CHAPITRE IV

Mécanique rationnelle.

Les phénomènes mécaniques sont, par leur nature, plus particuliers, plus compliqués et plus concrets que les phénomènes géométriques ; aussi viennent-ils après la géométrie dans notre exposition philosophique, et sont-ils d'une étude plus difficile et, jusqu'à présent, plus imparfaite. Les questions géométriques sont toujours indépendantes de toute considération mécanique, tandis que les questions mécaniques se compliquent constamment de considérations géométriques, la forme des corps devant influer inévitablement sur îes phénomènes du mouvement ou de Téquilibre. Le plus simple changement dans la forme d'un corps suffit seul pour augmenter extrêmement les difficultés du problème de mécanique dont il est le sujet, ainsi que nous le voyons dans la question de la gravitation mutuelle de deux corps en résultat de celle de toutes leurs molécules, question qui n'est encore complètement résolue qu'en supposant à ces corps une forme sphérique, et où, par conséquent, le principal obstacle vient des circonstances géométriques.

Notre tendance à spéculer sur Tessence des choses, au lieu d'étudier les faits concrets, règne d'une façon fâcheuse en mécanique. Nous trouvons déjà cette tendance en géométrie, mais elle apparaît encore aggravée dans la mécanique, à cause de sa plus grande complexité. Nous sommes en présence d'une confusion perpétuelle entre les points de vue abstrait et concret, entre ce qui est physique et ce qui est purement logique, entre les conceptions artificielles destinées à faciliter rétablissement des lois générales de l'équilibre et du mouvement, et les faits naturels fournis par Tobservation, qui constituent les bases de la science. Bien que les avantages de l'application de l'analyse mathématique à la mécanique soient considérables, il faut dire qu à certains égards l'analyse

. MÉCANIQUE RATIONiVELLE

résultais de l'observation oûL ''P'""'^«"'«'- comme des ''analyse mathématique iJdtt '"?P'-^'='«'"« q"e soit en thèse générale, qu'un putsam ml''" ''i' "' """'''' «"•«ceptible d'être e.nployé se eTe^T" ."', ''""^"""' «"«-

-enceontétéposéesfauLiLapaeerï T '^"^ "*' '» d essayer de prouver la loi élé'men aîre del .'' ""'"' '"^l forces par une démonstration mIITT'''''" '"' de constituer la mécanique d'après deïni» '"" P^^^'^^'e 'ï'-qnes, on ne pourrait se .enrétn '^"'"''P"■''"««nasc.•e^ce deviendrait jamais app hcX 'I-^^^ ""« 'elle «alure. En effet, ce ^ui constïue h i,L •;''^'''"''■^^ '^ '* c est qu'elle est fondée sur quelau' -, **" ''' «"écanique, par robservation, et qu'on doHS. ' ' ''"'''"' '"-"'-^ tant aucune explication quelconouP rv ""'"' "" '-«'npo'-avons en vue est d'ind qu r "la Jet.! f 1 '''"''' ««"^ "«"« sop^'ine de la science, e^ Itilit? e po' uT''" ^'"■"'du point de vue concret, et en sénarall ""' ^^'^'^'^^ 'aie de la partie logique. ^ '" P''""« expérimen-

Nous n'avons pas à nous occuper ici do 1=. vements ou des circonstances de lent JrJT "'' ""»"mouvement lui-même. Ainsi coLl P""',"«"on, mais du physique, mais la mécaZ'e L" "' IT- " '""^'-^ Pa^ 'a comme des mouvements prolûsori."'"'""' '^^ '"«'•ces deux forces qui imprim.îT " ïm^c îp": T T'"''' ^' dans la même direction sont rnnl. • P " '"^'"^ ^''esse quelles proviennent des c^LS^^SV''""^"^^' de la pesanteur vers un centre attractif h ■ "" ^""»*'' quelconque, ou de l'élastici é S ànte 7 '""" "''P^ manière de voir soit aujourd'hni f,-, ^""''"^ cette

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j22 LA PHILOSOPHIE POSITIVE.

en prenant la question en sens inverse, de délerminer les mouvements simples dont la combinaison donnerait lieu à un mouvement composé connu. Cet énoncé montre exactement qu elles sont les données et les inconnues de toute question de mécanique. Uétude d'une force unique n'est pas du domaine de la science; car, par les lermes mêmes de renoncé, elle est toujours supposée connue. Toute la mécanique porte sur la combinaison des forces, soit qu'il résulte de celte combinaison un mouvement à étudier ou un état d'équilibre dont les conditions doivent être fixées.

Les deux problèmes généraux, l'un direct, l'autre inverse, qui constituent la science, sont équivalents en importance, sous le rapport des applications. Tantôt les mouvements simples peuvent être étudiés par Tobservalion, mais leur action combinée ne saurait être obtenue que par la tbéorie, et tantôt le résultat composé étant affaire d'observation, les mouvements simples dont d est le produit ne sont susceptibles d'être déterminés que rationnellement. Quand nous voyons un corps pesant tomber obliquement, nous connaissons les deux mouvements simples que prendrait le corps par l'action isolée de chacune des forces dont il est animé, à savoir : la direction et la vitesse du mouvement uniforme que produirait la seule impulsion, et la loi d'accélération du mouvement vertical varié qui résulterait de la seule pesanteur. Dès lors on se propose de découvrir les différentes circonstances du mouvement composé produit par l'action combinée de ces deux forces, c'està-dire de déterminer la trajectoire que décrira le mobile, sa direction et sa vitesse à chaque instant, le temps qu'il emploiera pour parvenir à une certaine position, etc. Ou pourra, pour plus de généralité, ajouter aux deux forces données la résistance du milieu, pourvu que la loi en soit connue. Le meilleur exemple du problème inverse est oflertpar la mécanique céleste, où nous avons à déterminer les forces qui animent les planètes dans leur mouvement autour du soleil, et les satellites autour de leurs planètes. Nous ne connaissons alors immédiatement que le mouvement composé ; les lois de Kepler nous donnent les circonstances caractéristiques du mouvement, nous n'avons alors qu'à remonter aux forces élémentaires auxquelles les corps célestes sont supposés soumis, pour corres-

pondre avec les résultats observés, et, ces forces une fois connues, la question inverse peut être traitée par les géomètres, qui n auraient jamais pu la résoudre par un autre moyen.

La destination de la mécanique étant ainsi nettement conçue considérons maintenant ses principes fondamentaux, après avoir eclairci notre sujet par une observation préliminaire.

Les anciens concevaient la matière comme passive ou inerte toute activité lui venant du dehors, sous l'influence de certains êtres surnaturels ou de certaines entités métaphysiques. Mais depuis que la science nous a permis de nous représenter les choses plus exactement, il est devenu évident que les divers corps manifestent tous, plus ou moins, une activité spontanée. IJ n'existe, sous ce rapport, entre les corps bruts et les êtres animés, qu'une différence de degré. De plus la science nous montre qu'il n'y a pas plusieurs espèces de matière.s, mais que les éléments sont iden tiques, ceux de la matière vivante se retrouvant dans les corps inanimés. Quand même nous ne connaîtrions, dans un corps quelconque, pas d'autre propriété que celle de la pesanteur, nous ne pourrions pas le considérer comme dépourvu d'activité ; car, lorsqu'il tombe Il est actif au même titre que le globe lui-même, puisqu'il attire les molécules terrestres, de même que ses molécules propres sont attirées par lui. En considérant la série entière des corps jusqu a ceux qui manifestent l'org anisation la plus haute, nous trouvons partout une activité spontanée très différente et, de plus, en certains cas, particulière ; quoique les physiologistes soient de plus en plus disposés à considérer les plus spéciales , celles des corps vivants, comme une modification des précédentes. Quoi qu'il en soit, il serait abswrde de considérer, en physique, les corps comme purement passifs ; mais en mécanique on doit les envisagerainsi, parce qu'on ne pourrait établir aucune proposition générale sur les lois abstraites de l'équilibre ou du mouvement, si on les concevait comme susceptibles de modiher spontanément l'action des forces qui leur sont appliquées. Toutefois, il faut se garder de confondre cette supposition logique avec l'ancienne notion d'inertie.

Afin qu'une telle supposition puisse être employée sans inconvénient, il faut avoir égard à Timporlante remarque pré- ' liminaire, rappelée ci-dessus,qu'en mécanique, nous n'avons pas

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à nous occuper de rorigineou de In nature des forces, qui seront pour nous de même nature toutes les fois qu'elles exerceront une action identique. Il est impossible de concevoir un corps quelconque comme dépourvu de pesanteur, par exemple; cependant les géomètres considèrent, en mécanique abstraite, les corps con)me dépouillés de cette propriété, qu'ils traitent comme une simple force. Peu leur importe qu'elle soit inhérente ou extérieure au corps, qu'elle résulte d'une attraction ou d'une impulsion ; c'est uniquement la chute du corps qu'ils considèrent. 11 est nécessairement de même relativement à toute autre propriété naturelle. Quand on a fait ainsi abstraction des propriétés inhérentes aux corps pour ne penser qu'à la réaction des forces les unes sur les autres, il devient possible de passer de la mécanique abstraite à la mécanique concrète, en restiluant aux corps leurs propriétés actives dont l'action devient appréciable, d'après ce que Ton connaît des lois de l'équilibre et du monvemenl. Cette restitution constitue la principale diflicullé qu'on éprouve pour opérer la transition de l'abstrait au concret en mécanique, difficulté qui limite singulièrement l'application pratique de cette science, dont le domaine théorique est indéfini. Afin de donner une idée de cet obstacle fondamental, on peut dire que dans l'étal actuel de la science mathématique, il n'y a qu'une seule propriété naturelle et générale dont nous sachions tenir compte, c'est la pesanteur, soit terrestre, soit universelle ; et encore faut-il supposer, dans ce dernier cas, que la forme des corps est sulfisamment simple. Mais si cette propriété se complique de quelques autres circonstances physiques, telles que la résistance du milieu, le frottement, etc., ou si même les corps sont seulement supposés à Tétat fluide, leurs phénomènes mécaniques ne peuvent être appréciés que fort imparfaitement. A plus forte raison nous est-il impossible de prendre en considération les propriétés électriques ou chimiques, et bien moins encore les propriétés physiologiques. Aussi les grandes applications de la mécanique rationnelle sont-elles réellement bornées aux seuls phénomènes célestes, et même à ceux de notre système solaire, où il suffit d'avoir égard à une gravitation générale dont la loi est simple et bien déterminée ; et, même en ce cas, nous sommes embarrassés, quand nous venons

à considérer certaines actions secondaires. Il y a lieu de douter, tellement nos moyens sont limités, que les questions de m ecanique terrestre comportent jamais une étude purement r alionnelle et en parfaite concordance avec les lois générales de la mécanique abstraite, quoique la connaissance de ces lois, d ailleurs évidemment indispensable, puisse souvent conduire a des indications importantes.

Les corps étant supposés inertes, les faits généraux, ou lois du mouvement auxquelles ils sont assujettis, sont au nombre de trois, résultant toutes de l'observation.

La première est cette lui découverte par Kepler, et improprement qualifiée de loi dmertie. en vertu de laquelle tout mouvement est reciiligne et uniforme, c'est-à-dire que tout corps soumis à l'action d'une force unique quelconque se meut constamment en ligne droite et avec une vitesse invariable. Au iieu de rechercher, suivant l'ancienne méthode, pourquoi li en est ainsi, la philosophie positive nous apprend à constater le lait simple, que cela est ainsi; que, dans la nature, les corps se meuvent en ligne droite et avec une vitesse invaria- We, quand ils obéissent à l'action d'une seule force.

La seconde loi, due à Newton, consiste dans régalite coustante entre Vaction et la réaction ; c'est-à-dire que toutes les tois qu un corps est mû par un autre, la réaction est telle que le second perd, en raison des masses, précisément autant de mouvement, que le premier en a gagné. Peu importe natureliementque le mouvement résulte d'une impulsion ou d'une attraction. Newton traita ce fait général comme un simple résultat de l'observation, et la plupart des géomètres ont fait de même de sorte qu'il y eut moins de vaines recherches louchant le pourquoi par rapport à celte seconde loi que pour la première. ^ ^

La troisième loi fondamentale du mouvement implique le principe de l'indépendance, ou de la coexistence des mouvements, qui conduit immédiatement à ce qu'on appelle d ordinaire la cornposition des forces. Galilée est, à proprement parler, le véritable inventeur de cette loi, quoiqu'il ne l'ait pas conçue précisément sous la forme où elle est présentée ici. Elle se réduit à ce fait général, que tout mouvement exactement commun à tous les corps d'un système quelconque, n'altère

1 ai

point les mouvements particuliers de ces différents corps les uns à l'égard des autres, mouvements qui continuent à s'exé cuter comme si le système était immobile. Pour énoncer ce principe avec précision, il faut concevoir que tous les points du système décrivent à la fois des droites parallèles et égales , et considérer que le mouvement général, quelles que que soient sa vitesse et sa direction, n'affectera pas les mouvements relatifs. Aucune considération à priori ne saurait intervenir ici. Il n'y a pas à voir pourquoi le fait est ainsi, ni à préjuger pourquoi il doit être ainsi. Toutefois, quand Galilée établit cette loi, il fut assailli par une foule d'objections tendant à . prouver l'impossibilité rationnelle d'un tel fait. Les philosophes ne manquèrent pas de motifs à priori pour contester sa réalité, et elle ne fut admise unanimement que lorsqu'on abandonna le point de vue logique pour le point de vue physique. On reconnaît maintenant qu'aucune proposition de philosophie naturelle n'est fondée sur des observations aussi simples, aussi variées, aussi multipliées, aussi faciles à vérifier. En effet, toute l'économie de l'univers serait bouleversée de fond en comble, si l'on supposait que cette loi n'existât plus. Dans un vaisseau poussé doucement, sans roulis ni tangage, les mouvements intérieurs s'accomplissent de la même manière que s'il était en repos; de même, mais sur une plus grande échelle, notre planète se meut à travers l'espace sans que son mouvement trouble aucunement les phénomènes mécaniques qui s'opèrent à sa surface. On sait que l'ignorance de celte troisième loi a été le principal obstacle à rétablissement de la théorie de Copernic. Les coperniciens s'efforcèrent de combattre les objections insurmontables auxquelles leur doctrine donnait lieu, par des subtilités métaphysiques. Mais depuis que le mouvement de la terre a été reconnu, les géomètres l'ont présenté avec raison comme offrant lui-même une confirmation essentielle de celte loi. Laplace a fait remarquer que si le mouvement du globe affectait les mouvements qui se produisent à sa surface, celte altération ne saurait être la même pour tous ces mouvements, mais ils devraient varier en même temps que varieraient leur direction et l'angle que cette direction ferait avec celle du mouvement du globe, tandis que nous savons que le mouvement oscillatoire du pendule est

invariable, quelle que soit sa direction comparée à celle du

Il importe de remarquer que le mouvement de rotation ne rentre pas dans ce cas, mais seulement le mouvement de translation, parce que ce dernier est le seul qui puisse être, quant au degré et à la direction, absolument commun à toutes es parties d un système, ce qui n'a pas lieu dans un systeme de rotation, toutes les parties n'étant pas à égale distance du centre de rotation. Quand les mouvements intérieurs d un vaisseau sont troublés, c'est par le roulis et par le langage, qui sont des mouvements de rotation. Nous pouvons tmnsl porter une montre à une distance quelconque sans troubler son mouvement intérieur, tandis qu'un mouvement de rotation dérangerait promptement sa marche

De plus, le mouvement de translation du globe ne pouvait être découvert que par des observations célestes, tandis que les changements qui se produisent à sa surface, par l'inégalité de la force centrifuge à ses différents points, suffisent pour démontrer sa rotation, indépendamment de toute considération astronomique.

La loi ou la règle de la composition des forces n'est, en rea ite, qu une nouvelle manière de considérer et d'énoncer la troisième loi du mouvement. Si, en vertu d'impulsions isolées, un corps décrit séparément les côtés d'un parallélogramme, la combinaison de deux mouvements uniformes lui lera décrire la diagonale du parallélogramme. Or, n'est-ce pas a une simple application du principe de l'indépendance de forces, d après lequel le mouvement d'un corps quelconque le long d une ligne droite n'est nullement troublé par le mouvement général qui entraîne, parallèlement à elle-même, la totalité de cette droite le long d'une autre droite quelconque ^^ Cette considération conduit immédiatement à la construction géométrique exprimée par la règle du parallélogramme des lorces. Ainsi il apparaît que ce théorème fondamental de méranique rationnelle est une vraie loi naturelle, ou du moins une applicanon directe de l'une des plus grandes lois naturelles, t^ est la meilleure explication à en donner, au lieu d'avoir recours à des combinaisons logiques pour la déduire à priori Une démonstration analytique quelconque suppose toujours

Tévidence d une certaine partie de la question ; or, cette évidence ne peut résulter que de l'observation.

Il est à remarquer que ceux qui cherchent à faire une loi séparée de la composition des forces, afin d'éviter d'introduire la troisième loi dans les prolégomènes de la mécanique, et d'en dispenser dans l'exposition de la statique, sont forcés de la faire entrer dans l'étude de la dynamique, où elle peut seule servir de base au principe de la proportionnalité des vitesses aux forces. Les rapports des forces pourraient être déterminés, soit par le procédé statique, soit par le procédé dynamique. On n'obtiendrait rien par la transposition du fait général de l'indépendance des forces à la partie dynamique de la science ; il est également nécessaire à la partie statique, et l'on échappe à un monde de confusions métaphysiques en acceptant cette base expérimentale.

Telles sont les trois lois physiques du mouvement, qui servent de point de départ à la construction logique de la science, sans qu'elle ait besoin ensuite d'aucune autre observation du monde extérieur ; du moins c'est ainsi qu'elle m'apparaît, quoique je sois loin d'assigner une raison à piiori, en vertu de laquelle d'autres lois ne pourront ultérieurement être découvertes, si ces trois étaient reconnues insuffisantes. Elles ne sauraient jamais être très multipliées, et je regarderais, d'ailleurs, comme préférable d'en établir une ou deux déplus, si, pour éviter ce léger inconvénient, on courait le risque d'altérer le caractère positif de la science et de donner trop d'extension aux considérations logiques. Il est impossible de concevoir un cas quelconque en dehors des trois lois de Kepler, de Newton et de Galilée, et leur expression est si précise, qu'elles peuvent être immédiatement exprimées par des équations analytiques faciles à obtenir. Quant à la partie la plus étendue, la plus importante et la plus difficile : la mécanique des mouvements variés ou des forces continues, nous pouvons concevoir la possibilité de la ramener à la méthode mécanique élémentaire par l'application de la méthode infinitésimale. Pour chaque instant infiniment petit, on peut substituer un mouvement uniforme au mouvement varié, d'où résulteront immédiatement les équations relatives à ces mouvements variés. Nous considérerons, dans la suite, les résultats ainsi obtenus

relalivemenl aux lois abstraites de l'équilibre el du mouvement. Des ce moment, nous voyons que l'ensemble de la science est

t^^Zl T" ''«^ "•»'■« 'oi^ P'-ysiques établies ci-

dessus, et la séparation entre la partie physique et la partie logique de la science se trouve nettement elTectuée

Quant aux divisions de la mécanique, la première et la plus importante consiste à distinguer la statique de la dynamique, c est-à-dire les questions d équilibre de celles de mouvement. La partie statique est la plus facile, parce que nous y faisons absliaclion du temps, tandis qu'il doit entrer dans les queslions dynamiques et les compliquer. L'ensemble de la statique correspond à la pariie de beaucoup la plus simple de la dynamique, celle qui con.cerne la théorie des mouvements um ormes Cette division se trouve clairement vérifiée 2 I histoire générale de la science. Les belles recherches d'Archimede nous montrent que les anciens, quoiqu'ils fussent encore fort éloignés de posséder une statique rationnelle complète, avaient acquis beaucoup de connaissances essentielles relativement à l'équilibre soit des solides, soit des fluides tandis qu'ils ignoraient entièrement la dynamique, même là plus élémentaire. La création de cette partie de la science est due a Galilée.

Après celte division, la distinction la plus importante à établir consiste à séparer l'élude des solides de celle des fluides On place généralement cette division en première ligne' mais .lest incontestable que les lois de la statique et de là dynamique doivent entrer dans l'étude des solides et des fluides, et que celle des fluides exige, en outre, l'addition d'une considération spéciale : la variabilité de la forme. Cette considération introduit dans la question la nécessité de traiter séparément les molécules dont le fluide est composé, et d'envisager les fluides comme un système composé d'une infinité de forces distinctes. Il en résulte, pour la statique, l'introduction d un nouvel ordre de recherches relativement à la fl-ure du système dans l'état d'équilibre ; mais, en dynamique, la question est encore plus compliquée et la difficulté plus sensioie. et I on n'est parvenu à la surmonter, même dans le cas le plus simple, qu'à l'aide l'hypothèses fort précaires. On doit reconnaître la difficulté plus grande de l'hydrostatique, el

surtout de riiydrodynamique, par rapport à la statique et à la dynamique proprement dites, qui sont, en effet, bien plus avancées. Beaucoup de difficultés proviennent aussi de ce que la définition donnée par les géomètres pour distinguer les fluides et les solides n est pas la représentation fidèle de la réalité. Aux yeux des géomètres, les particules des fluides n'ont entre elles aucune adhérence, tandis qu'en réalité elles en ont toujours plus ou moins, et que beaucoup de phénomènes naturels sont dus à cette adhérence, quelque petite qu'elle soit par rapport à celle des solides. Ainsi le résultat de l'observation différera grandement du résultat du calcul dans le cas d'un fluide donné sortant d'un orifice donné. Quoique la question soit plus facile pour les solides, cependant Tembarras deviendrait grand s'il fallail tenir compte de la possibilité d'une séparation mutuelle dont on fait complètement abstraciion en mécanique rationnelle. La théorie de la rupture des solides, ébauchée par Galilée, Huygliens et Leibnitz, est encore dans un étal très imparfait, malgré les travaux auxquels elle a donné lieu et le besoin qu'on en aurait. Toutefois, son imperfection se fait moins sentir que celle relative à la mécanique des fluides, parce qu'elle n'a aucune influence sur la méanique céleste qui constitue, comme nous l'avons vu, la plus complète application de la mécanique rationnelle.

Il se trouve entre ces deux études une lacune qu'il importe de signaler, bien qu'elle soit secondaire. Il n'existe pas de mécanique des corps demi-solides ou demi-fluides, du sable, par exemple, et des fluides à l'état gélatineux. On a présenté, il est vrai, quelques considérations au sujet de ces « fluides imparfaits, » ainsi qu'on les nomme, mais leur vraie théorie n'a jamais été établie d'une manière directe et générale.

Tels sont les aperçus généraux que j'ai cru devoir indiquer pour faire apprécier le caractère philosophique de la mécanique rationnelle. Nous allons maintenant, en considérant sous le même point de vue philosophique la composition de la science, apprécier comment cette seconde section si étendue de.la mathématique concrète a atteint la perfection théorique qu'on trouve dans le traité de Lagrange, et qui nous présente toutes les questions abstraites comme susceptibles de solutions analytiques, ainsi que cela a lieu pour les problèmes géomé-

triques. Nous examinerons d'abord la statique, et nous passerons ensuite à la dynamique.

Statique.

Il y a deux manières de irailer la mécanique ralionnelie selon que fon conçoit la sialique direclemeni, ou qu'on là considère comme un cas parliculler de la dynamique Par la première mélhode, nous avons à découvrir un principe dçqu, libre assez général pour êlre applicable aux conditions d équilibre de tous les sysièmes de forces possibles. Par la seconde, le problême est inverse : l'on cherclie quel serait le mouvement résultant de l'action simullanée des diverses forces quelconques proposées, et on en déduit les relations qui doivent exister entre ces forces pour que ce mouvement soil nul.

I.a première mélhode était la seule possible, à l'oriçine de a science; car, ainsi que je l'ai dit ci-dessus, Galilée^ créé la dynamique. Archiinéde, vrai fondateur de la sialique, a établi la condition d'équilibre de deux poids suspendus aux deux exirémilés d'un levier droit: c'est-à-dire qu'il a montré la necessiié que ces poids soient en raison inverse de leurs (lislances au point d'appui du loyer. Il s'efforça de ramènera ce principe les relations d'équilibre propres à d'aulressystèmes (le forces ; mais le principe du levier n'était point par lui-même assez général pour une telle application. Les divers arliliees à laide desquels on a essayé d'en étendre l'u.sage furent abandonnes quand l'établissement de la dynamique eut permis usage de la seconde méthode, d'après laquelle on cherchait les conditions d'équilibre au moyen des lois de la composition des forces. C est par cette méthode que Varignon découvrit la Iheorie de l'équilibre d'un système de forces appliquées en un même point et que d'Alembert, plus taid, établit, pourla première lois, les équations d'équilibre d'un système quelconque le forces appliquées aux différents points d'un corps solide de

Iwine invariable. C'est aujourd'hui la méthode universellement employée. A première vue, elle ne semble pas la plus ration-

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nelle, puisque la dynamique étant plus compliquée que la statique, il ne paraît pas convenable de faire dépendre celle-ci de celle-là. Il eût été, en effet, plus philosophique de ramener la dynamique à la statique, comme on y est parvenu depuis. Maison doit reconnaître que pour traiter la statique comme un cas particulier de la dynamique, il suffit d'avoir formé la partie la plus élémentaire de la dernière, la théorie des mouvements uniformes, sans qu'on ait aucun besoin de la théorie des mouvements variés.

La méthode la plus aisée d'appliquer la théorie des mouvements uniformes aux questions statiques, consiste à remarquer que quand deux forces sont en équilibre, chacune d'elles, prise séparément, peut être regardée comme détruisant l'effet de toutes les autres ensemble. Ainsi, la recherche des conditions de l'équilibre se réduit à exprimer que Tune quelconque des forces du système est égale et directement opposée à la résultante de toutes les autres. La seule difficulté est donc de déterminer la résultante, c'est-à-dire de composer entre elles les forces proposées. Pour cela, la troisième loi du mouvement vient à notre aide, et, les deux forces une fois composées, il ne reste plus qu'à en déduire la composition d'un nombre quelconque de forces .

Après avoir établi les loisélémentaires de la composition des forces, les géomètres, avant de les appliquer à la recherche des conditions de l'équilibre, leur font subir ordinairement une importante transformation qui, sans être indispensable, présente la plus haute utilité sous le rapport analytique, par l'extrême simplification qu'elle introduit dans l'expression algébrique des conditions d'équilibre. Cette transformation consiste dans ce qu'on appelle la théorie des moments, dont la propriété essentielle est de réduire analytiquement toutes les lois de la composition des forces à de simples additions et soustractions. Sans entrer dans l'examen de cette théorie, il suffit de dire seulement qu'elle considère la statique comme un cas particulier de la dynamique élémentaire, et que sa valeur est dans la simplicité qu'elle apporte à la partie analytique du procédé d'investigation dans les conditions de l'équilibre. Cependant, quelque simpleque puisse être l'opération, et quelque considérable que soit l'avantage pratique qu'on obtient

en trailant la statique comme un cas parliculier de la dvna m.que élémenlaire, il serait plus satisfaisant de revenir s'il elait possible, à la méthode des anciens, en dégageant la'slalique de tome considération dynamique, pour procéder directement à la recherche des lois de l'équilibre envisagé en luimême a aide d'un principe direct d'équilibre suffisamment gênerai. Les efforts des géomètres ont tendu vers ce but quand une fois les équations générales de l'équilibre ont été décou vertes par la méthode dynamique. Mais un motif d'un ordre plus élevé que le désir de présenter la statique sous un point de vue plus logique, les détermina à établir une méthode statique directe; c'est celui qui a conduit Lagrange à imprimer a 1 ensemble de la mécanique rationnelle celte perfection ohilosophique qui la caractérise.

D'Alemberl fit une découverte, dont nous parlerons plus lom, a I aide de laquelle toute recherche relative au mouvement d'un corps ou d'un système quelconque peut être convertie immédialemen t en un problème d'équilibre. Son principe n esten réalité qu'une généralisation étendue de la seconde loi fondamentale du mouvement. Il sert, depuis un siècle, de base permanente à la solution de tous les grands problèmes de dynamique, et doit de plus en plus y être appliqué, vu Tadmirable simplification qu'il apporte dans les recherches Or il est clair qu'une semblable manière de procéder oblige à traiter la staUque directement, sans la déduire de la dynamique, qui est ainsi, au contraire, entièrement fondée sur elle Une science est imparfaite aussi longtemps qu'il est nécessaire' de passer, alternativement, de l'une à l'autre de ses deux parties.

Afin d'établir l'unité nécessaire au principe de d'Alerabert une reconstitution complète de la mécanique rationnelle était "uhspensable. Lagrange l'effectua dans son admirable traité de « Mécanique analytique, » dont la principale conception doit être la base de tous les travaux futurs des géomètres, sur les lois de l'équilibre et du mouvement, comme l'est, pour les spéculations géométriques, la grande idée de Descartes.

Le principe des vitesses virtuelles qu'à choisi Lagrange parmi les autres propriétés de l'équilibre, a été découvert par t^alileedanslecas de deux forces, comme une propriété géné-

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raie que manifestait l'équilibre de toutes les machines. Jean Bernouilli l'a étendu plus lard à un nombre quelconque de forces composant un système quelconque. Varignon, ensuite, a remarqué expressément l'emploi universel qu'il était possible d'en faire en statique. La combinaison de ce principe avec celui de d'AIcmberl a conduit Lagrange à concevoir l'ensemble de la mécanique comme déduit d'un seul tlicorème fondamental, et à lui donner ainsi la rigoureuse unité qui est le plus haut degré de perfection d'une science.

Pour avoir une idée plus claire du principe général des forces virtuelles, il est utile de le considérer d'abord dans le simple cas de deux forces, ainsi que l'avait lait Galilée. On suppose deux forces se faisant équilibre à l'aide d'une machine quelcon(|ue. En supposant que le système vienne à prendre un mouvement intiniment petit, les forces sont, entre elles,en raison inverse des espaces parcourus par leurs points d'application dans le sens de leurs directions. Ces espaces sont appelés vitesses virtuelles, pour les distinguer des vitesses réelles, qui auraient lieu si l'équilibre n'existait pas. Dans cet état primitif, ce principe, qu'on peut aisément vérifier relativement à toutes les machinesconnues, présente une grande utilité pratique, car il nous permet d'obtenir aisément la condition mathématique d'équilibre d'une machime quelconque, que sa conslilulion soit connue ou inconnue. En appelant moment virtuel, ou simplement niomenl, suivant l'acception primitive de ce terme, le produit de chaque force par sa vitesse virtuelle, produit qui mesure l'effort delaforce pour mouvoir lamachine, on peut simplifier beaucoup l'énoncé du principe en disant simplement que dans ce cas les moments des deux forces doivent être égaux et de signe contraire pour qu'il y ait équilibre, et que le signe positif ou négatif de cliaque moment est déterminé d'après celui de la vitesse virtuelle, qu'on estimera positive ou négative, selon que, par le mouvement supposé, la projection du point d'application se trouverait tomber sur la direction même de la force ou sur son prolongement.

Cette expression abrégée du principe des vitesses virtuelles est surtout utile pour énoncer ce principe d'une manière générale, relativement à un système de forces tout à fait quelconque. H se réduit alors à ceci : que la somme algébrique

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MIJCA.MQUE RATIO.XNELLE. ^35

des mouvements virtuels de toutes les forces, estimés suivant la g e précédente, doit être nulle pour qu'il y ait équilibr etie condition do.tavoirlieu distinctement ,ar rapport ;,;,! les mouvements élémentaires que le systèm pourS ; âS e en vertu des forces dont il est animé.' L'.nsemble LlTmZ camque rationnelle peut être regardé comme im pli itèrent compr.^dans l'équation contenant ce principe, et fL^rpTr

Tant que le théorème des vitesses virtuelles n'avait été conçu que comme une propriété générale de l'équilibre ! pouvait se vérifier en observant sa conformité constante 1 es lois ordmaires de l'équilibre déjà obtenues au.r !„?« dont .1 présentait un résumé très utile par sa simlcité e on uniformité Mais, pour faire de ce théorème la b e de toute a mécanique lalionnelle, pour le convenir en un principe fondamental il était indispensable de l'établir directement sans le déduire d'aucun autre, ou du moins en ne .1 posant que des propositions préliminaires susceptibles d'êl pesentees comme des résult.-,ts de l'observation. C'est ce

d e su^le '""'f "'■■'''" '"«'"'^"^^ démonstration, loZ dee sur le principe des moufles. Il a prouvé le théorème de, V. tesses virtuelles très facilement en imaginant un po iul que qui, à l'aide de moufles convenablement constrr^ s "e trouve remplacer simultanément toutes les forces du sy ème On a propose beaucoup d'autres démonstrations ; mX ou en étant plus compliquées, elles ne sont pas lo,iqueme„; supérieures à celle de Lagrange. Sous le point de vue pM J sophique, >l est clair que ce théorème général, étant ïne co„ séquence .^cessaire des lois fondamentales du mouvemen"' peu être déduit de diflërentes manières et qu'irdë LTi le point e départ de la mécanique rationnelle to'ut enti e Une parfaite un.te se trouvant établie par ce principe, il n'est pi besoin d'en chercher d'autre; et l'on peut être cer a ' e L grange a porté au plus haut degré la coordination de a ^ .ence Le seul objet qu'on puisse se proposer serait de !m

i le'si f:;: "î" ''"'^'*''""' ^^ ^"' "^'' paraître tl s.ble s I on considère avec quelle admirable facilité le principe des vitesses virtuelles a été adapté par Lagrange à l'LpH ahon uniforme de ranaly,se mathématique. ^'^

!fl

Quelque éclatante que soit la supériorité philosophique de ce principe, son emploi présente trop de dificultés pour qu*il soit regardé comme élémentaire, et pour qu'il puisse dispenser de la considération d'aucun autre dans un enseignement dogmatique. C'est pourquoi j'ai été amené à caractériser d'abord la méthode dynamique proprement dite, la seule encore généralement usitée. Cependant, toutes les autres considérations ne peuvent être que provisoires. La méthode de Lagrange est encore trop nouvelle; mais il est inipossible qu'elle demeure à jamais entre les mains d'un petit nombre de géomètres, seuls capables d'utiliser ses admirables propriétés. Elle doit devenir aussi populaire dans le monde mathématique que la grande conception géométrique de Descaries, et ce progrès général serait presque accompli si les notions fondamentales de l'analyse transcendante étaient aussi répandues qu'elles

devraient Tétre.

La plus importante acquisition, depuis la régénération de la science par Lagrange, est la conception de M. Poinsot. Sa théorie des couples me paraît bien loin d'avoir été suffisamment appréciée par les géomètres. Ces couples, ou systèmes de forces parallèles, égales et contraires, n'avaient été remarqués, avant Poinsot, que comme une sorte de paradoxe en statique. Il s'est emparé de cette notion pour en faire le sujet d'une théorie étendue et originale relative à la transformation, à la composition et à l'usage de ces groupes singuliers, qu'il a montrés doués de propriétés remarquables par leur généralité et leur simplicité. Il employa la méthode dynamique dans son étude des conditions de l'équilibre; seulement, ill'a présentée à l'aide de sa théorie des couples, sous un point de vue tout nouveau et plus simple. Mais sa conception sera plus efficace en dynamique qu'en statique, et elle n'a pas encore exercé jusqu'ici son influence la plus capitale. Pour l'apprécier à sa valeur, il faut la regarder comme directement propre à perfectionner, sous un rapport très important, les éléments . mêmes de la dynamique générale, en rendant la notion des mouvements de rotation aussi naturelle, aussi familière et presque aussi simple que celle des mouvements de translation.

Pour compléter l'ensemble des considérations relatives à la

Statique, il me reste à présenter une dernière notion .Générale Quaiid on étudie la nature des équations qui exprCm LJ conditions d'équilibre d'un système quelconVeTfrcë h me semble insuffisant de se borner à constater que cesSa 1.0ns sont toutes indispensables à Téquilibre. Il faut de nlus' a mon sens, déterminer en quoi chacune d'elles coniribue au résulta . Il est clair que chaque équation doit détruire "e" qu un des mouvements que le corps pourrait prendre en ver u des orces dont il est animé; en sorte que l'ensemble d s équations doit produire l'équilibre en mettant le corps dans

I impossibilité de se mouvoir en n'importe quH sens

Envisageons maintenant le mouvement comme composé à la fois de translation et de rotation. L'un de ces cas peu t • la vente, exister sans l'autre, mais il arrive si rarement qu'on I ! tijuve sépares, que l'existence de l'un est regardée pa géomètres comme la plus forte présomption de l'existence d lautre Ainsi, par exemple, la seule connaissance du mouveyent de .olalion du soleil sur son axe, parfaitement constai" depuis Gahlee, serait, à priori, pour un géomètre, une preuve presque certaine d'un mouvement de translation de cet astre accompagné de toutes ses planètes, quand même les astron^! mes n auraient pas reconnu, par des observations directes la reahte de ce transport. Pareillement, on admet l'existence dun mouvement de rotation dans certaines planètes, par cela seul qu elles ont un mouvement de translation autour du soleil quoique le fait n'ait pas encore été vérifié. Quelques équation.' doivent donc tendre à anéantir tout mouvement de progression^ et d autres, tout mouvement de rotation. Quel est le nombre (les équations de chaque espèce?

II est évident que pour tenir un corps dans l'immobilité il laut 1 empêcher de se mouvoir selon trois axes situés en des plans différents et qu'on suppose perpendiculaires entre eux M un corps ne peut avancer ni du nord au sud, ni du sud au nord, m de l'est à l'ouest, ou de l'ouest à l'est, ni de haut en bas, et réciproquement, il est clair qu'il n'avancera pas du tout. Toute progression dans un sens intermédiaire quelconque pouvant se concevoir comme composée de progressions partie les dans l'une de ces directions principales, serait, dès lors, devenue nécessairement impossible. D'un autre côté nous

ne pouvons pas considérer moins de trois mouvements éléinenlaires indépendants; car le corps pourrait se mouvoir dans le sens d'un des axes sans avoir aucune translation dans le sens d'aucun Hes deux autres. Ainsi, nous voyons qu'en général, trois équalions sont nécessaires et suffisantes pour établir Téquilibre de translation; chacune d'elles étant spécialement destinée à détruire un des trois mouvements progressifs dont le corps est susceptible. La même considération se présente quant à la rotation. Quoique la conception mécanique soit plus compliquée, il est également vrai, en ce cas, que le mouvement n'est possible que selon trois directions : dans les trois plans coordonnés, ou autour des trois axes. Ici encore, trois équalions sont donc nécessaires et suflisanlos, d'où nous avons six équations nécessaires et suffisantes pour arrêter un mouvement.

Quand, au lieu de supposer le système de forces entièrement quelconques, on veut en particulariser un, on réduit les équations d'équilibre au nombre strictement nécessaire. Ou peut aussi supprimer celles qui sont relatives aux translations ou aux rotations qui ne peuvent avoir lieu, en conservant seulement celles qui se rapportent aux mouvements restés possibles. Ainsi, au lieu d'avoir à opérer sur six équations nécessaires à l'équilibre, il peut n'en rester que trois ou deux, ou même une seule, qu'il sera facile d'obtenir en chaque cas. Ces remarques s'étendent à des restrictions quelconques de mouvements qui résulteraient, non de la constitution spéciale du système des forces, mais des gênes plus ou moins étroites que le corps pourrait éprouver. Si, par exemple, il est fixé à un point de façon à pouvoir tourner librement, mais non avancer, trois équations suffisent. Deux sulfisent si le corps est attaché à deux points fixes, et même une seule sera suffisante si ces deux points sont placés de façon à empêcher le corps de glisser sur l'axe qui les joint. Enfin, s'il était attaché à trois points fixes non en ligne droite, il ne pourrait pas se mouvoir du tout, et l'équilibre existerait sans aucune condition, quelles que fussent les forces du système. L'esprit de cette analyse est entièrement indépendant de la méthode d'après laquelle auront été obtenues les équalions de l'équilibre; mais les différentes méthodes générales sont loin d'être également

propres à l'application de cette règle. Celle qui s'y adapte le m eux est .nconteslablement la méthode statique p'opreme

virtuelles. En effet, une des propriétés caractéristiques de ce pnncpe est la parfaite précision avec laquelle il aïïyse |e phénomènes d'équilibre, en considérant distinctemen Ïc n

sttèr:t'""r """"'-^'"^ ""^ "^^'"«"«"' '- f- du système et en fournissant immédiatement une équation d'équilibre spécialement relative à ce mouvement

Avant de rechercher comment les géomètres appliquent les principes de la mécanique abstraite aux propriét s'd s It r es, ,1 convient de reconnaître que la seule application Z pie e.jusqu ici réalisée, est relative à la pesanteuTterrÏ ,re Or cest u„ sujet qui ne peut logiquement être traité en mcani^ que, puisqu'il appartient à la physique. Il suffit d'expliq— 1 étude s atique de la pesanteur terrestre se réduit à S ïs centres de gravité el que toute confusion entre les deux or res de recherches serait évitée si l'on s'habituait à claser la théorie des centres de gravité parmi les recherches de géométrie. En cherchant le centre de gravité comme

rationnelle des anciens géomètres, la question ne conserve

plus aucune trace de son origine mécanique et consiste seuement d,„, ,, ^^ ^.^^.^.^ J^,^^^^ s. se

un système quelconque de points disposés entre eux d'une mamere déterminée, trouver un point dont la distance à un plan quelconque soit moyenne entre les distances de tous les points donnés à ce même plan. Il y aurait des avances importants a concevoir la notion du centre de gravité entZ

sTmolê e','!f " ,'■' '""'' ""^''''""°" '^ P--'-- L'idée Simple et géométrique est précisément celle dont on a besoin

ralïonl'ii^ '"'■' '''' "''""'^ •'""•^'P-'"^^ '^' '« "'écanique rationnelle, surtout quand on envisage les grandes propriétés

dynamiques du centre des moyennes distances dans lesquelles 1 Idée de pesanteur devient un embarras. Il est vrai ou'en procédant ainsi, nous sommes conduits à exclure la queshJ"JrT la mécanique pour la faire rentrer dans

afin de ne pas m écarter des habitudes reçues. Quoi qu'il en

uo

soit de celle discussion d'ordre, ce qui importe essentiellement, c'est (le ne point se méprendre sur la véritable nature de la question. Le calcul intégral fournit les moyens de surmonter les difficultés imposées par les conditions de la question dans la deleiminalion du centre de gravité. Mais les intégrations en ce cas étant plus compliquées que leurs analogues, celles des quadratures et des cubalures, leur solution précise est, par suite de l'extrême imperfection du calcul intégral, beaucoup plus rarement obtenue. Il est toutefois d'une très grande importance de pouvoir introduire la considération du centre de gravité dans les théories générales de la mécanique analytique.

Telle est donc la relation de la pesanteur terrestre à la statique abstraite. Quant à la pesanteur universelle, aucune étude vraiment complète n'en a été faite, excepté relativement aux corps sphériques. Ce que nous savons de la loi de gravitation nous permettrait d'évaluer aisément l'attraction mutuelle de tous les corps connus, si les conditions de chaque corps nous étaient connues; mais il n'en est pas ainsi. Par exemple, nous ignorons la loi de la densité intérieure des corps célestes, et l'on peut dire que les théorèmes primitifs de Newton sur l'attraction des corps sphériques constituent encore la partie la plus utile de nos connaissances en ce genre.

La pesanteur est la seule force naturelle dont nous sachions réellement tenir compte en statique rationnelle, et nous voyons combien est arriérée cette science, par rapport à la gravitation universelle. Quant aux circonstances extérieures, telles que le frottement, la résistance des milieux, etc., dont nous faisons complètement abstraction pour établir les lois rationnelles de la mécanique, nous ignorons absolument la manière de les introduire dans les relations fondamentales données par la mécanique analytique. On n'y est parvenu jusqu'ici qu'à l'aide d'hypothèses précaires, et même inexactes, dont l'emploi est tout à fait impropre dans les sciences.

Quant à la théorie de l'équilibre des corps fluides, dont il nous reste à parler, ces corps doivent être envisagés sous deui points de vue différents, selon qu'ils sont liquides ou gazeux.

L'hydrostatique peut être traitée de deux manières : ou

nous Cherchons les lois de l'équilibre des fluides, d'après des considérations statiques propres à cette classe de corps • ou nous nous bornons à les déduire simplement des principes'qui ont deja fourni les équations des corps solides, en ayani éJrd aux nouvelles conditions résultant de la fluidité.

La première méthode, comme la plus aisée, a été primitivement la seule employée. Ju.squ'à une époque récente, tous les géomètres ont proposé des principes statiques particuliers aux fluides, et spécialement à l'occasion de la grande question de la figure de la terre supposée originairement à létat fluide Huyghens, d'abord, essaya de résoudre cette question en prenant pour principe d'équilibre la perpendicularité nécessaire de la pesanteur à la surlace libre du fluide. Newton choisit pour considération fondamenlale la nécessité non moins évidente de l'égalité de poids entre les deux colonnes fluides allant du centre, l'une au pôle, l'autre à un point quelconque de I equaleur. Bougner montra que ces deux manières de procéder étaient vicieuses, parce que les deux principes, bien qu incontestables ne s'accordaient pas, en beaucoup de cas a donner la même forme à la masse fluide en équilibre. Mais Il se trompa à son tour en croyant que leur réunion, lorsqu'ils s accordaient a indiquer une même figure, était suffisante pour lequdibre. Ce fut Clairaut qui, dans son traité sur la fLre de la terre, découvrit le premier les véritables lois de l'équilibre, en partant de la considération évidente de l'équilibre «soe d un canal quelconque infiniment petit; et, d'après ce cntenum, il montra que la combinaison exigée par Bou.uer pouvait avoir lieu sans que l'équilibre se produisît. Plusieurs grands géomètres, ayant adopté le procédé de Clairaut. ont apporte dans la théorie de l'équilibre des fluides de notables améliorations. Maclaurin est un de ceux à qui nous devons beaucoup a cet égard; mais Euler a donné à cette théorie la forme simple et régulière qu'elle possède, en la fondant sur te principe de 1 égalité de pression en tous sens. On peut la regarder comme une loi générale indiquée par l'observation relativement à la constitution statique des fluides, et elle tourna les équations nécessaires avec une extrême /aciliié

La théorie mathématique de l'équilibre des fluides a dû nécessairement, être d'abord fondée sur des principes slati^

ques particuliers à ce genre de corps; car, à l'origine, les différences caraclérisiiques entre les solides et les fluides ont paru trop considérables pour qu'aucun géomètre pût se proposer d'appliquer aux uns les principes appropriés aux autres. Mais quand les lois fondamentales de l'hydrostatique ont enfin été obtenues, et que l'esprit humain, cessant d'être occupé de leur établissement, a pu mesurer la diversité réelle entre la théorie des fluides et celle des solides, il était impossible qu'il ne cherchât point à les rattacher toutes deux aux mêmes principes généraux et qu'il ne reconnût pas l'applicabilité nécessaire des règles fondamentales de la statique à l'équilibre des fluides, pourvu qu'on tînt compte de la variabilité de forme qui les caractérise. Mais avant de subordonner l'hydrostatique à la statique, il était nécessaire que la théorie abstraite de l'équilibre fût rendue assez générale pours'appliquer directement aux fluides aussi bien qu'aux solides. Cette condition a été remplie quand Lagrange adonné comme base à l'ensemble de la mécanique rationnelle, le principe unique des vitesses virtuelles. Une de ses propriétés les plus précieuses consiste en ce qu'il est aussi directement applicable aux fluides qu'aux solides. Dès lors, Thydrostatique, cessant d'être une branche naturelle de la science, n'a plus été qu'une division secondaire de la statique. Cet arrangement n'est pas encore habituellement admis, mais il ne manquera pas de l'être bientôt.

Pour voir clairement comment le principe des vitesses virtuelles peut conduire aux équations fondamentales de l'équilibre des fluides, il suffit de considérer qu'une telle application n'exige que l'introduction, parmi les forces du système en question, d'une nouvelle force : la pression exercée sur chaque molécule, ce qui introduira un terme de plus dans l'équation générale. En procédant ainsi, on obtiendra immédiatement les trois équations de l'équilibre des fluides, en usage quand rhydroslalique était traitée comme une branche séparée. Si le fluide est un liquide, nous devons avoir égard à son incompressibilité qui le fait changer de forme sans changer de volume. Si le fluide est gazeux, nous substituerons à l'incompressibilité cette condition en vertu de laquelle le volume du fluide varie selon une fonction déterminée de la pression; par exemple en raison inverse de celte pression, conformé-

ment à la loi physique sur laquelle Mariotte a fondé toute la mécanique des gaz. Nous ne savons encore que tris 1 de chose sur ces conditions des ffaz car h InJ 1 v f

Une confirmation du caractère philosophique de celle mé thode de trauer " 'hydrostatique résulte de Te auS „ol' permet de passer presque insensiblement de l'ordre d cô a forme mvanable à celui des corps les plus variab s d ous

éTstit s S '"'^™f -■-' -"« des corpr'fl'xiler ; élastiques, d ou nous obtenons, sous le rapport analytique une filiation naturelle des sujets. ""aiyuque,

Ayant vu comment la statique a été élevée à ce haufde-ré de perfection spéculative qui transfon.iP «= n . °

sin^ples problèmes d'analyl ^!:^;:^Z^:::J: enan. entreprendre la même étude relativ : f, "2" de a mécanique générale la plus étendue et la pi s comj quee, celle où l'on étudie les lois du mouvement ^

SEC nos II

Dynamique.

L'objet de la dynamique consiste dans l'élude des mouvP

Z: If ""'"'" ''' ''' "''"' ^"'"--- Dans ce«n a m.que des mouvements variés ou des forces continues on

t:Sl':r '1 ^^r ^' ^"'^^-^ ""'«" --'-J- le mouvement d un point ou celui d'un corps. Sous le point de vue

corps don ,1s ag„ prennent le même mouvement, en sorte

ser 1 det r "" """^""^"' 'l'""e ^-'e -"olécule

cTn rair! h""""; '' """'""'"' '^' ''«"^«'"''le; tandis qu'au

m u;i,'"' ''^'' P'"^ général, chaque portiol du

corps ou c aque corps du système prenant un mouvement dis-

0. li, e „r'''""'' '''''™"^^ "'' '''-'•« effe'« et de caaclérU. "*' q"'exerce„t sur eux les relations qui

P us r '^''^T "'"'''^'''- ^' «««""de théorie étant

plus compliquée que la première, c'est par celle-ci qu'il faut

commencer, même quand on les déduit toutes deux du même

principe.

Relativement au mouvement d'un point, la question consiste à déterminer les circonstances du mouvement curviligne composé qui résulte de l'action simultanée de différentes forces continues, connaissant ce que serait le mouvement rectiligne du corps s'il n'était influencé par aucune de ces forces. Ce problème est susceptible, comme tout autre, d'une solution inverse.

Ici intervient une théorie préliminaire qui doit arrêter notre attention avant que nous abordions l'examen de ces deux questions générales. Cette théorie est comm,unément appelée la théorie du mouvement recliligne produit par une seule force continue agissant indéfiniment selon la même direction. On demandera peut-être pourquoi nous en avons besoin, puisque nous avons dit que l'effet de chaque force séparée est supposé connu et que l'effet de leur concours est seul à déterminer. La réponse est : que le mouvement varié, produit par chaque force continue, peut être défini de plusieurs manières, qui dépendent les unes des autres et qui ne sauraient jamais être données simultanément, quoique chacune puisse être séparément la plus convenable ; d'où la nécessité de savoir passer de Tune quelconque d'entre elles à toutes les autres. La théorie préliminaire du mouvement varié est relative à ces transformations ; elle est désignée improprement sous le nom d'étude de l'action d'une force unique. Ces diverses définitions équivalentes d'un même mouvement varié résultent de la considération simultanée des trois fonctions distinctes, quoique corrélatives, qu'on y peut envisager : l'espace, la vitesse et la force, conçus comme dépendant du temps écoulé. Au point de vue le plus- général, nous pouvons dire que la définition d'un mouvement varié peut être donnée par une équation quelconque contenant à la fois ces quatre variables, dont une seule est indépendante : le temps, l'espace, la vitesse et la force. Le problème consistera à déduire de cette équation la détermination distincte des trois lois caractéristiques relatives à l'espace, à la vitesse, à la force, en fonction du temps et conséquemment en corrélation mutuelle. Ce problème général est toujours réductible à une recherche

purement analytique, à l'aide de deux formules dynamiques fondamentales qui expriment, en fonction du temps, la vitesse et la force, quand on suppose connue la loi relative à l'espace La méthode infinitésimale conduit à ces formules avec la plus grande facilité, le mouvement étant considéré comme uniforme pendant la durée d'un intervalle de temps infiniment petit, et comme uniformément accéléré pendant deux intervalles consécutifs. Dès lors, la vitesse, supposée momentanément constante, d'après la première considération, sera naturellement exprimée par la différentielle de l'espace, divisée par celle du temps; et, de même, la force continue, d'après Ja seconde considération, sera évidemment mesurée par le rapport entre l'accroissement infiniment petit de la vitesse et Je temps employé à produire cet accroissement.

La conception de Lagrange relativement à l'analyse transcendanle 1 ayant obligé à se priver de l'usage de la méthode infimtesimale pour l'établissement des deux formules dvna- «liques précédentes, il a été conduit à présenter cette théorie sous un autre point de vue, plus important qu'on ne le suppose généralement. Dans sa théorie des fonctions analytiques, d a montre que celte considération dynamique consiste réellement a concevoir un mouvement varié quelconque comme compose a chaque instant d'un certain mouvement uniforme et d un autre mouvement uniformément varié, en l'assimilant au mouvement vertical d'un corps pesant lancé avec une impulsion initiale. Lagrange n'a pas donné à cette conception toute sa valeur, faute de la développer suffisamment. En effet, elle fournit une théorie complète de l'assimilation des mouvements, analogue à celle des contacts des courbes et des sur-

es imites dans lesquelles nous nous supposions confinés, en nous découvrant, sous le point de vue abstrait, une mesure beaucoup plus parfaite de tous les mouvements variés que celle qu on obtient parla théorie ordinaire, quoique des raisons de convenance nous obligent à nous en tenir à la méthode oridnairement adoptée. ^

le premier cas de la dynamique rationnelle, celui du mouvement d un point ou d'un corps dont tous les points ou toutes 'es parties sont aff-eciées par la même force, est relatif à l'étude

ri

du mouvement curviligne produit par raelion simultanée de diverses forces continues quelconques. Ce cas se divise luimême en deux autres, selon que le point mobile est libre ou qu'il est forcé de se mouvoir sur une seule courbe ou sur une surface donnée. La théorie fondamentale du mouvement curviligne peut être établie, dans l'un et l'autre cas, de deux manières. Chacun d'eux peut être traité directement et se trouve en même temps susceptible de se rattacher à Fautre. Dans le premier cas, il suffira, pour en déduire le second, de regarder la résistance tant active que passive de la courbe ou de la surface sur laquelle le corps est assujetti à rester, comme une nouvelle force à ajouter à celles du système proposé. Dans le second, on considère le point en mouvement comme assujetti à décrire la courbe qu'il doit effectivement parcourir, ce qui suffira pour former les équations fondamentales, quoique cette courbe soit alors primitivement inconnue.

L'autre cas, plus réel et plus difficile, est celui du mouvement d'un système de corps liés entre eux d'une manière quelconque, et dont les mouvements propres sont altérés par les conditions de leur liaison. Il existe sur la mesure des forces une nouvelle conception élémentaire que les géomètres ne croient pas qu'on puisse déduire logiquement des notions précédentes, et dont ils voudraient faire une quatrième loi du mouvement. Cette conception consiste en ce que les forces qui impriment la même vitesse à diverses masses sont exactement entre elles comme ces masses; ou, en d'autres termes, que les forces sont proportionnelles aux masses, aussi bien que nous les avons reconnues, dans la troisième loi du mouvement, être proportionnelles aux vitesses. Tous les phénomènes relatifs à la communication du mouvement par le choc, ou de toute autre manière, ont confirmé la supposition de ce nouveau genre de proportion. Il en résulte évidemment que, lorsque nous avons à comparer des forces qui impriment des vitesses différentes à des masses inégales, chacune d'elles doit être mesurée d'après le produit de la masse sur laquelle elle agit par la vitesse correspondante. Ce produit est appelé par les géomètres quantité de mouvement', et il détermine \dL percussion d'un corps, ainsi que la pression qu'un corps peut exercer contre tout obstacle fixe à son mouvement.

3JÉCANIQUE RATIONNELLE. 447

Passant au second cas dynamique, nous voyons que la diffi culte caractéristique de cet ordre de questions consste Ss" a manière de tenir compte de la liaison des différents cl du système, en vertu de laquelle leurs réactions mutuellL

na san d . ' "'"' "'^'^"^ ' ^''''^' ^"'""^ ^on-

na ssance de ce que sera cette altéralion. Dans le cas du nen

dule par exemple, les molécules les plus rapprocha' du" pomt e suspension, et celles qui en sont le p L 2 ! ées doivent reagir les unes sur les autres, par suite de leur Sn les unes se mouvant plus vile et les antres plus lentem n au: Si elles étaient libres, et aucun principe dynLiquTc JH abl ne saurait déceler la loi qui détermine cesréact ons. Us2, mètres ont naturellement commencé par poser un prn^^^^^^ pour chaque cas particulier, et un grand nlbre des' r c ! pes ainsi présentés ne sont plus aujourd'hui que des tE. mnes remarquables fournis simul.anén.ent parles équaÏo

nir::a"::i ^^"^^T"'^^'-- ^^^--^^ ^ retrace dans sa'! M ca! nique analylnjue, . I histoire généralede celte série de travaux

nsu,.re très intéressante pour l'élude de la marche pro ress'e de espni humain. D'Alembert mit fin à celte maniL ^^0 céder en cherchant à évaluer les réactions des rp d un" système en vertu de leur liaison, et en établissant, paTsuite les équations fondamentales du mouvement d'un système ou ' conque. A l'aide du célèbre principe qui por^s n no^ ^

t rentrer les questions de mouvement d'ans' d si Ile qu;s lions d'equihbre. Lorsque, par les réactions qu t div

Chacun d eux prend un mouvement différent de celui aue le^ forces donn, est animé lui auraientimprimé s il ^^ on peut évidemment regarder le mouvement naturel comme

d'A. . \ '■ ^"' ^«"^^q"^«t, a été détruit. Le principe

inents r H '"'"^' ''''''''''' '' '^ ^^ ^-^ ^es mouTe non de ce dernier genre, ou, en d'autres termes, toutes es uanti e3 de mouvements perdues ou gagnées par le diirÎe •

u ib^tr i "" 1"^^'"^'^"' '' fonfnécessairer quihbre, en ayant égard aux conditions de liaison oui carac

Pensent le système proposé. Jacques Bernouilli l'avait eiIe;

LA THILOSOPHIE POSITIVE.

dans le cas particulier du pendule, et il a été conduit par suite à former une équation susceptible de déterminer le centre d'oscillation du système de poids le plus simple. Mais il n'a pas étendu davantage cette idée, et ce qu'il a fait n'ôte rien au mérite de la conception de d'Alembert, dont la valeur consiste en son entière généralité.

D'Alembert n'avait imprimé à son principe qu'un caractère purement logique. Mais on peut en reconnaître le germe dans ' la seconde loi du mouvement, établie par Newton sous le nom d'égalité de la réaction à Faction. Le principe de d'Alembert est la plus grande généralisation possible de la loi de Newton, et cette manière de le concevoir fait ressortir sa vraie nature en lui donnant un caractère physique. En conséquence, nous n'y verrons, désormais, que l'extension de la seconde loi du mouvement à un nombre quelconque de corps liés d'une manière quelconque.

Nous voyons ainsi comment toute question dynamique est convertible en une simple question de statique, puisqu'il suffira de former, en chaque cas, les équations d'équilibre enire les mouvements détruits. Mais alors, se présente la difficulté de discerner les mouvements détruits. En tâchant de faire disparaître l'embarrassante considération des quantités de mouvements perdues ou gagnées, Euler nous a fourni une méthode d'un usage plus commode, celle d'attribuer à chaque corps un mouvement égal et contraire à celui qu'il présente, étant évident que si un tel mouvement pouvait être imprimé à un corps, il resterait en équilibre. Celte méthode ne tient compte que des mouvements primitifs et des mouvements effectifs, qui sont les véritables éléments du problème dynamique dont les uns constituent les données et les autres les inconnues, et tel est le point de vue sous lequel le principe de d'Alembert a été habituellement conçu depuis. Les questions de mouvement ainsi réduites aux questions d'équilibre, il n'y avait plus qu'à combiner le principe de d'Alembert avec celui des vitesses virtuelles. Telle est la combiniison proposée par Lagrange et développée dans sa « Mécanique analytique », qui a élevé U science générale de la mécanique abstraite au plus haut degrr de perfection sous le rapport logique, c'est-à-dire à une rigoureuse unité. Toutes les questions qui peuvent s'y rapporter

MÉCANIQUE RATIONNELLE. 14g

analytiques ^ ^ ' "' ^''"'"'' P'"«'ï"« <^'^ difficul.és

emploi au4- b en nn. l!; '"/''"'"'' '«^^"«"s admellent son des conduio ,s li t ."'' ''"""" 1"'"" "''""« ^^e

équa, on rérles du L ''"''''j ^' '' '^'^'^'" ""^^ «^es 1 ■'» générales du mouvement des fluirloc o....a

inconnues auparavant. Ces équations ,'„M '"""''«"'«"'

puiuejies auxquelles on parv ent Maie ;i Po . econna „e „, cette in.é.ra.ion générale ot^r^ t jn ; i'

e:;ti rrr.' ïéo'-e t:~"^^^ -'-^^ ^^

parfaites, .éme dais c" , " uïZotf "'^"".' '"" somblera sans doute inévitable ^ et dTaS .nnTe' Z Pl'cation que nous avons déjà reconnue A .m ZT^ ?'

résolu. Pour le simplifier 3 tanl^qu ^SbleTes'""" "' on; eu recours à r,,po,bése de^lnfeTtrû irit: sous le nom de parallélisme des tranches, qui permet de , e con Hderer le mouvement que par tranches -, , lil,, 7 r- -lécule . molécule. L Le î !S; 1 sT^e"

garder chaque section horizontale d' un liquide eoml „ -'en totalité et prônant la place deTa Ï. re e .Ti' demmen, contraire à la réalité clans la plupart d 'ea' ." mouvements latéraux sont entièrement écartés é L •ence sensible impose la nécessité d'é! 1 1 f m ^em I H.aque molécule. Nous devons donc considérerTa "c „c ' de Mrodynamjque comme étant encore dans l'enfanc même , I égard des liquides, et beaucoup plus relative™ n.anxTz

.nentrï"'fl"r"' '" "'"""''"^ fondamentales e luv : ■nents des flu.des sont irrévocablement établies, il est évident

que ce qui reste à accomplir consiste uniquement dans le progrès de l'analyse mathématique.

Telle est la méthode de la mécanique rationnelle. Quant aux grands résultats théoriques de la science, c'est-à-dire aux propriétés générales les plus remarquables de Téquilibre et du mouvement, elles furent d'abord prises pour des principes réels, dont chacun était destiné à procurer la solution d'un certain ordre de nouveaux problèmes mécaniques iMais depuis que l'ensemble de la mécanique rationnelle a pris son caractère systématique définitif, chacun de ces principes a été ramené à n'être plus qu'un simple Ihéorème, résultat nécessaire des théories fondamentales de la statique et de la mécanique abstraites.

De ces théorèmes, deux se rapportent à la statique. Le plus remarquable est celui qu'à découvert Torricelli relativement à l'équilibre des corps pesants. Il consiste en ce que, lorsqu'un système quelconque de corps pesants est dans sa situation d'équilibre, son centre de gravité est nécessairement placé au point le plus bas ou le plus haut possible, comparativement à toutes les positions qu'il pourrait prendre d'après tout autre situation du système. Maupertuis ensuite a découvert, sous le nom de loi du repos, une propriété très étendue de l'équilibre, dont le théorème de Torricelli n'est qu'un simple cas particulier. Tandis que la loi de Torricelli ne s'applique qu'à la pesanteur terrestre, celle de Maupertuis s'étend à toutes les forces attractives.

L'autre propriété générale relative à l'équilibre peut être considérée comme le complémentindispensable de la première. Elle consiste dans la distinction fondamentale entre les cas de stabilité et ceux d'instabilité de l'équilibre. Le repos abstrait n'existant pas dans la nature, ce que nous appelons ainsi n'est autre chose que l'équilibre stable qui se produit quand le centre de gravité est placé aussi bas que possible; tandis que l'équilibre instable constitue ce qu'on appelle communément équilibre ; et il existe quand le centre de gravité est placé aussi haut que possible. La théorème de Maupertuis consiste en ce que la situation d'équilibre d'un système quelconque est toujours celle dans laquelle la somme des foixes vives est un maximum ou un minimum ; et celui que nous considérons, déve-

loppé par Lagrange, consiste en ce an' ,

d^équilibre est stable ou instable elon n f *""' quelconque vives est un maximu.n ou m nblum F ' T" '"'"''' ^^^ f^'^''^' le fait dans les cas les plus si m 2* "^•"'''' "^"^ dévoile très étendue pour mont r al ""'' ""' '^^^"^

De toutes les méthodes en usa^e do„ ? k r l"'^'"''* mes relatifs à la dynamique, la pïs ^L^LÙ'' '1"'" par Lagrange, qui les a présentés comm ,1 ''"^^'^^^ immédiates de l'équalion^^énérilp 1 T ^«"^^quences

la combinaison du principe Ih a u^^^

vahon du mouvement du centre de Jv '^^ ^^ Newton. Newton a démontré que raCin. 1f''"'''^ P'*"

d^ni système quelconque, sot par aur^^^^^^^^ ^""^"'^'^ ^'^ ^^^P^ ou autrement, en ayam é^d/l ! • ï ""' ""^^^ ''"^^'-'-^ e^ ia -action, ne eut n^lle^ :rÏÏ^^^^^^^^^^^^ gravité; en sorte que, s'il n'y a nas H .. l '*" ''''^'' ^^ l^^ices que ces actL; réd rlqu \ : ^f "" "^'''^^du système se réduisent seuleme t'a Isf^ "' '''''''''''' centre de gravité demeurera Tmlbt ''''''^'''^^' ^^

"-nent en ligne droite. U^J^^^n ^^ '' r^""'' "--^^r- Priélé, et l'exposa dans une itTe ,e' ^'r ""^ '^"le mouvement du centre de ^r^vL ïi' ^"^.^'^^^^"^ <^'' où traité comme celui dm^e Zitn '"""^^''^ ^^"^ ^''^

ces grands résultats de la mécanin.l r ""''^"^ ^^

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à tous les pl.é 0X0. " "a"": "PP^'-'Ï"'''^ ^'^A'^ent

de eeue -iversa.it/iSLt: . ri i^rr^' " ''''" science réelle. ^ servent de base à toute

Le second théorème ffénérpi r?a a PHncipe .es aires, dont Zt .£'?.?"! "' f "' '"' Sous sa forme la plus simnip T ' '''"' ^ Pépier.

accéléra.rice d'une "S; 1 IT "' " ''"''' " '» '-vers un poinl fixe le r^n? •ï""'=''"1"e 'end <ons(a,n.nenl

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'•aire décrite au bo" d^u temp^i;:,:^"" ^ '' ''''' •>-

lemps quelconque croît propor-

lionnellement à ce .temps ; et réciproquement, il est évident que si une semblable relation a été vérifire dans le mouvement d'un corps par rapport à un certain point, c'est une preuve de l'action, sur le corps, d'une force dirigée vers ce point. Cette découverte de Kepler est d'autant plus remarquable qu'elle a été faite avant la création de la dynamique par Galilée. Nous verrons dans la suite combien elle est importante en astronomie. Mais, quoiqu'elle soit une des bases de la mécanique céleste, elle n'est, en réalité, que le cas le plus simple du grand théorème général des aires, découvert dans le milieu du siècle dernier par d'Arcy, par Daniel Bernouilli et par Euler. La découverte de Kepler ne se rapportait qu'au mouvement d'un point, tandis que celle de d'Arcy se rapporte au mouvement de tout système quelconque de corps agissant les uns sur les autres d'une manière quelconque, ce qui constitue un cas, non seulement plus compliqué, mais même différent, ù cause de ces actions mutuelles. Il fournit la preuve que, (juoique Taire décrile par le rayon vecteur de chaque molécule puisse être altérée par des actions réciproques, la sonnne des aires décrites demeurera invariable dans un temps donné, et croîtra, par conséquent, proportionnellement au tenips. De même que le théorème du centre de gravité détermine tout ce qui est relatif aux mouvements de translation, le théorème des aires détermine tout ce qui est relatif aux mouvements de rotation, et les deux ensemble suffisent pour compléter l'étude d'un système quelconque de corps, soit quant à la translation, soit quant à la rotation. Je dois signaler sommairement, au sujet du théorème des aires, la clarté et h simplicité que M. Poinsot y a introduites en lui appliquant sa conception relative aux mouvements de rotation, que nous avons considérée sous le point de vue statique. Eu substituant aux aires ou aux moments des géomètres, les couples qu'engendrent les forces proposées, M. Poinsot a apporté à cette théorie un perfectionnement philosophique très important, en même temps qu'il a donné une valeur concrète et une propriété réellement dynamique à ce qui n'était auparavant qu'une simple expression géométrique d'une partie des équations fondamentales du mouvement.

Le théorème des aires a été pour Laplace l'origine de la

découverte d'une autre propriété dvnaminna ". planinvanaOle, dont la considératiore T It V'-'^'^' '' tance en mécanique céleste. C'est dans lourde "a 17'"" qu'apparaît pleinement l'importance de \TcZT ' ""'^ plan dont la direction n'est as affectt . w ''""

des divers corps de notre système soiXe ^ TolZTf' un pomt de repère et un terme nécessair ment fivP H '

raison au moyen duquel on évalue les nÏÏ^^^^ célestes. Nous sommes bien loin cenend.nrr . '''^'

d'une manière précise la situation d?;;' T'"^''^^^^ culte d'application n'affecte en aucune mS'l ''"'^ '''"" ce théorème considéré sous le point d ,';'"'''" '^

rationnelle, le seul que nous devions a lopterti 'V""""^^"^ suite, tout en simplifiant la conception de S r""''^'"" temps éteiuiue, et il a rempli u'ne laïnt^^^^^^^^^^^^^ dermer. En calculant la situation du nian rlnT ''

aires, Laplace n'avait eu égard qu'au/ . ^'^"'" ^'^

duites par la circulation de pL erautouTdu'T'f " ^^" que Poinsot a tenu compte des TvZ T '"'''' *'"^''^^

les satellites, de leur rola ot e e cet d^s^f.?-^'" '''

Ennn, il convient de signal, le; ^iS; s S^ quM a nommé les moments dmertie et leTart. "'

qu'on doit mettre au nombre des résu t. s e^^ Prjnapau., de la mécanique rationnelle. Ces 7^^^^^^ '"^^^^'^"^^ d'arriver à une analv.P r>nmniAT .^^'^'"^^ "«"« permettent

possible de délerminer le luvern, e ier ZT' " 'f conque ou d'un système de corps qneîl'il ,,?"""'■ 'héorèmes, le. géomètres en onTrié™ ,-!" ^"'''' "'' .noins généraux; sans ê,re indispens^b e il, . 'f *""'''"' signalés, à cause de leur ex.r4 „? ' "*"■"""' '''^"'e

cation d;s rec,.ere,:e's";:;r OZ:;:; Zr 1^ T"'-'"auseul énoncé de leurs noms: le Ihé Xe 1 L ' '"

des forces vives Dirfir..iiA..„ " ''"'^'-"'e de la conservalion

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de Maupertuis. Enfin, je crois devoir indiquer un lliéorènie qu'on ne place pas habituellement avec les précédents, et qui, cependant, mérite de fixer autant qu'eux l'attention. Il s'agit du théorème de la coexistence des petites oscillations, de Daniel Bernouilli. Celle découverte est aussi importante par sa portée physique que par sa portée logique, et elle explique une foule de faits que l'observation avait depuis longtemps constatés sans qu'on pût les rapporter à leurs principes. Ce théorème consiste à montrer que les oscillations infiniment petites produites par le retour d'un système quelconque de forces à un étal d'équilibre stable, coexistent sans se nuire et peuvent être traitées séparément.

Cet aperçu des principaux théorèmes généraux jusqu'à présent découverts en mécanique rationnelle, termine noire examen de la seconde branche de la mathématique concrète.

Je désirerais avoir fait passer dans l'esprit du lecteur mon sentiment profond de la nature de celte immense et admirable science, qui, base indispensable de la philosophie positive tout entière, constitue le témoignage le plus irrécusable de la portée de l'esprit humain. J'espère que ceux qui n'ont pas le malheur d'être entièrement étrangers aux mathématiques, pourront, d'après les réflexions qui précèdent, parvenir à en concevoir clairement le caractère philosophique.

Pour présenter un aperçu vraiment complet de la mathématique en son état actuel, j'aurais à considérer ici une troisième branche de la mathématique concrète : l'application de l'analyse aux phénomènes thermologiques, due à Fourier. Mais, afin de ne pas m'écarler de l'ordre habituellement adopté, j'ai réservé ce sujet, que je placerai dans la physique.

La philosophie maihémalique étant maintenant complètement caractérisée, nous allons procéder à l'examen de son application à l'élude des divers ordres de phénomènes naturels, suivant leur degré de simplicité; application qui, par elle-même, est très propre à jeter un nouveau jour sur les vrais principes de cette philosophie, et sans laquelle ils ne seraient pas convenablement appréciés. Suivant l'ordre naturel proposé au début de ce traité, je commencerai par la classe de phénomènes auxquels la science mathématique est éminemment destinée : les phénomènes astronomiques.