II. — LES PROCÉDÉS DE LA STATISTIQUE

On calcule aussi quelquefois la moyenne harmonique entre deux termes ; elle s'obtient par le double produit de ces termes divisé par leur somme (1).

Ces observations, propres à éclairer quelque peu le lecteur sur la question des moyennes en statistique, n'ont pas pour but de déterminer tous les cas ; elles suffisent pour faire comprendre que toutes les moyennes ne sont pas de même nature et n'ont pas la même valeur.

Les moyennes en effet participent de la qualité des éléments à l'aide desquels elles ont été calculées. Si ceux-ci sont exacts, la moyenne peut être précise ; s'ils sont médiocres, la moyenne

parement, n'eatre pas dans le cadre de celte introduction, nous croyons devoir donner quelques explications nécessaires pour l'intelligence de la moyenne géométrique.

La population peut être assimilée à un capital placé à intérêt. S'il est placé à intérêt simple, sa valeur initiale a deviendra A au bout de n années; la formule pour calculer son accroissement sera :

ce qui veut dire que le capital (ou la population) deviendra égal à sa valeur initiale (a), augmentée du produit de cette même valeur (+ a) multipliée par le taux annuel d'accroissement (r) et par le nombre d'années de la période observée (n). Et par conséquent, la valeur de r (taux d'accroissement) sera

an

dans ce cas, r est une moyenne purement arithmétique.

Mais l'accroissement d'une population se produit, plutôt comme celui d'un capital placé à intérêt composé que comme celui d'un capital placé à intérêt simple et c'est à la règle d'intérêt composé qu'il convient de demander la formule qui est

dans ce cas, r est plus petit que dans le cas précédent.

On doit avoir recours aux logarithmes pour obtenir la valeur d'un de ces termes A, «, r, n) lorsqu'on connaît les trois autres. L'expression log. A = n log. (1 H- /■) -4log. a donne l'inconnue du problème. Le terme ?', déduit de la connaissance de log. (1 H- 7'), est une moyenne géométrique.

M. Turquan, dans un mémoire récompensé par la Société de statistique de Paris en 1884, n'a pas omis de rappeler que l'intérêt composé ne rend pas un compte exact, théoriquement au moins, de l'accroissement d'une population, parce que l'intérêt composé implique un accroissement intermittent, l'intérêt ne s'ajoutant au capital qu'à certaines époques déterminées, tandis que la population s'accroît d'une manière continue. Il faut alors calculer au moyen de l'intérêt continu, comme l'a fait M. Woolhouse en 1883 et, après lui M. Spragne. C'est ainsi qu'opèrent aujourd'hui les actuaires. On trouve cette méthode expliquée dans la Théorie mathématique des assurances sur la vie de M. Dormoy. Les démographes emploient la même formule dans laquelle r représente l'accumulation de l'intérêt continu pendant l'année.

(1) Voir sur les différents types mathématiques des moyennes l'article de M. Messedaglia [Archivio di statistica, anno V, 1880, livraisons 2 et 4).

l'est aussi. Si, malgré leur exactitude, ils sont en petit nombre, la moyenne a plus de valeur. Si, quoiqu'exacts, ils sont disparates et impropres i\ former une série graduée, la moyenne est plus médiocre encore et devient souvent un non-sens.

Quelques exemples aideront à mieux comprendre ce dernier cas. On a dit souvent, avec raison, qu'il serait absurde de donner 500,000 francs comme représentant la fortune moyenne de deux personnes dont l'une posséderait un million et l'autre n'aurait rien. On peut dire aussi qu'on commettrait une faute d'arithmétique en assignant 4 francs comme prix moyen d'une marchandise dont on aurait vendu dix unités â 6 francs pièce et cent unités à 2 francs. On est porté à taxer d'ivrognerie un pays où la statistique accuse une consommation annuelle de 5 litres d'alcool par tête, tandis qu'on innocente volontiers celui qui n'en accuse que 2 ; cependant, si une étude plus attentive révélait que, dans le premier pays, la moitié des habitants fait habitude des liqueurs, tandis que dans le second, le vingtième seulement de la population en consomme, ne serait-il pas vraisemblable que l'alcool produit des effets plus dommageables â la santé dans le second que dans le premier ?

Quand les éléments sont de même nature, qu'ils offrent des garanties suffisantes d'exactitude et qu'ils forment des séries convenablement graduées, le statisticien peut légitimement pousser le calcul des moyennes jusqu'à des fractions d'unité, sans cependant descendre jamais jusqu'à la minutie. Si les éléments sont imparfaits, il doit être plus réservé pour ne pas laisser croire à une précision qui n'existe pas. N'insistons pas davantage sur cette prudence que nous avons déjà recommandée en traitant des éléments.

Une moyenne est préférable aux éléments d'où elle est tirée quand elle établit une compensation entre des erreurs de détail qui se seraient produites en sens contraire ou entre des accidents particuliers : c'est un avantage qu'elle possède dans certains cas. Mais, si les erreurs portent toutes dans le même sens, la moyenne reste entachée de l'infirmité des données qu'elle a généralisées et elle n'a pas la vertu de les rectifier.

Les distinctions que nous venons d'établir peuvent paraître quelque peu subtiles ; il était cependant opportun de les indiquer pour l'intelligence de notre sujet. En somme, le calcul des moyennes, qui est d'un usage continuel en statistique, est une