A | AN
Ces deux opérateurs différentiels ont un caractère invarian! (); ils permettent de donner à l'équation (Il) la forme définitive suivante, indépendante de la représentation paramétrique adoptée pour la surface (2) :
| K Ki :
(1) Di EN KA,K — AK ou sous une forme vectorielle :
(I) : Ep K div grad K — grad?K.
Enfin, considérons la transformée de la courbe (@) et appelons G sa courbure géodésique. L'équation différentielle (5 bis) devient appliquée sur la deuxième surface :
l'angle z reste le même parce que la représentation est conforme. En comparant avec la formule (5 bis) et en tenant compte des équations {l), on trouve :
(HT) Ge
CHF cos z — À sin z
Al à
e coszdK , sinzdK K K» dv a Ku du k
Soit n la direction obtenue en faisant tourner la tangente positive à la
5 T courbe (€) de l'angle “+53 comme :
d 1 d se RON CE ; — = — FA = Sin 2 dn v dv u du ?
on obtient la formule condensée :
HER SCA RE
Cette formule contient aussi comme cas particulier les deux équations du système (I). H y a lieu toutefois de faire attention aux conventions de signe faites : pour Let y, nous avons vu que Îa convention de signe est inverse de celle faite pour la courbe (©) quelconque; dans ces conditions, l'application de la formule (Il) exige que lon prenne pour les courbes de la 1° famille :
Ven T C——7y | . dk (F TOY à LR] ) G. Bouricaxn.— Leçons de géométrie vectorielle (2° édition). Champs scalaires
et vectoriels (pp. 277 et 283).
re c'est-à-dire / 1 dK tea Pour les courbes de la deuxième famille les deux conventions de signe se confondent; on prendra donc :
C—A \ He?)
la normale n étant orientée dans le sens opposé à celui des s croissant
dK\ dk Hi 4
ce qui donne :
Ô 1 dK CR
D PDA dE A Rene Fu Les dérivées et Te qui interviennent dans les formules précédentes,
sont prises sur les courbes des deux familles, c’est-à-dire respectivement, v étant constant ou w étant constant. Ces dérivées s'expriment facilement à l’aide des dérivées partielles de K par rapport à u et:
{ dK 1 0K Kat J dK__ 10K dt » à 4. Position du problème. — Unicité de la solution. — Étant
données une courbe (£ }, tracée sur la surface (2), et une projection conforme de {2) sur une deuxième surface, la fonction K (x, v) qui fixe le rapport de similitude entre les deux surfaces en des points homologues doit être égale à l'unité en tous les points de la courbe {£ ).
Supposons cette courbe définie par la relation {u, v) — 0 entre les paramètres; pour tous les points «, v de la surface qui vérifient cette relalion , on doit avoir K{u, v)—1. D'autre part, pour que la déformation linéaire soit stationnaire, il faut qu'en ces mêmes points {u, v) —0, on ait:
dK dK
D'après ce qui précède, la fonction K{u, v) doit vérifier l'équation aux dérivées partielles du 2° ordre (IF).
Géométriquement, par rapport à trois axes de coordonnées u, v, K les conditions précédentes signifient que la surface K (x, v) solution de l'équa-
RIT Ses
Uon aux dérivées partielles (IT), doit passer par la courbe définie par les équations: i
lu, v)—0 K—1
et avoir le long de celte courbe pour plan tangent le plan défini par l'équaüon K —1.
L’équation aux dérivées partielles du second ordre (IT) étant holomorphe, si la fonclion ! (u, v) — 0 est aussi holomorphe, il existe une fonction K des deux variables w et » satisfaisant à l'équation (II) holomorphe au voisinage de la courbe (£); cette fonction se réduit à l’unité et a un gradient nul tout le long de cette courbe. Géométriquement, il existe une surface et une seule passant par une courbe donnée et ayant le long de cette courbe un plan tangent donné : la recherche de cette surface intégrale constitue le problème de Cavcay pour l'équation aux dérivées partielles (I) à laquelle doivent satisfaire toutes les projections conformes. Le problème admet donc, quand les conditions précédentes sont imposées, une solution et cette solution est unique.
Suivant les usages envisagés pour la projection, on peut tolérer une déformation plus ou moins grande de la surface {Z), cela nous conduira à imposer une borne supérieure à la déformation mesurée par la fonction K-- 1. La fonction K étant continue, on sera conduit à n’utiliser la projection que dans une bande dont la courbe (£) est la courbe médiane et il sufira d’avoir le développement en série de la fonction K au voisinage de {£) pour pouvoir utiliser pratiquement la projection.
Ge développement à partir d'un point quelconque (wv,) de la courbe (£) s'éc L :
(6) K= 12 ï () A+ 2 (sé), Au Av + F) A] H...
5. Introduction des variables s et {. — Les arcs s et t des courbes du réseau orthogonal tracé sur la surface { Æ) sont définis en fonction de « et de v par les relations différentielles :
.( ds— pu, v)du
l di= »{u, v)dv.
En un point de la surface, les deux dérivées premières par rapport à°s et { seront représentées par les deux opérateurs = et k Re
Soit M, un point de la courbe (£ ) pris comme origine, ses coordonnées paramétriques sur la surface {Z) sont u,, v,; si M est un point voisin de coordonnées paramétriques w, + Au, v,+ Av, les accroissements As et At sont pris respectivement égaux aux arcs PM et QM des courbes de
J. G. 703395. — M. Arrarr. 3
D Se
paramètres (u, + Au) et (v, + Av) [fig. 4]. Nous allons calculer les pre- miers termes des développements en série As et At ainsi définis en fonction de Au et de Av. | Si m est un point variable de l'arc PM, ses coordonnées paramétriques sont {u, v, + Av) et: GE
1 | et v, + Av) du. On à:
De ù plu, v, + Av) = (5) (a to) (S), 4e
Rem ( Remi
(Vo) (vo+ Av)
- fig.4- k
D'où :
(7) As = p,Au + = (5) Au - () 4" Av
1 fdu 3 LRO 2A (5) 0 ni (S5), Au Je (Ra), Au Av + Se Au +...
et pour At, on trouve de même :
At = [at + Au, v)dv
LR
ER Nr fee et:
(). At=rao+t(2) A+ (P 2) AvAu
ee ss), AVES (ous), Av? Au + - te D). Av Au? +.
Considérons le développement en série de K en fonction de ces accroissements As et At; ce développement est de la forme :
(6) K—14+-(A4,As+ 924, AsAr+ A,AP) +4 (45,5 + 34,, ASA1 + 34, As AP A, A8) +...
En identifiant les développements {6) et {6') après avoir remplacé As et At par leurs valeurs calculées ci-dessus, on pourrait déterminer les coeffi-
cients À.,, À,,, À; A5 Ao1s ÀAjos Ass... en fonction des dérivées par-
elles (PR) COR) PER) PORN LE) (OK) Mae G)> Er ee ee Sr (as)? ÉaA
Au point de vue mathématique, la recherche du développement en série (6) et du développement en série (6') constitue exactement le même problème. Mais l'introduction des ares As et At est intéressante pour les applications géodésiques parce que les longueurs mesurées à la surface de la terre s'introduisent naturellement dans les calculs. Si on considère les courbes ( w,) et (v,) de la figure 4 comme des axes de coordonnées généralisés tracés sur la surface (2), les coordonnées du point M seront les longueurs des arcs PM et QM. I faut remarquer que ces distances doivent êtres mesurées sur les courbes (w, + Au) et (v, + Av) qui passent par le point M et non sur les courbes (u,) et (v,).
ù ] L 6. Calcul des opérateurs -— et == —— Supposons connu le déveu du y dv
loppement en série d’une fonction de point sur la surface (2) en fonction des accroissements As et At définis dans le paragraphe qui précède. Les opérateurs étant appliqués en un point quelconque M de la surface, nous pouvons écrire les relations suivantes entre les dérivées partielles :
1 Ô ù Far) d 1 d(At) udu (As) p du d(At) pu du 1 d 1 (At) d 1d(As) » dv d(At)» dv AAs)» dv
Comme les variables w et v sont des coordonnées paramétriques de la
surface (2) :
D et —
il suffit de dériver les équations (7) et (8) qui donnent les développements en série de As et At:
a (a+ (js +25) (RE anse (9) ae]
#0 ae (SE) Au+ (5) 4e : :
(ae +2 (Pau (Bar = () au = LOGE) A+ > (5) Audo) Are
(ae fa) ae (RE) ae]
Les deux premières équations montrent que :
d(As)
Rs u(u, v) 0 v(u, v)
et les deux dernières équations montrent que les développements en série
d(A d(At : de et commencent par un terme du premier ordre. On a donc
pour les deux opérateurs des développements de la forme :
RCE ù L ù 1 [dv mu d(As) .
19 d 9 ou du | 1 de An a Nous nous limitons au premier ordre, qui suffit pour les applications; en tenant compte compte des formules (3) qui donnent les expressions
des courbures géodésiques, y et d et en appelant y, et à, les valeurs de ces fonctions à l'origine M, du développement en série :
