IV. PROJECTIONS CLASSIQUES (Mercator, Lambert et Gauss

Les projections classiques de Mencator, Gauss et Lamserr sont des cas particuliers de la projection générale étudiée dans le chapitre L La projection de Mercaror est elle-même un cas particulier de la projection de Lawserr; dans ces deux projections, le rapport de similitude K est fonction de la latitude seule et l'équation aux dérivées partielles (II) devient une équation différentielle du second ordre à une seule variable :

e K Kd/rdK\ 1 /dK\2 ED ra a) Ge IL est facile de vérifier que :

dK Kp

(52) Te (sin L— sin L,)

y Te est intégrale première de l'équation (51); L, est la latitude du parallèle origine de la projection Lawserr. Pour la projection de Mercaror, il faut prendre L, égal à zéro, latitude de l'équateur.

Dans ce cas particulier, l'équation différentielle du premier ordre (52) se simplifie et devient :

dK psinLdL F RE Re TE ES (53) Rd À : dr Me ANSE e à , Comme : TG sin L, l'intégration est immédiate et donne : (5) K —°; : Tr

formule classique de cette projection.

L'application des résultats établis au chapitre Il dans le cas de l'ellipsoide de révolution permet de calculer au voisinage de leur courbe de base respective, les premiers termes du développement des projections de Mercaror, de Gauss et de LawBerr.

Dans le cas de la projection de Mrnoaror, ce développement n'a pas d'intérêt pratique parce que le problème est soluble à l’aide des fonctions élémentaires; et il existe des tables dites «latitudes croissantes» pour construire le canevas de la projection. Au contraire, dans le cas de la projection de Gauss et de la projection Lawserr , les développements obtenus peuvent être utilisés pratiquement en géodésie; 1ls présentent l'avantage de fournir les expressions exactes des coeflicients alors que les formules classiques, utilisées, ne donnent souvent qu’une valeur approchée des coefficients pour les termes du quatrième ordre.

22. Projection de Mercator. — L'application des formules (14 bis) et (23 bis) donne :

tg L— 0, A, 5—09, E—0; ap D 0 V0, : @ 0, X—0.

La courbe transformée de l’équateur est une droite et le système (35) fournit les équations paramétriques des courbes transformées des méridiens :

Ce sont des droites perpendiculaires à l'équateur; les parallèles sont aussi des droites et leur distance à l'équateur est représentée par » qui est le début du développement en série de la fonction «latitude croissante ».

La fonction » s'oblient par intégration à l'aide des fonctions élémen-

taires :

expression qui peut s'intégrer facilement si on remplace e et N par leurs valeurs en fonction de la latitude (paragraphe 14) : |

; met L ae 1 Lesin L (55 bis) | n= a log 1g (542) — io RESF R TE 23. Projection de Gauss. — La courbe (£ }est un méridien. 2; CU:

RS Se BR?

he? .

O—0, PRES P—— sin LoosL, X% — 0

d’après les formules (14 bis) et (23 bis).

Le méridien origine a pour équations :

Le méridien se développe suivant une droite en vraie grandeur. Les équations paramétriques du parallèle de latitude L sont:

£ 1 tg L\2 1 3 ICONS : 1/tÿL\ » 1 tg L\5 tg L 1 PoNer E e }: 2h de k rer “sin Lcos L) | ts = (je sin cos }] . +.

La méthode classique pour l'établissement des formules pratiques de cette projection est dûe aux auteurs allemands O. Screen et L. Krücer U). Efle dérive de la théorie générale des fonctions analytiques; nous démontrons ci-dessous que le calcul peut-être conduit de manière à obtenir les équations du parallèle sous la forme (56).

Considérons les deux fonctions X et 7, coordonnées rectangulaires dans la projection de Mercaror :

À, proportionnel à la «latitude croissante »,

7, proportionnel à la lonocitude.

0) Rapport sur les Projections par M. P: Tarn (Travaux de l'Association de Géodésie de l'Union Géodésique et Géophysique Internationale. 6° Assemblée Générale, Edimbourg 1936).

Lie

Si le coefficient de proportionalité est égal à a, grand axe de lellipsoide, ces fonctions vérifient les équations différentielles :

: (57) dA dr = .

ds dt

Soit À + ir l'aflixe d'un point du plan de la variable complexe, toutes les projections conformes de l'ellipsoïde sur le plan correspondent à une affixe n -+-1£, fonction analytique de À + ir:

n+iËê=F(1+ ir).

Dans le cas particulier de la projection de Gauss, le méridien central se développe en vraie grandeur suivant une droite; cela détermine complètement la fonction analytique F, car pour :

on a:

: n FO).

La projection définie par cette fonction est symétrique par rapport au méridien central; elle est donc bien de déformation minima le long de cette courbe.

Le développement en série à partir d’une origine située sur le méridien

“central(À—À,,7—0) est:

m1 Ë mn FOX) (AA + à) +2 FO) (AA HP +

En particulier, les équations paramétriques du parallèle de latitude croissante (XÀ,) sont obtenues en faisant AX—0 dans le développement ci-dessus et en égalant les parties réelles et imaginaires.

dde tant:

(58) ET 1 iv L a 2) + FOX) +

G@) F est donné en fonction de la latitude L par l'intégrale :

L L'a(1— ei) F = edL = | A ee LUS dL 0 o (1—e sin L) ?

et la latitude croissante À s'exprime en fonction de la même variable L à l’aide des fonctions élémentaires (formule 55 bis).