valeur probante. Mais il garde généralement toute réserve sur la question de savoir quelle est la vraie nature des énonciations considérées jusqu'ici comme des vérités éternelles : sont-elles des propositions formelles, des vérités hypothétiquement nécessaires, des généralisations empiriques, des hypothèses heuristiques ou de simples conventions et de quelle sorte? La réponse, en vérité, varie dans chaque cas particulier; et, dans chaque cas, elle peut n'être point univoque : une même énonciation peut fort bien appartenir simultanément, suivant les points de vue sous lesquels on l'examine, à des catégories dénonciations fort distinctes. Il nous a paru, dès lors, suggestif et piquant de montrer, sur un exemple particulièrement significatif, comment les principes que les Rationalistes ont considérés par excellence comme des vérités a priori et nécessaires, indépendantes

de l'esprit et de la nature, se ramènent à des conventions commodes, qui ne nous paraissent évidentes qu'en vertu de certaines contingences empiriques du milieu qui nous sert d'habitat.