I. — UNICITÉ DE LA SOLUTION ET CALCUL DES ÉLÉMENTS DE LA PROJECTION

Les propriétés démontrées dans ce chapitre étant générales, nous supposons quelconques la surface (2) et la courbe de base (£) tracée sur cette surface. |

La famille de projections conformes qui fait l'objet de cette étude est caractérisée par les deux propriétés suivantes :

1. Le rapport de similitude est égal à l’unité en tous les points de la courbe de base (£ ).

2. Le gradient de ce rapport est nul pour tous les points de celle même

courbe (£ ).

Supposons tracées sur la surface (Z) deux familles de courbes orthogonales; les points de la surface peuvent alors être définis par deux coordonnées curvilignes : w pour les courbes de la première famille et v pour celles de la deuxième famille.

Dans ces conditions, le carré de l'élément linéaire de la surface ne

contient pas de terme rectangle; avec les notations classiques de la théorie des surfaces il se réduit à : 6

Edu? + Gdv° ou si on pose :

Ep et G—7», il devient :

u?du? + »°dv° expression dans laquelle pe et » sont des fonctions de « et de v. L'élément linéaire pour les courbes de la première famille définies par v — C'° est:

ds— pu, v) du.

Pour les courbes de la deuxième famille qui correspondent à des valeurs constantes du paramètre , on a de même :

dt = » (u, v) dv.

Les fonctions w et » élant positives, le sens positif pour les ares est celui des « croissant pour les courbes de la première famille et celui des v croissant pour les courbes de la deuxième famille.

Considérons un point P de la surface (Z), il passe par ce point deux courbes orthogonales. Traçons les deux géodésiques langentes : leur courbure géodésique est nulle. Les deux courbes orthogonales, dont la cour-

AS DSL

bure géodésique est en général différente de zéro, se placent par rapport aux deux géodésiques considérées, d’un côté ou de l’autre, suivant le signe de la courbure géodésique (fig. 1). Le sens positif adopté sur les normales géodésiques aux courbes des deux familles est dirigé vers la région couverte par les paramètres inférieurs; avec cetle convention de signe on attribue un signe au rayon de courbure géodésique : la courbure est positive si le centre de courbure géodésique se trouve dans la région couverte

18€ famille

ë a) =] [l | 1 PQ Vv croissant — é N °® 929 + p : géodésique (6= o) à:

se = s is (850) s LS s “ DS & s + “ s “ >< > D n

-fig.1-

par les courbes de paramètres inférieurs, elle est négative si le centre de courbure géodésique se trouve de l’autre côté dans la région couverte par les courbes de paramètres supérieurs. Gelte convention qui a l’avan- {age de conserver la symétrie des deux variables wet v présente un inconvénient quand on définit un sens positif de rotation sur la surface (2). Ainsi, nous adopterons dans la suite comme sens positif de rotation, le sens qui amène la tangente positive aux courbes de la première famille sur la tangente positive aux courbes de la deuxième famille. Pour une courbe quelconque (©) passant par P, choisissons un sens positif pour la mesure des arcs et pour la langente orientée Pr; et prenons comme normale orientée Pn la droite obtenue en faisant tourner la tangente Pt