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sique de la loxodromie sur la surface de révolution (2). Les deux points M, et M ont pour homologues deux points m, et m et les arcs mm et MM sont égaux. La tranformée de la géodésique est une courbe qui présente en #», et m deux points d'inflexion et dont la courbure y, ne dépendant que de a ts du rapport de similitude dans la direction normale,
est égale à —— (lg. 6).
4 et zsont Es te de la géodésique en m et M5 l'arc de loxodoté est désigné par la variable / aussi bien en projection que sur la surface de révolution, l'arc de géodésique par s en projection et par S sur
la surface (2).
ce, c, c',... représentent la courbure de la loxodromie et ses dérivées successives prises par rapport à l'arc L.
7:77... représente la courbure géodésique de Fe géodésique en
projection et ses dérivées successives par rapport à l'arc s.
Les indices 0, 2, 3 correspondent respectivement aux valeurs prises par ces diverses fonctions au point Mo» au milieu dem,m et au tiers de m,m à partir de m,.
Considérons la droite qui joint mon et désignons par œ et æ respeclivement les angles des tangentes en m, à la HOUR et à la géodésique avec la droite m,m.. On a :
1 (2 œ— = Cl + Re +...
Al ï 1 1.3 MÉDE ie
Si d représente la distance mm en projection, on a les relations suivantes :
fl 19 " deep Fe CE NA 2" T'En8o PE 1%to 1920 7
Quant à la différence de longueur entre la géodésique et sa transformée plane, elle est donnée par la formule :
Les formules (37) permettent le calcul de la correction de Givry, qui est égale à «, a; la loxodromie et la géodésique ont des courbures opposées et se situent de part et d’autre de la droite mm; le rapport de similitude K croît à mesure qu'on s'éloigne de la loxodromie; ces situations respectives des deux courbes sont seules compatibles avec le fait que la géodésique a la propriété de représenter le plus court chemin sur la surface de M, à M. En effet, si en projection, la géodésique qui est très rapprochée de la corde mym était par rapport à cette corde du même côté
Br Es
que la loxodromie, elle serait forcément plus longue que la corde en projection et de plus le rapport K augmentant quand on s'éloigne de la loxo- - dromie cetle corde correspondrait sur la surface à une courbe plus courte que la géodésique : ce qui est impossible par hypothèse; donc, les positions relatives indiquées sont seules compatibles avec les propriétés de la géodésique.
18. Caicul de la correction angulaire de Givry et de la différence de longueur des deux arcs. — Considérons sur la loxodromie le point u, d'abcisse curviligne À, comptée à partir de m,; la perpendiculaire abaissée de ce point sur la corde m,m la rencontre en x et son prolongement rencontre la transformée de la géodésique en u.. La distance LU à pour expression :
pp == x (À — 1),
quand on néglige la variation de courbure sur la loxodromie. Le rapport de similitude au point # est donné dans ces conditions par :
2 232 {x = [2 NAN ME ea )
nn
Lot 2Np
La courbure y de la géodésique en projection est égale avec la même approximation à la dérivée de K,, dans la direction normale, c’est-à-dire à
— 1 et on à :
Ne
2Np
courbure positive pour tous les points de l'arc mm. L'application de la formule (37) donne :
9Np CAES C3 à D aNo”?
d’où :
LaËe ete 2 PH 24Np
Le premier terme du développement de «, est du troisième ordre; la correction de Givry est donc :
1 DRE (40) C—a,+a—"0l- (a | RL 2
Pour le calcul de la différence des deux ares nous écrirons :
