PREMIÈRE THÈSE

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Il existe de nombreuses représentations conformes de la surface de la terre sur le plan : les plus anciennement connues sont la projection -stéréographique et la projection de Mercaror. L'intérêt des projections conformes qui conservent les angles n’a échappé ni aux cartographes ni aux utilisateurs depuis l’époque où la sphéricité de la terre a été mise en évidence. Ces deux projections, en particulier celle de Mercato, sont encore maintenant les seules utilisées pratiquement pour la navigation maritime, la projection stéréographique étant réservée aux régions polaires et la projection de Mercaror étant étendue à la représentation plane de tout le reste de la surface terrestre.

La projection de Mercaror possède la. propriété de transformer la loxodromie en une droite, propriété qui est appréciée dans la navigation au compas parce que les routes maritimes à cap constant sont représentées par des droites : cela explique l'usage quasi-universel de cette projection malgré la déformation qu’elle produit surtout pour les hautes latitudes.

Les recherches faites par les mathématiciens er. vue de trouver la meilleure représentation pour une portion restreinte de la terre ont abouti à la découverte par Gauss de la projection conforme qui porte son nom el qu'il adopta pour la construction de la Carte du Hanovre. Cette pro- -jection est utilisée actuellement par l'Institut Géographique National pour ses travaux géodésiques en Afrique Occidentale Française et en Afrique Equatoriale Française. D'autre part, Lawserr à trouvé une généralisation de la projection de Mercaron, projection conforme basée sur un parallèle de latitude quelconque à la place de l'équateur. Cette projection, tombée dans l'oubli pendant de nombreuses années est utilisée de façon très courante depuis la première guerre mondiale, en France où Finstitut Géographique National a adopté des systèmes Lawperr pour le territoire national, en Afrique du Nord, au Levant et en Indochine, et par divers pays étrangers, en particulier les Etats-Unis d'Amérique. Enfin pour la

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cartographie aérienne, la projeclion conforme de Laweerr a supplanté dans bien des cas la projection de Mercaror.

Parmi ces quatre projections conformes, la projection stéréographique est centrale, c'est-à-dire que le rapport de similitude entre la surface terrestre et la projection plane est égal à l'unité au centre et croît quand on s'éloigne de ce point dans toutes les directions. Par contre, dans les trois. autres projections, le rapport de similitude qui conserve une valeur constante, égale en principe à l'unité, pour tous les points de la courbe de base (équateur pour la projection de Mrercaror, parallèle pour la projection de Lawserr, méridien pour la projection de Gauss) est minimum sur la courbe et croît quand on s’en éloigne dans une direction quelconque.

Nous nous proposons de montrer dans ce travail que, plus généralement, 1l existe une projection conforme et une seule dont le rapport de similitude présente une valeur stationnaire constante pour tous les points d’une courbe qui joue le rôle de courbe de base de la projection ; la surface étant analytique, la condition exigée pour la courbe est seulement qu'elle soit analytique au sens donné par Caucny pour l'intégration des équations aux dérivées partielles. Les projections classiques de Mrncarton, de Gauss, et de Lamsenr sont des cas particuliers de la projection générale ; la courbe de base étant donnée, la condition que le rapport de similitude soit stationnaire sur cette courbe entraîne l’umcité de la solution. Il n'y à donc pas de projection conforme autre que les projections classiques de Mencaror, Gauss et Lamserr, satisfaisant aux conditions imposées précédentes sur leurs courbes de base respectives.

La considération de la projection conforme de déformation stationnaire, construite en prenant comme courbe de base la loxodromie, conduit à des résultats théoriques nouveaux, concernant en particulier le calcul de la correction de GivrY dont l'expression classique est relative à la‘sphère () et la différence de longueur entre les arcs de loxodromie et de géodésique ayant mêmes extrémités.

Gertaines projections générales construites par la méthode développée dans ce mémoire sont intéressantes pour la navigation aérienne moderne, Le problème de la navigation aérienne consiste à passer d’un aérodrome au suivant par le chemin le plus court : le parcours théorique est la géodésique qui joint les deux points. Or, sur la projection de Mercaror, la géodésique est représentée par une courbe qui, dès qu’on s'éloigne de l'équateur, présente une courbure non négligeable. D’autre part, à-un instant quelconque de sa navigation, l'avion peut recevoir sur sa position des renseignements donnés par des radiophares ou d’autres appareils modernes de détection ou de navigation. Ces renseignements se ramènent en général à des positions par azimut et distance. Pour pouvoir les re-

G) Givrx. — Mémoire sur l'emploi des chronomètres à la mer. Supplément (p. 143, Paris 1846. Extrait des Annales Maritimes et Coloniales). Bnavais. — Thèse d’Astronomie sur les méthodes employées dans les levés sous

voiles. (Lyon, 1937.)

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porter brutalement sans risquer de commettre une erreur sur une carte, il faut que la projection employée n’exige aucune correction importante. Ce n’est pas le cas de la projection de Mercaror où il faut faire subir aux azimuts la correction de Givrx avant de les reporter sur la carte et où les variations d'échelle en fonction de la latitude rendent dificile un report très précis de la distance. La navigation aérienne mondiale serait facilitée par l'emploi de cartes dressées dans un système conforme généralisé de déformation stationnaire. [1 conviendra de choisir comme courbe médiane une géodésique: de cette façon, pour une bande de 1.000 kilomètres de part et d’autre de la géodésique, la correction finie entre la géodésique et sa corde en projection et les variations d'échelle pourront être négligées. La route à suivre pour atteindre la destination sera praliquement représentée en projection par une droite et tous les renseignements qui parviendront au navigateur à partr des stations terrestres pourront être reportées brutalement sur la carte : ce qui évite les risques d'erreur. De plus, les appareils de détection, comme le Radar, donnent au navigateur en coordonnées polaires sur un écran lumineux une image de la terre qui correspond exactement à la projection azimutale centrée sur ce point. Il y a donc intérêt à avoir sous les yeux, à bord, une projection qui se rapproche le plus possible de la projection azimutale; or il est évidemment impossible d'adopter la projection azimutale elle-même, car son point origine (position de lavion ou du bateau) est par essence variable. La projection conforme de déformation stationnaire qui a été définie répondra bien à la spécification imposée ci-dessus si on l’utilise au voisinage de la courbe de base. I faudrait en principe fournir au navigateur une projection de déformation stationnaire basée sur la géodésique qu'il doit parcourir, ce qui exigerait la construction d’un très grand nombre de cartes aériennes. Nous verrons qu'on peut en réalité se contenter d’un nombre beaucoup plus restreint de cartes tout en conservant les avantages de ce système de projection.

L'étude présentée permet aussi de donner une définition mathématique à la projection par rabattement de triangles, projection la mieux adaptée aux levés de zones côtières allongées : ce qui est le cas le plus fréquent dans les travaux hydrographiques. Pour cette application, il conviendra d'étudier la projection générale dans le cas où la courbure géodésique de la courbe de base est une fonction quelconque de l'arc.

Nous avons utilisé les résultats de la théorie générale des surfaces exposés par M. Jean Lasorne dans le Traité des Projections des Cartes géographiques ®). Le lecteur pourra se reporter facilement à cet ouvrage dont les notations et les conventions de signe ont été conservées. Toutefois,

Q) Traité des Projections à l'usage des cartographes et des géodésiens par L. Diexcourt, ingénieur hydrographé en chef et J. Lasonpe, lieutenant-colonel — Paris 1930 (4° fascicule}.

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il nous a paru utile de préciser le sens de certaines notalions introduites

par cet auteur, d'en dégager le caractère invariant et d'établir les équa-

tions fondamentales par une voie légèrement différente.

Les projections conformes de déformation stationnaire, basées sur une géodésique, sont une généralisation des projections de Mercaron obliques que M. L. Kaux a étudiées sur la sphère en vue de la construction de cartes aéronautiques pour les premières traversées de l'Atlantique 1).

La méthode exposée dans le présent mémoire s’écarte de la méthode classique, par laquelle, depuis les travaux de Gauss, on aborde généralement l'étude des problèmes relatifs aux projections conformes : la représentation d’une surface sur une autre ou sur un plan se ramène à une correspondance par fonction analytique entre Îles coordonnées paramétriques isométriques des deux surfaces ou de la surface et du plan; ainsi, si X et 7 désignent les paramètres d’un réseau orthogonal isométrique de la première surface, x et y les paramètres d’un réseau orthogonal isométrique de la deuxième surface — qui se réduit, par exemple, dans le cas du plan aux coordonnées cartésiennes ordinaires — toutes les projections conformes

sont définies par la relation fonctionnelle :

x + iy =F(X+ ir)

F étant une fonction analytique.

Le problème étant ainsi résolu globalement au point de vue mathéma- .

tique, il y a lieu dans les cas particuliers d'adapter la solution aux conditions aux limites; le procédé classique d'établissement dés formules de la projection de Gauss que nous reprendrons est une illustration de cette adaptation de la solution générale à un cas particulier.

La méthode que nous développons procède d’un point de vue différent : nous considérons comme fonction essentielle dans la représentation conforme le module de la dérivée de la fonction analytique F :

K — mod (F') — | ess

Nous verrons que la connaissance de cette fonction suffit pour déterminer tous les éléments de la représentation conforme, en particulier les images des courbes fondamentales : méridiens et parallèles.

Une fois établie l'équation aux dérivées partielles à laquelle doit satisfaire la fonction K, pour que la projection soit conforme, les conditions aux limites étant données sur la courbe de base, la représentation conforme est construite au voisinage de cette frontière.

Ce procédé présente l'avantage de fournir une définition commune et plus générale à diverses projections conformes classiques et de mettre en

@) «Nouvelles Cartes Aériennes», Bulletin de PAssociation Technique Maritime el Aéronautique (1928), par M. L. Kanx, ingénieur du génie maritime. Comptes-rendus à l'Académie des Sciences, 186, 1928, p. 496. — 187, 1928, p. 284. — 1838, 1929,

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évidence, grâce à des formules intrinsèques, l'influence des caractères géométriques de la surface et des courbes de base adoptées, sur la structure de diverses projections conformes. :