I. — Nature formelle d'une théorie déductive

Toute théorie déductive consiste en un double processus de réduction : réduction des notions les unes aux autres par définition, réduction des propositions les unes aux autres par démonstration. Définir une notion, c'est la ramener, à l'aide des seules opérations de la logique, à une combinaison de notions plus simples ; démontrer une proposition, c'est la ramener, au moyen des seules implications et substitutions permises par les règles du calcul logique, à une combinaison formelle d'autres propositions, admises pour vraies ou précédemment démontrées. Ce double processus de réduction ne peut être indéfiniment poursuivi. Il est nécessaire de s'arrêter à un petit nombre de notions indéfinissables, auxquelles on puisse réduire toutes les autres à l'aide de définitions

1 Abréviations. — Nous utiliserons les. abréviations suivantes : La Science et l'Hypothèse .' S. H. ; — La Valeur de la Science : V. S. ; — Science et Méthode: S. M.; — Dernières Pensées : D. P.; — Revue de Métaphysique et Morale : R. M. M.

Ii LA PHILOSOPHIE GÉOMÉTRIQUE DE POINCARÉ

nominales ; à un petit nombre de propositions indémontrables, auxquelles on puisse ramener toutes les autres à l'aide de démonstrations. Toute théorie déductive comprend ainsi deux sortes de notions et de propositions : les notions premières, qui sont nominalement indéfinissables et les notions dérivées, définissables à partir d'elles; les propositions premières, qui sont indémontrables, appelées indifféremment dans la suite axiomes, postulats ou principes, el les propositions dérivées, démontrables à partir d'elles, que l'on nomme communément théorèmes.

Toute théorie déductive repose ainsi sur un système de notions et de propositions premières, indéfinissables et indémontrables.

Le choix d'un système de notions et de propositions premières est conventionnel , indéterminé, mais non arbitraire.

i° Il est conventionnel en ce sens qu' aucune signification absolue ne s attache aux qualificatifs d'indéfinissable et d indémontrable , de notion première et de proposition première. Une notion n'est indéfinissable et une proposition indémontrable que par rapport à un certain système de définitions et à un certain ordre de démonstrations ; avec un autre système et selon un autre ordre, les mêmes notions peuvent être définies et les mêmes propositions démontrées. Ainsi, pour exposer déductivement la géométrie métrique d'Euclide, une infinité de systèmes de notions et de propositions premières, tous équivalents entre eux, sont possibles. M. Peano prend comme premières les notions de point et de segment; M. Pieri, celles de point et de mouvement; M. Yeblen, de point et d'ordre; M. Padoa, de point et de distance de deux points; M. Hilbert, de point, droite, plan, situé sur, situé entre, parallèle, le choix des propositions premières variant dans chaque cas avec celui des notions.

Tous ces systèmes sont équivalents, c'est-à-dire qu'on peut en déduire le même corps de propositions. Ce qui importe, c'est donc moins le système variable des notions et des propositions premières, que l'ensemble permanent de leurs conséquences. Demander si une notion est définissable ou si une proposition est indémontrable, sans spécifier à quel système de notions et de propositions premières on se réfère, est une question aussi vide de sens que demander si un corps est en repos ou en mouvement, sans préciser à quel système de coordonnées on le rapporte. La question : Le postulat d'Euclide est-il démontrable, en partant des autres postulats énoncés par Euclide? a un sens; mais demander d'une façon absolue : Le postulatum est-il démontrable? n'en a aucun, parce qu'il n'existe pas de notions et de propositions géométriques que l'on puisse considérer absolument comme premières.

2° Le choix d'un système est indéterminé, en ce sens qu aucune signification particulière, intuitive, concrète, psychologique, ne s'attache aux notions premières d'une théorie déductive. On doit traiter ces notions comme des symboles non définis et raisonner sur eux, c'est-à-dire opérer les transformations permises par le calcul logique, sans se préoccuper de savoir ce qu'ils représentent. C'est ce qui fait dire à Russell : « La mathématique est une science où l'on ne sait jamais de quoi l'on parle, ni si ce qu'on dit est vrai ». L'avantage d'une telle procédure est d'éliminer tout appel à l'intuition dans la suite des déductions. Tout appel à l'intuition risque de faire intervenir implicitement un postulat nouveau1 et substitue, dans le cas le plus favorable, l'évidence assertorique, que procure l'in-

1 Comp. S. M., p. 157 : « Dans les raisonnements où l'intuition joue encore un rôle, dans les raisonnements vivants pour ainsi dire, il est difficile de ne pas introduire un axiome ou un postulat qui passe inaperçu. »

tuition spatiale, à la nécessité apodictique que dispense seul le raisonnement.

Ce que Ton perd ainsi en détermination, on le gagne en généralisation. Puisque la vérité des propositions que l'on déduit est indépendante de l'interprétation des notions premières sur lesquelles on raisonne, une théorie déductive a un caractère purement formel, indépendant de la matière à laquelle on l'applique. C'est une sorte de schème logique, un barème de déductions toutes faites qui peuvent s appliquer aux objets matériellement les plus divers, pourvu que ceux-là vérifient les relations énoncées dans les propositions premières entre les symboles non définis de la théorie. Il peut donc y avoir plusieurs interprétations, matériellement différentes, d'une même théorie déductive. C'est ainsi, comme nous le verrons1, que Poincaré a pu fournir trois interprétations euclidiennes différentes de la géométrie de Lobatchefski, envisagée d'un point de vue formel comme un simple système déductif. C'est ce qui Ta conduit à écrire : « Les mathématiciens n'étudient pas des objets, mais des relations entre les objets; il leur est donc indifférent de remplacer ces objets par d'autres, pourvu que les relations ne changent pas. La matière ne leur importe pas, la forme seule les intéresse'2. »

3° Tout en étant conventionnel et indéterminé, le choix d'un système n'est pas pour cela arbitraire. Il est tenu à respecter deux conditions nécessaires: la suffisance et la cohérence.

Un système est suffisant si, en partant des notions et des propositions choisies comme premières, on peut définir toutes les autres notions et démontrer toutes les autres propositions de la science considérée. Il est cohé-

1 Vide infra, chap. it.

renl, si les propositions premières sont compatibles, c'està-dire ne conduisent à aucune contradiction dans la suite.

Pour établir la cohérence d'un système de postulats, on peut suivre deux méthodes : l'une intuitive, l'autre logique. La première repose sur le principe : tout ce qui est réel est possible, en entendant par réel ce qui existe empiriquement ou ce qui peut se figurer intuitivement. On cherche alors à donner des symboles non définis d'une théorie une interprétation concrète qui vérifie toutes les relations énoncées dans les propositions premières. Ainsi, pour écarter de la planimétrie non-euclidienne le soupçon d'incohérence, Beltrami l'interprète comme la métrique des surfaces à courbure constante, en faisant correspondre aux droites non-euclidiennes les géodésiques de ces surfaces. La méthode logique est relative : elle s'applique à tous les cas, sauf un. Elle consisLe en ceci : une fois admise la cohérence des notions et des propositions premières d'une certaine théorie, on cherche à donner des symboles non définis d'une seconde théorie une interprétation fondée sur la première. Une fois admise, par exemple, la compatibilité des postulats de la géométrie projective ou de la géométrie ordinaire, on ramène à ceux-là les propositions des métriques non-euclidiennes. La présomption que ces disciplines ne soient pas contradictoires, se trouve ramenée à celle de la compatibilité des principes posés par von Staudt ou Euclide : c'est la voie suivie par Cayley, Klein et Poincaré. La cohérence des propositions d'Euclide peut être garantie à son tour par celle des principes de l'analyse, en traduisant les propositions géométriques sous forme d'équations, par l'emploi des coordonnées : on obtient des relations analytiques dont la non-contradiction, par suite de l'arithmétisation des mathématiques, dépend de celle des principes de l'arithmétique. Mais des principes de l'arithmétique on

peut donner une interprétation logistique que M. Pieri a développée, ainsi que MM. Russell et Whitehead. En fin de comple, la cohérence des sciences mathématiques se trouve ramenée à celle de la logistique.

Hilbert s'est demandé si on ne pourrait pas arriver à prouver directement la non-contradiction des axiomes d'une science déductive1. Il l'a entrepris pour les principes de l'arithmétique. Sa tentative était nécessairement vouée à l'échec, et Poincaré ne s'est pas fait faute de la critiquer"2. En effet, les contradictions ou les dépendances des propositions peuvent être démontrées par des raisonnements apodictiques, au lieu que les non-contradictions ou les indépendances des propositions ne peuvent être établies que par des constatations assertoriques.

D'autres desiderata peuvent être requis, d'ordre quasiesthétique et, à ce titre, nullement exigibles : ce sont l'indépendance, l'irréductibilité ou la nécessité des notions et propositions premières, et leur plus grande économie possible.

On dit que les notions premières sont indépendantes, quand aucune d'elles ne peut être définie au moyen des autres, en partant des postulats qui déterminent leurs relations ; on dit que les propositions premières sont indépendantes, quand aucune d'elles ne peut être démontrée au moyen des autres. Pour établir qu'une notion est indépendante des autres notions premières, il faut et il suffit de changer son interprétation, sans modifier celle des autres : si elle pouvait se définir au moyen de celles-ci, sa signification serait déterminée univoquement dès qu'on aurait fixé leur sens, et on ne pourrait modifier son inter-

1 D. Hilbert, Ueher die Grundlagen der Logik und der Arilhmetiky ap. Verhandl. III. Int. Math.-Kongr. in Heidelberg, 1904; Grundlagen der Géométrie, oe Aull., Leipzig, 1899, Anhang VII.

prélation qu'au prix de celle de toutes les autres. Par conséquent, pour établir qu'un système de notions premières est irréductible, il faut et il suffit qu'on puisse trouver une interprétation pour chacune d'elles, qui vérifie le système des propositions premières et qui continue à le vérifier quand on chancre le sens de la seule notion considérée. Pour établir qu'un postulat est indépendant des autres, on montre que la proposition contraire est compatible avec les autres postulats ; pour établir qu'un système de postulats est irréductible, il faut et il suffît alors qu'on puisse trouver, pour chacun d'eux, une interprétation du système des symboles non définis, qui vérifie tous les postulats, sauf celui-là. Ainsi les interprétations intuitives des géométries non-euclidiennes montrent l'indépendance du postulat d'Euclide à l'égard des autres axiomes de la géométrie métrique ordinaire. Dans ce cas, on dit qu'on a démontré Y indépendance absolue des propositions entre elles. Il arrive, en effet, qu'on puisse seulement établir leur indépendance ordonnée, c'est-à-dire montrer que chacune d'elles est indépendante de la précédente.

Le desideratum de la plus grande économie possible consiste à réduire au minimum le nombre des notions et des propositions choisies comme premières. Cette condition est souvent obtenue au détriment de la clarté et de l'aisance de l'exposition.

Les notions premières d'une théorie déductive désignent, soit des classes d'objets indéterminés, soit des relations. Ces relations peuvent être logiques ou spéciales. Dans le premier cas, elles s'expriment directement à l'aide d'algorithmes logiques. Dans le second cas, elles requièrent des symboles spéciaux, dénués de toute signification particulière, mais caractérisés uniquement par leurs relations formelles (symétrie, transitivité, uniformité, etc.),

telles que permet de les formuler la Logique des relations de Russell. Dès lors, toute relation concrète particulière, qui jouit des mêmes relations formelles, constitue une interprétation possible d'un symbole spécial de relation.

Les propositions premières de la géométrie ont été distinguées par les Anciens, suivant l'exemple d'Aristote, d'Euclide et de Proclus, en axiomes et en postulats. Les axiomes seraient évidents ex terminis, ils seraient vrais par eux-mêmes y.a9' è'so-a : ce seraient des jugements analytiques, inconditionnellement nécessaires ; les postulats seraient des jugements synthétiques, dont l'évidence ne serait pas immédiate, mais qui seraient requis au cours des démonstrations. Les axiomes exprimeraient des propriétés communes à tous les ordres de grandeurs, d'où leur dénomination de notions communes ; les postulats ne s'appliqueraient qu'à une seule espèce de grandeurs : les axiomes énonceraient les propriétés générales des grandeurs de tout ordre; les postulats réclameraient la possibilité d'effectuer certaines constructions particulières, assumant, à l'égard des axiomes, le même rôle que les problèmes de construction par rapport aux théorèmes. Pour jouir d'une très longue prescription, la distinction entre les axiomes et les postulats est aujourd'hui surannée. Locke et Leibniz remarquaient déjà que les axiomes, conçus à la façon d'Euclide, ne remplissent aucun rôle effectif dans les démonstrations. En réalité, ou bien ils se ramènent à des propositions de logique qui servent comme règles de déduction, ou bien ce sont des principes propres à la science dont il s'agit, et par suite des postulats. Par exemple, l'axiome euclidien : « Deux quantités égales à une même troisième sont égales entre elles » se ramène à la règle logique de la transitivité de l'égalité; mais, dans son usage géométrique, il signifie que les objets, qu'on est convenu d'appeler segments et angles.

jouissent d'une certaine relation transitive (congruence), ou encore que les déplacements forment un groupe. A la distinction des axiomes et des postulats, il convient de substituer celle des principes logiques et des principes propres des sciences spéciales. Ceux-ci, comme nous l'avons montré ailleurs1, se divisent en trois groupes : les postulats d'existence, qui affirment l'existence logique des objets désignés par les symboles non définis, et les postulats d'unicité, qui énoncent qu'une certaine classe a un seul objet, c'est-à-dire que deux objets quelconques d'une même classe sont identiques; les principes formateurs, qui permettent, en partant des objets dont l'existence a été postulée, d'en construire indéfiniment de nouveaux par récurrence ; les axiomes de relation, qui expriment l'existence de certaines relations entre les objets postulés ou construits.

Les principes formateurs et les axiomes de relation constituent ce que les logisticiens appellent des fonctions propositionnelles . Appelons variable un terme indéterminé, un symbole non défini, auquel on peut substituer un terme déterminé qui en constitue une certaine interprétation et que l'on nomme une valeur constante de la variable ; appelons fonction toute expression qui contient une ou plusieurs variables ; appelons proposition une énonciation susceptible de vérité ou de fausseté; une fonction propositionnell e sera une fonction qui devient une proposition toutes les fois que l'on substitue aux variables qui y figurent des valeurs constantes. La fonction logique : « x est la capitale de la France » en est une, car c'est une proposition pour toutes les valeurs constantes attribuées à x (vraie pour x = Paris, fausse pour toutes les autres valeurs). Une fonction proposition-

1 L. Rougier, la Dénionst ration géométrique et le Raisonnement déductif, ap. R. M. M., novembre 1916, p. 809-858.