AR ASS

Les dérivées successives de la fonction F se calculent facilement en partant de la première équation différentielle (57) :

= ds r EF" — ne

# P n F = 5-5 sinl,

Sr ds FÉAEES ATOS \ E = T5 (sin Diese L),

CROIRE TES due N

D US OR RUES, BONE EN Sete

F ar asinL (sin L DiC0S L)

Dre VE N Ë r r Sn EAN r + (sin L cos L +7 cos Lsin L) LE C0 #0) Fa

en tenant compte de l'équation (25) qui donne la valeur de ù on trouve finalement : P

FU — = sin L +5 = sin L cos L. + a sin L'eost LÀ

Sur un parallèle, la deuxième équation différentielle (57) s'intègre facilement puisque le rayon r du parallèle est constant :

a Tel F

al 2 + En remplaçant dans (58) 7 par => On retrouve les coellicients des équations paramétriques (56) :

F Quest,

a dus destel Fo () Te :

nil d° 1 S N tg L\?2 + a ne

à A in L No

A) ee +5 sin Leos? L. + a sin L cost CE tg L\5 5 tgL\ 1 on [) CT) an

24. Projection Lambert. — Dans le cas particulier de la projection conique de LamBerr :

RUE __: t&L Re Ce NS 1 Ç PAR de 8—=6, G— 0, te L :

ON LP Ges valeurs des coeflicients donnent pour les méridiens : £—0

(59) L 1 { : tb, 3 5 PEA GNPo | 2 NP (

he? cos? L,) st + ..

et pour le parallèle origine :

En posant :

N, ri on voit que Ë et n des formules (60) sont les débuts des développements connus des fonctions sinus et cosinus.

Ace NA A N, Éa un sin Ÿ, n MUR (L — cos Ÿ).

Ce résultat était à prévoir; la courbure géodésique du parallèle origine

ol : 2 r +

— À" devient la courbure plane de la transformée de (£). Les mériû

diens en projection sont tous des droites normales à ce cercle, ils con-

vergent donc vers le centre du cercle. Ù

Etablissons l'équation différentielle classique de la projection Lamserr; nous verrons qu'elle est identique à l’intégrale première (52).

Cette équation différentielle classique s'obtient en écrivant que le rapport

: de similitude K est le même sur un méridien et sur un parallèle en un

point quelconque ; sur un méridien :

sur un parallèle qui passe par le point du méridien précédent situé à la distance » en projection du parallèle de base :

te L, rdG ”

où dÿ est donné par la formule :

D 50 — L’équation différentielle. :

ne ere nigL\r Hour So ns

définit la fonction » en projection LamBerr.

Pour obtenir l'équation différentielle en K, il suflit d'éliminer » après avoir effectué une dérivation supplémentaire; l'équation :

KR re in (sin L — sin L;), obtenue par cette méthode est identique à (52) intégrale première de l'équation générale (51).

Gette équation différentielle (52) peut s'intégrer et on trouve () :

L\r 1 Le sin L = (cotg =) ( ntgL, 2 1 —esin L RS te Et N, (cote) (: EE)" s 1 —esnl, avec :

he sta DEA

Nous allons montrer, en intégrant par développement en série l'équation différentielle (61), que l'expression trouvée pour » (formule 59), par application de la théorie générale pouvait être obtenue aussi par la méthode |

classique.

2 a . 1 Développement en série de 2e

R(E) sb Jon < (5) = as sin L cos been sin L ee cos De ; Lie . SC + a) de a CN nt bec s@l sigL que

“Las N GW

Le produit de ces deux développements est :

dn bus Ë DRE TELE RAT A 3 de dense L RaN2e Ni À EN, | )] SE

M Cf. Traité des Projections, 4° fascicule, par J. Lasonpe, $ 119.

dont l'intégration donne, : |

1 1 Ft L LL, fi 1 SEL D Fée eu e) Ti er Népo No \N5 Po Na dL P/0 is

1 ANS TAN es rai bye =

x —=) et — (:) s'expriment en fonction de la deuxième 4: #Po4 dl \e/6

Les quantités ( excentricité €:

3 1. , : 3 ‘ EL 1 1 (G—ésmL) : G—ésimL,)s eécos L(1— sin L)s . NUS À LPS a (1 — e?) a (4 —.e?) eee cos L, N,

UD in Le L, cos I

(A 3(1— e? sin? L)2 , . 5 Sin L, cos L — (=) — — "sin L, cos L, = — 36?" !, dl \p/ a(i — e°) N,

Ce qui démontre l’identité des formules (59) et (62).

Ainsi, les trois projections conformes de Mercaror, de Gauss et de Law- Bert sont des cas particuliers de la projection générale de déformation minima qui à été étudiée. Les coellicients R, 8, &, U, Ÿ, ®, X se déduisent des formules générales qui permettent d'écrire immédiatement dans chaque cas les formules de ces projections jusqu'aux termes du quatrième ordre inelusivement. Ces coefficients fournissent tous les éléments pour le calcul pratique des tables de la projection de Gauss ou de Lamserr, en vue des applications géodésiques ou cartographiques.

Les formules développées qui ont été établies diffèrent légèrement des formules classiques : tous les coeflicients y sont exprimés rigoureusement en fonction des deux rayons de courbures principaux N et p et de la deuxième excentricité e', pour les projections de Laweerr el de Gauss, alors que les auteurs classiques donnent des formules dans lesquelles les calculs des coefficients ne sont pas effectués de. façon analogue dans les deux projections. C’est pourquoi il nous a semblé intéressant de reprendre par les méthodes habituelles les deux calculs et de montrer qu'elles peuvent aussi conduire aux résultats fournis directement par la méthode générale.