VUE GÉNÉRALE DE LA GÉOMÉTRIE

mettait alors de tronv^r 1 > naissant de Ja science per-

en.re les cô^és d TJa'greuSr '' J" "'^"""^ ^'^'^'^^ angles, (andis au'il Tf"'. ^ '■'''"■' ■"■'^""o'néiriques des

es. Li^Ùt '""P'^'"l"«'"«n'. Or, la première opération

concevabTes ?v! T ""P'"^^'^ ^" '»"'«« '«« q-estions P ble tu 'doréTre T"' ^"""'^' '' "^''^-P '^ -'- Ceproc^îrpe éreoTpr r.rthf '"V^?""^"'''^^^

des an"Ln?"' "TV"^^'^'' '"^^'' «" '^'"'^'•dérant la science ariL«é"aû? sans nn •'■?''"'rû"' •^•'"'P'"-''' ""« «"'"""on

vertuduirav»ilH-A I •! ^ irouvaient consiruiles en

rés^i a ; terlZ d-" '^ ""'""""" '" ""'^' ''^' ^nrt. . "^^^^'^'"'"^'lon d "ne certame suite de cordes ph

«^^ que.lorsque plus tard, Hipparque eut invente latl ™e.ne. ,1 put se borner à compléter celte opération pTdes -

intercalalions convenables. La filiation des idées est ici 1res nettement marquée. /

Les mêmes motifs qui conduisent à l'emploi de ces lignes doivent aussi porUr à en employer concurremment plusieurs à la fois, au lieu de nous borner à une seule comme Hiisaicnl les anciens, Les Arabes, et après eux les modernes, ont successivement porlé à quaire ou à cinq le nombre des lignes trigonomélriques directes, et il pourrait êlrc étendu bien davanlage. Mais, au lieu de i ecourir à des formations géométriques qui finiraient par devenir très compliquées, il est prélen.ble de créer des lignes indirecles. Ainsi, par exemple, au lieu de déterminer directement le sinus d'un anijle, nous déterminerons le sinus de sa moilié ou de son double, elc, pnnanl toutes les lignes relaiivcs à un arc qui soit une fonrlitm très simple du premier. Ainsi, nous pouvons dire que le nombre des lignes Irigonomélriques aciuellement employé^'S par les géomètres est illimilé, puisque, à l'aide de IransFunnalions analytiques nous jiouvons toujours en obtenir île nouvelles. On a donné des noms spéciaux à ces lignes indirecles qui se rapportent au complément de l'arc, les autres étant d'un usage beaucoup moins fréquent.

La mulliplieilé des lignes trigonométriques fail naîlre dans la trigonoméirie une troii^ième question roiidameniale : l'étude des relations qui existent enire ces diverses lignes. Celte parlie, quoique simplement préparatoire, est susceptible d'une extension indéfinie, tandis que les deux autres sections sont rigoureusemeni limilées. Toules les trois doiveni nalur.llemeiit êlre éiudiées dans un ordre précisément inverse de celui d'après le(p:el il a été nécessaire de les exposer. D'abord on devra conrvdirc les relations entre les lignes trigonométriques indirecles et les lignes trigonométriques directes, et on traitera en dernier lieu la résolution des triangles proprement dite.

La trigonométrie spbérique n'exige pas une mention spéciale ici, quelque im|)ortante qu'elle soit par ses usages, puisqu'elle n'est plus qu'une simplification de la Irigonomêtrie rectiligne, par suite de la substitution au triangle spbérique de l'angle trièdre correspondant.

J'ai présenté cet aperçu de la philosophie trigonométrique,

^"-^ «-^^ÉnALE i.K LA GÉOMÉTRIE ,09

'enani quel esl le carac(ère nro.l ?' ' ««vons main- Nous .savons nu'elle consll n.' *'':'"?'•'""«"•'"« spéciale. géo,«é,ne générale îir: ' : ,e"^'T •'"'••^P--We à la 'oso,l.i.,ue de la vraie scTe e ^^S:: 'l "^'"'^^^' P'"' Par la grande idée-.nère de Descarî^f T '■ •=°"""«"fan' en lièremeiii fondée. "''"'-''='"^'''8, sur laquelle elle est

<;éon,él,io „.oderne ou analytique.

Jj'i.|"es équivalentes. I)";'-,, s ,^ï m'" •^""^'''«'•«'i«"sanad'y arriver d'après une S ,«,?'' '" '"''''''*' '^''"«'an'e "on est in-éreiante non s : ';'::' i'! .^ •'^"— P"

sc.enee gToniélrique à sa „erfec in , t ^ '^ '"""' ^^

<=" quelle nous Lnire 1,1,'?' T'^""' '"'" '"'''' «" •ions de l'abslrait au o a- et" . . ' '• "" '"''"'''' '«-'^ ■•«'«-

--.ion analytique dr;iï::;:r:rr^^^^

"ans lesquels ré::^:::^:^:^!'"?'"' "' '"^^'^ v-sagerles lignes et les s rfï fa l,i ''^' ''"^'^'^e d'enaussi concevoir de la mêm^ «7 '"'•'y"'l"e'ncnl, „n pourra

On rencontre c h fic^M^^

Séo.é,nq„esàcelles de : tu'td" T'" '" '"''' substituer les considérations de q^a [i.é à r, "^'"•"'^'^' "« E" P'-ésence de celle difficulté !n! ''' •>"^'''^^-

'on.es les idées Séomé.ri u:fse a l « Z'^'''''^^''^'- •!"« c- -rois catégories universelles ^ZZrTr '''"'"' ' position des élendups -. mn ; i ' ^/^'"^''^^'^^ i^/onue et ia

«"••ps résulte de la position m,,.,, ir / , " ^"""^ «^ "«

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t • Il

telle est la conception sur laquelle Descartes a établi le système de la géométrie générale.

Sa méthode a consisté simplement dans l'entière {généralisation d'un procédé naturel à tous les esprits. Si nous voulons indiquer la situation d'un objet sans le montrer immédiatement, nous exposons ses relations avec d'autres objets connus, en assignant la grandeur des éléments géométriques qui le lient avec ces objets connus.

Ces éléments constituent ce que Descarfes, et tous les autres géomètres après lui, ont appelé les coordonnées de chaque point considéré. Si nous savons en quel plan le point est situé, les coordonnées sont nécessairement au nombre de deux. S'il est situé dans une région quelconque de l'espace, les coordonnées ne peuvent être moindres que trois. Elles peuvent être multipliées sans limites ; mais que leur nombre soit petit ou grand, les idées de position auront été ramenées à celles de grandeur, en sorte que nous représenterons le déplacement d'un point comme produit par des variations purement numériques dans la valeur de ses coordonnées. Le cas le plus simple, celui de la géométrie plane^ consiste à déterminer la position d'un point sur un plan en considérant les distances de deux lignes droites fixes, supposées connues, et ordinairement soumises à la condition d'être perpendiculaires entre elles. On les appelle axes. Ensuite, il y a le procédé moins simple de déterminer la position par les dislances de deux points fixes, et d'autres encore d'une complication plus grande ; mais quel que soit le système de coordonnées employé, la question de position est toujours ramenée à celle de grandeur.

Il est évident qu'on n'a pas d'autre moyen de désigner un point, que dp le marquer par la rencontre de deux lignes. Dans le système le plus fréquent, celui des coordonnées 7eca*- !^nnes, le point est déterminé par l'intersection de deux droites, '.''lacune parallèle à un axe fixe. Le système polaire des coordo. nées fournit le point à déterminer parla rencontre d'un CQVt>. de rayon variable et dont le centre est fixe, avec une droite n ibile assujettie à tourner autour de ce centre. Le point pourrait -ncore être désigné par l'intersection de deux cercles ou de deux autres lignes quelconques. En sorte que, assigner la valeur l'une des coordonnées d'un point est tou-

ioursla,.- 7 •^''■'^"*'-^ °^ «-^^ «ÉOMÉTn,E. i„

jours la même chnçA n.i« ^ i . ^^*

'ei-intdoité.r s rLesancir'"""''' "«"^ '^^ '«<!-"« 'a même manière unepos ,Ln f f "■"^"'^^ concevaient de

'^^^^^^ fondés sur ZrrT~\"'''' """'' 'J'^^-^Mque.

eonduil à fonder la zéomkiûtll^ "■"'^"^ <!"'■ ''»"'

'es idées de position e, par Lr^^, ''"'.■ '^^■'"' ^" '^'"""'ene

éi-entaire;pe„ve„r;:;rnÏÏ à e:''t"^"r^'"^"^^

- .vons.en ,oi a consisté ':;.:ù ::?j:::^-

P^^^t::^'^^- "'a -"é ,ne,a

Gérerons d'abord que cette et'égo 'ZT """ "^ '='""'courbes planes. -"«gorie, en commençant par les

I-es lignes doivent être Pïnr;.«^ «"ssi, les équations dven'ê "T ^ . «^^^équations, et, quand la relation des concepln !-''"'"''' P'"" ^'^ "g-e^- «e trouve établie. Il revTen.'l "•?'"''"'' ^ ^'' """""•«« ••«ne quelconque de .s" pr pTiéri H f "'' "" ""^""^ "*"• «ne équation correspondan.rr ! . ' '"«P'-ésenter par variables du point q d^H ce"; t^l '" 'T '^«-^--'«^ une certaine ligne sur un nhnnn! ^^"' ^' "" P"'"' "écrit 0- entre e.les'une :^' ^^i^T:^''"-^'équation convenable. Si le point n. h P '"'' P"*" ""«

%ne, ses coordonnées d iven, ê re d P^^""« «=«««•"« pendantes l'une de l'autre 4 c '"* "'"''''«^ "'dé-

-a déterminée q^âutnTqÎo'tn^rVLr""^ ^^^ "^

coordonnées indépendamment l'unerrautre,.!f- ''' '^'"^ 'e premier cas une se.ilp '.. ^""^®' '«"dis que dans

position. La seconde coordonna rf '"*"' P*""" «''«'• «« première, c'est à dirënî-î ' ""■■' ""' '"<'"*="■''" de la

équation d'une „atutco?re """T '"""' '"^^ ""« «'«''taine

Quelle le PoLt S ^.^^^01:^ 'd '^ ' 'T ^" d un point l'oblige à être situé o.n «"ordonnées

-ssi, la condiiio-n d'être s une cenlili:"'''^"' ^'' assigner la valeur de l'nnp .""^''^"^'"e ''§"6 équivaut à 'rouve, dans ce cas L !•• ^'"' coordonnées, qui se

C'est ainsi le , es l'ip es r„ '"'""'' '''P^"''^"'^ •*« ''"'r deséquationT '^ ''""' ''^P''""'^^^ analytiquemenl par

lij

Par (les réflexions en sens inverse, on mellrait en éviilence la nécessite géomélrique de rcprésenler par une certaine ligne toute équation à deux variahles dans un système déterminé de coordonnées. A défaut d'aucune autre propriété connue, une telle relation serait une définilion très-caraclérislirpie, et son effet scientifique devrait fixer rattenlion immédiatement sur la marche générale des solutions de l'éciuation, qui sera ainsi notée de la manière la plus frappante et la plus simple. Il y a un avantage évident et considérable dans cette peinture des équations, laquelle réagit fortement sur la perfection de l'analyse elle-même.

Le lieu géomélrique nous met sous les yeux la ref>résenlalion de Ions les détails qui l'ont fourni, et rend ainsi relativement facile notre conception des nouvelles vues analytiques générales. Cette méthode est devenue tout à fait éléuienlaire, aujourd'hui, et elle est employée quand on a besoin d'avoir une idée claire du caractère général de la loi qui règne dans une suite d'observalions précises d'un genre quelconque.

Revenant à la représentation (les lignes par les éipialions, ce qui est notre objet principal, nous voyons cpreilo est par sa nature si fidèle, que la ligne ne pourrait éprouver aucune modification, même la plus légère, sans amener un changement correspondant dans l'équation. Quelques dillicullés spéciales résultent de telle parfaite exactitude; car, puisque dans noire système de géométrie analytique, de simples déplacements de lignes affectent les équations autant que des varialions réelles de grandeur ou de Ibrme, nous pourrions élre exposés à confondre les uns avec les autres, si les géomètres n'avaient pas découvert une méihode ingénieuse expressément destinée à les distinguer constamment. Il faut remarquer que des inconvénient généraux de cette nature paraissent strictement inévitable dans la géométrie analytique, puisque les idées de position étant les seules idées géométriques immédiatement réductibles h des considérations numériques, et les conceptions de forme ne pouvant y être ramenées qu'en voyant en elles des rapports de situation, il est inq3ossible que l'analyse ne confonde, point, d'abord, les phénomènes de forn»e avec de simples phénomènes de position, les seuls que les équations expriment directement.

n.EG K^ÉaALE DE LA CÉOMÉT«,E. J..

;ou.e l,.,e ...finie Con^ne W ■ ':^Zi: T'T'"''"' les deux coordonnées de l'nn n,J ? eqnadon enire

de ,>.u,s ,ne .on.e^Îfilr: e ^r tr-r'''^"'^'^' comme é/ani elle-mémr. nnn ' - ' ^"^ ^'^'^ envisagée

■^yf .ne de coorioS: c^^ir"^ '''' ""^^ '^^^^

assignant une V^m^i ^^^ T''' ''"•^^^' '" '"' Mais «Ile pronnélé peu, 1 . Ijf '^^"''"'""'^ '^''^"^i^en,em. de l'ohjet ; en ce cl la dV „', ' ''""''"'' '" Sénéralion

^'ousle même conlour, renferme I. n '"'^'"•' *!"''

avons une défini.ion ca.c. S ^e -ifs f:!" '"''' """^

"•- |.oi... fixe 'ous a un" rr 'T' ' ''''' '"^'«"«^ é'u..o ulléneire peurrair'eTLuti;""'" '''''''''' ""'"-

."-ï.:;:r:;;^;:ï^-^£:'7^^"epeu.s.app..

rola.ion emrë les deux m '''"" ''"' 'P'"'''^' ""« 'oHaine derola.iona s, uersTr"'"''"'''"''^ '^'"'^'»'- - "'ouvemen, du r^o, n^ a itroTr' %''""" ''"•""'' '« 'a plus gcncrale de ce n . '1 ' '' ^°""'""' '» "olion

-'a.io„ ne peu. ê r^n ir : ■"' '"'^ ^"""'"^ "^"« proposée dans un .^yslMnelrZZl V" '"' '« "«"« Pondanle,-, celle du Z, ! '' "' "''^* '^ ""« "'''ure corres-

par exen,,, il^fië^t ,:. "rL T^lT = '"'' dee con,n,e élan, Péqua.ion pela re d ce. l " ^"'" !'.•«"»„, pour pôle le cenlre du cercîr """'"' '"

'i|,ne par une equalion, indique

aussi la difficultégénérale qu'on rencontre dans rétablissement de ces équations, et montre, par conséquent, la marche à suivre dans les recherches de ce genre, lesquelles, par nature, ne comportent pas de règles invariables. Puisque chaque définition explicative d'une ligne constitue l'équation de cette ligne, il est clair que lorsque nous éprouvons une difficulté à découvrir l'équation d'une courbe au moyen de quelqu'une de ses propriétés caractéristiques, la difficulté provient de la condition qu'on s'impose ordinairement d'exprimer analytiquement cette courbe à l'aide d'un système de coordonnées désigné, au lieu d'admettre indifféremment tous les systèmes possibles. Ces systèmes ne sont pas tous également convenables; et, quant aux courbes, les géomètres croient devoir presque toujours les rapporter, autant que possible, à des coordonnées reclilignes. Or, ces coordonnées uniques ne sont souvent pas celles relativement auxquelles l'équation de la courbe se trouverait immédiatement établie par la définilion proposée. C'est donc en une certaine transformation de coordonnées que consiste réellement la principale difficulté qu'on éprouve à former l'équation d'une ligne. La considéralion que j'ai présentée ne nous offre pas une méthode certaine et complète pour l'établissement de ces équalions, mais elle peut nous éclairer utilement sur la marche à suivre pour atteindre le but qu'on se propose.

Le choix des coordonnées, ou la recherche du système qu'on doit préférer comme le plus approprié au cas : tel est le point qui nous reste h indiquer.

D'abord nous distinguerons très soigneusement les deux points de vue, inverses l'un de l'autre, propres à la géométrie analytique, savoir : la relation de l'algèbre à la géométrie fondée sur la représentation des lignes par les équations, et, réciproquement, la relation de la géométrie à l'algèbre fondée sur la peinture des équations par les lignes. Quoique ces deux points de vue se trouvent nécessairement combinés dans toute question de géométrie générale et que nous ayons à passer de l'un à l'autre alternativement et presque insensiblement, il importe néanmoins de les séparer ici, car la réponse à la question de méthode que nous examinons est loin d'être la même sous l'un et l'autre de ces deux rapports ; en sorte que

'"" «^EUALE DE LA GÉOMÉTRIE. ,,r

sans celle dislinclion 0.1 ne .aunii «'. r

nelle. ' ^'"^'"' « «n former aucune idée

Dans le cns de la renrésenHimn a ,■

le seul mo.if qui puls:eC^^^^ ^^ '" '""''''"'' à un autre ne peut être m,^ y, 'f'^"^"" système de coordonnées

'1 ne peut /avoirCu s ,/„:"]: '^''T'' «^'^ P-venir. préférence constante. lleCèJe r,?""''^ •"'"'«"' ""« souvent avantageux, ne l'est '.,^7. ''"'''"« '"^"'e, quoique

parfois se trouver 'le lt?LXT,r''-r' ''"' •"^autrement dans la question hJeZaljT '' '" "'' ^'''" semer des équations par ,le ZZ'\T^ ' ^ "«" °« ''P'^li?ne doit toujours être nréL ,°'' '' '^'^^"-^ ''ecli-

de deux lignes, il va t S , Lcer'r "" '"'"'"""'''« simples que possible, ce qui 1 m ,ë note '1"'' '"'"' '"''' recliligne. Pour construire les lie û '!. ' '" '^"^'"'' système de coordonnée, es ce ' «'^ '"^^o'' le meilleur

facilement le Chanel „' "'.• '^ "" ''"''" P'"^

cl.angementdansh V eu ' eÎlrd"" """'' '■"""^"' '''"" syslème recliligne. De p us 1!?'^''""'^'?''= «^' '«<=«« du

'•"sage habituel de prerfdïe I e/dt ^'""'^ ''"""»« '^""^ l'un à l'autre s'il es ^l'it le f . '"'' Perpendiculaires ine-naison. En rep^nZ ^ ^^l^SZ^r' ""''' devons préférer l'inclinaison des txes T . "ï'""'»"'' "«"« cas parliculier • mais ,«.,= 1 .î P'"' convenable au

voir que des a^eH:.: i^^eTl^rreir^^^^' '' ^^' «^ "« peindre les équalions d'une manière M. ^"«'«'nn'ent de fidèle. Car. si nous éiendôns Ip / '^ "•"""' "^-"^ P'"s

«on en plusieurs S „ ij ^ ifr''"'''" '' ''^"'obliques, nous aurons des di^f .T'' P"" '^'' '^^^^ pondront à aucune ivsÏ 1"".' "'"'' ""' "^ "'^'^^■ 'ableau en sera nécessremfnt alS^"' '' ''"'^'''"^^ ""

reclilignes est supérieur ï ou Ztel " """"""^«^ -u. Les théories l^splICti^-,?:-^^^^^^^^^^^^^^

derne sont généralement exprimées par le système recliligne. Le système polaire a la préférence après relui -là, soit parce que sa nature opposée le rend susceptible de résoudre, de la manière la plus simple, les équations trop compliquées pour l'emploi du premier, soit parce que les coordonnées polaires ont souvent l'avantage do comporter une signilicalion concrète plus directe et plus naturelle. C'est ce qui arrive en mécanique pour les questions géométriques auxquelles donne lieu la théorie des mouvements de rotation, et dans presque toutes les questions de géométrie céleste.

Tel a été le champ des travaux de Descartes, sa conception de la géomôlrie analytique étant bornée seulement à l'élude des courbes planes. Glairaut, environ un siècle après, retendit àTélude des surfaces et des courbes à double courbure. La conception principale ainsi exposée, une mention rapide suffira pour ce nouveau cas.

Quant aux surfaces, la détermination d'un point dans l'es pace exige qu'on assigne la valeur de trois coordonnées . Le système le plus fré(iuemment adopté, et qui correspond au système rectiligne de la géométrie plane, est celui des disla nces de ce point à trois plans lixes habituellement perpendiculaires entre eux, ce qui représente le point comme l'inlersec lion de trois plans dont la direction est invariable. Il y a, dans ce cas, la môme variété infinie entre les divers systèmes possibles de coordonnées, que nous avons déjà remaniuée pour la géométrie à deux dimensions. Au lieu de l'intersection de deux lignes, c'est celle de trois surfaces qui détermine le point, et chacune des trois surfaces a pareillement toutes ses conditions constantes, excepté une, qui donne lieu à la coordonnée correspondante, dont l'influence géométrique propre est d'astreindre le point à être situé sur celte surface. Cela posé, si les trois coordonnées d'un point sont mutuellement indépendantes, ce point pourra prendre successivement toutes les positions possibles dans l'espace ; mais si sa position sur une surface quelconque est définie, deux coordonnées suffiront pour déterminer sa situation à chaque instant, puisque la surface proposée tiendra lieu de la condition imposée par la troisième coordonnée. Cette dernière coordonnée alors devient une fonction déterminée des deux autres, celles-ci demeurant

^"^ °É»™ALE DE LA GÉO,,ÉTn,E. Ul

mdependanles entre elles Ainsi il v ,

«-.nées variables une cor' '',;:: ^''^ '« --oor-

sera unique, afin ,1e corre.nnnrin! ? P^nnanente, et qui

B.ins l'expression des surfaces mv ,l«c • • ''•••ns l'expression des équa.ions pu dp, . T"°"'' '' ""''^ ';o.. os., la n,ên,e que dans a gS „é ie f ?' '' ""^•^''dimensions.Danslenremierc-.fr """'y'Wue à deux

analyl.que de la suvZTZoTo::'"'^''''" '''" '" "^«"■''io» ' fier pour ,„us les poin.s de ei: 'rCre;"^' """ " ^•^"- ""-■"I. Si la surface éprouve cwehZZ ^""^ "^"-^ ^eule-

ép.onvera une -difiL,ion c «t^T"'' !'''"''""

menés géoméiriqucs relatifs ■t^.TV ""' '^' P''é"o-

d'élre.raduilspa cerlah etliii f ' '""' ^"«'^«l"i»"es

Pro,.res..u..é,ual/ons ros h;?""^''T'^"^ «einen, e. I'in.erpré^., o ,e 1 ' ,''' '""' ''"'"'''■^-

poinl de vue inverse nui cnn.i;",., r '''n'eiisrons. Au

'i- .-. ..ois variables' Z^T^^^'T^^' ^."""--.na-

nié.riqu,.ment par une su'rfa e' erl'n e Ty""'"' ^"'"propnélé caraclérislique n„e . f ""*' '''^'""e Par celle P"i'.'s conservenuoujrr. J: ,;;r'7':,'^- "<^ '<>- ses celle éqnalion. Telle esl relaUve-n!. "■''"""" ''"""^'^ ««"^ ;-■ ^"^-..aire, com^lr XI ^ ^^it^'-; )« --P- Sans reprendre les corisirl.ir..»;. . ^^^ ^escarles.

S"l'i'a d,. dire que la Ll^'^ T ""''"" ""' •'''"'■^"^«S, il -i^ ''-^--Isque i ^ellt^'L'" f "" •^"•^'^' "'- à

-'::t;:i;:f;srt:etis;^;T^'«--'^e,qui

""e eer/aine courbe u,,'!.""'' "'! P*^"" ''""êlresiluésur "'^"er co„,pli,e,,„en; Zlr """"^''""''' ^"^"' ?"">• "«'«r- 'o-l>c .vcï la uSe fré !I 'f "'"""'='"" ""' -"«

ii'j

mi

comme des fonctions nécessairement déterminées et distinctes de la première. Par conséquent, toute ligne considérée dans Tespace est représentée analyliquement, non plus par une seule équation, mais par le système de deux équations entre les trois coordonnées de l'un quelconque de ses points. Il est évident, en effet, d'un autre côté, que chacune de ces équations, envisagée séparément, exprimant une certaine surface, leur ensemble présente la ligne proposée comme l'intersection de deux surfaces déterminées. A la vérité, celte manière de concevoir la représentation des lignes par des équations engendre un inconvénient, en ce que la même ligne peut se trouver exprimée par une infinité de couples d'équations, vu rinfinilé de couples de surfaces qui peuvent la former, ce qui présente quehjue difficulté pour reconnaître cette ligne à travers tous les déguisements algébriques dont elle est susceptible. Mais on fait aisément disparaître cet inconvénient, en se privant des facilités qui résultent de cette variété de constructions géométriques. Il suftit, en elîet, de déduire du système analytique établi pour une certaine ligne, le système correspondant à un couple unique de surfaces uniformément engendrées, et qui ne varieront que lorsque cette ligne elle-même changera. Tel est l'usage naturel de cette sorte de combinaison géométrique, qui nous offre un moyen certain de reconnaître l'identité des lignes, malgré la diversité quelquefois très grande de leurs équations.

La géométrie analytique présente encore quelques imperfections, soit relativement à la géométrie, soit relativement à l'analyse.

Relativement à la géométrie, les équations ne sont propres, jusqu'à présent, qu'à représenter des lieux géométriques entiers et nullement des portions déterminées de ces lieux géométriques. Il serait cependant nécessaire, en plusieurs circonstances, de pouvoir exprimer analytiquement une partie de ligne ou de surface et même une ligne ou une surface discontinue, composée d'une suite de sections appartenant à des figures géométriques distinctes. La thermologie surtout donne lieu à de semblables considérations, auxquelles notre géométrie analytique est inapplicable. Les travaux de M. Fourier sur les fonctions discontinues ont commencé à combler cette lacune ;

VUE GÉNÉRALE DE U GÉOMÉTRIE. ..g

voir ê.re in.rodu " « XTH'7"'"''"^"^'^P-^P-b-'i-éoù nous so™J7î 0 cev;^"""^^''" ''''"''-grand nombre, une reor^n^!, ? "^^'^bhs, ou un plus

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"aturellemen, impossi Je de" r ver' ni f ""t'"^' " '^^' géométriques une représeniiiil ! ^ '' l'hénoraènes

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■analytique. Elle eonsee:r;r"°"^ ''^ '''''"''"'> de.s équations . deux ou troi va! , ^r/e/r""'--surfaces, nous n'avons é-o,.,! ...,' . ^ ^^ ''^"^^ «u des

•ions, sans tenir au: e mp e Z sït' ""^ '''''■' ''' ^^- Pendant ces dernières doiven/ . ^ ""agmaires ; ceê're aussi susceptible dt ";";'. ^ '"''"" ^^"«•■«'«' fi'où il suit queV eVéL a Lr - ''"' '^^ P'"'^™-^*'^ •oujours imparfaite e nu'e I ' ri ^''''''"'^"' ^^ ''«''"«"»" «st •ion ne comporte que 2ës 01.7"''"' '""'-'-'■'"■'^"«"dlequa-

Perfecion prLipI^éÏ ,e„ """' T''""''''- »" -^^«^ '"'- -eondaires^enamacrqet "eïm^r^P^ ne correspondent . auc^n htr^Xr:?''"^'''^"^^ JVous savons mainfpmnf ^« • o^^^'^cinque.

'yique. Par cet^ ctnce „ X"""^'' '' ''"''''"' -néral, l'express.on ana ^0 dt 'l """'.''"'^'''^ '''' ^° ^é- •"étrique propre aux gÏet aux sIV ''"""""'"« ^^''ment, nous découvrons n er ' a ion I"''' '• ''' '■'"P''"'"^ou -elle considération analytï If r^'"''"' '' '^"^ ^dérer maintenant les ques.i ns g^S le T"' '' ''"- 'es, pour voir comment les géomS so, , ^ ""P""''"celte belle harmonie- mais un,T ' P"™""^ * établir

à l'objet de ce liv^Cn "„,?'"'" "'"'' P"^ "^eessaire l-phique de la secutrra^Tl XÏÏ'« ^"'^^^ P"'' la mathématique concrète nous «Mo P'"' '™P'e de

'ravail relaliv ment àla sdênce , ^""'eP'-endre le même

de la mécanique ratlnnlue '"'' '' P'"^ '=»'»P''Vée