EF ERUE
à n ; a du A) À an 00 + (0) 1 Ô ù ù
» D At) | 3) 2045 + sas
Pour effectuer sur un développement en série la dérivation représentée 10) 170 À par les symboles ou CL To il ne suflit pas de prendre brutalement les
dérivées partielles par rapport aux coordonnées généralistes As et At: il y à lieu d'ajouter des termes complémentaires dont le premier est fonction de la courbure géodésique de la courbe qui porte l’autre coordonnée.
ee
7. Développement en série des courbures géodésiques l'et À. — Les fonctions y et d sont supposées données ; si on conmfait les coeflicients du développement en série (6°) de K par rapport à As et At, les fonctions V'et À données par les formules (1) peuvent être développées en série par rapport aux mêmes variables.
Si le développement du rapport de similitude K est connu jusqu'au 3° ordre inclusivement, les termes du premier ordre étant nuls, les formules (9) suffisent pour opérer le calcul jusqu’au 2° ordre inclusivement, c'est-à-dire avec toute la précision désirable pour les applications :
Ty [: — 7 (A As +24, As A1 + A AË) |-E A, As A At
+= [A As +94, AsAr A AP] + y As (A, As + A, A1) +... (10) A =: — = (Aus? +24, AsA1-+ 4, A8) | 4,45 A, At
+= [AA 24,,A5At + A, AP] + 3, AA, As + AA) +...
Si on se borne à considérer les courbes passant par l'origine M,, on prendra At nul pour la courbure géodésique let As nul pour la courbure géodésique À. Les formules (10) deviennent les expressions simplifiées suivantes :
[Ty (1H AA) An As LA AS +:
| A3 (145 A8) + An Ar+ TA ARE.
Ces dernières formules seront appliquées pour la construction des tables de la projection.
8. Calcul des paramètres différentiels de Beltrami. — Si on connaît le développement série (6°) de la fonction K, la valeur des paramètres différentiels invariants de Berrrami peut être obtenue par une méthode analogue à celle qui nous a servi dans le paragraphe précédent pour calculer let A. Le paramètre différentiel A,K, exigeant deux dérivalions, ne sera connu qu'au premier ordre. Pour le paramètre différentiel A,K, nous nous limiterons au calcul de sa partie principale car il est du second ordre.
Nous avons :
1 FD /rdK d /udK\] nent e\m)l pv | du \u du dv \» dv 1 [dv 10R «du. 19K7:, 1 à /10K\ , 19 x) PS: . à ue du dù » D] | a du \u du) | » dv \r dv () On peut toujours écrire pour 7 et à les développements suivants :
Y= Yo + Cds + CuAt+ . d = dy + Ds + DA + .
ee qui permet de confondre à cette approximation 7, avec y et à, avec à.
AN Le
en in{roduisant les courbures péodésiques y et 3 données par les formules (3),
on trouve OdK , ydK 1 9 /10K 1 d /1K ax LE + re ce ») expression où n'inlerviennent que les deux opérateurs - = et = 12 étudiés pu & dv
au paragraphe 6.
Dans ces conditions le paramètre différentiel de done ordre de Be- TRAMI à pour valeur :
AT AK = 4,9 + Aço L [A F Ag -k Ao0d + 34:70 ]As AE A + 6570 + 34100 ]At+ ER
On peut, en effet, dans les coeflicients des termes du premier ordre con- -fondre d, et à, y, et y
Le paramètre différentiel du premier ordre de Berrrami est du deuxième ordre infinitésimal; les premiers termes de son développement sont :
(11 bis) AK = (A, A5+ A At) + (A, As + A, A+...
9. Suriace indicatrice des altérations linéaires. — Nous avons en vue l'étude des projections conformes planes; pour tomber dans ce cas par-
ticulier, il suflit de prendre dans la formule (IT) la courbure totale identiquement nulle.
La surface indicatrice des altérations linéaires est définie par la fonction Z (u, v) telle que :
Pour les applications, qui font l'objet des chapitres ci-après, nous calculons les premiers ermes du développement en série de la fonction K par rapport aux accroissements As et At qui ont été définis au paragraphe 5. Nous considérons maintenant un point quelconque de la courbe (£) et les deux courbes (w,) et (v,), qui passent par ce point. Par.un point M voisin, passent deux courbes (a) et (v), As et At sont les distances comptées sur les courbes (w) et (v) du point M aux deux courbes orthogonales (u,) et (vs).
Pour tenir compte du fait que l'origine PA être prise quelconque sur la courbe (£ ), nous poserons :
A et À, =58 A
À = © A5 =0 À, — ® Aie,
) Cf note de ja page précédente.
ee, ER =
La représentation étudiée ayant une déformation stationnaire sur la courbe (£ ), les coellicients ® et 2 sont identiquement nuls et le développement en série s'écrit :
(12) K—1+{(RAS+95AsAI-+ GAP) + à (OA + 30 AS Ar + 30ASAP TE XAB) +.
10. Calcul de R, 8, G. — Sur la courbe (£), l'équation aux dérivées partielles (IE) doit être vérifiée; le paramètre différentiel du premier ordre de Becrrani qui est un infiniment petit du deuxième ordre est nul sur la courbe; par contre le paramètre différentiel du second ordre de Beurrawi
CN À : : K2 a un terme fini égal à & +G. D'autre part, la valeur de 2e sur (£) se
réduit à on Il faut donc que la condition :
soit vérifiée sur la courbe (£ ).
Si nous réservons le symbole 9 aux différentielles prises sur la courbe (£), courbe de la base de la projection, le fait que ® et ? sont identiquement nuls entraine :
IP — Rds + Sd — 0, 02 — 805 + Ed — 0.
Il est facile, à partir des trois équations précédentes (13) et (14), de tirer les valeurs de &, S et & en fonction des différentielles ds et dt ou de l'azimut z, de la tangente à la courbe (£):
1 dl sin? z de or el pe’ } à 1 ds. dt sin Z COS Z (15) so. er CYR ( ee’ )e
ne 1 ds? cos? ) ur Ge ds + 0e e £
As et A élant les accroissements définis au paragraphe 5, on a au troisième ordre près :
(16) K—1+ É (sin? z, As? — 9 sin , cos z, As At + cos? 24 AP).
Pour que les deux équations (14) soient compatibles, il faut que le déterminant R& — S? soit nul, cela indique que tous les points de la surface indicatrice situés sur (£) sont des points paraboliques, comme cela étail à prévoir étant données les conditions imposées à la solution.
SCO CES
11. Interprétation géométrique. — La formule (16) peut s’écrire : (sin Ze AS — COS Ze At?
16° K — 1e 1 2(pp')e
Soit M un point de la surface (Z) voisin de la courbe (£ }; abaissons de ce point la géodésique perpendiculaire à la courbe (£ ); soit M, le point d'intersection. On peut toujours supposer le développement (16') fait à partir du point M,, situé sur la courbe (£) et on a :
PM— A5, QM— Ar.
Soit U, le vecteur unitaire porté par la tangente à la courbe {£) au
=fig.5
point M;. Pour l'interprétation géométrique de la formule {16'), on peut confondre la surface avec son plan tangent en M, et admettre que les ares PM — As et QM. — A1 sont des segments de droite.
L'expression sin z, As — cos z, At est égale au produit vectoriel
M,M X U, dont la valeur est MM, puisque le vecteur U, normal a pour longueur l'unité.
Par suite :
Le premier terme de la déformation linéaire au voisinage de (£) est indépendant de la forme de la courbe de base de la projection; il ne dépend que de la courbure totale de (2) et croit proportionnellement au carré de la distance à la courbe de base.
ee
Lee
Si la courbure totale de la surface (2) est positive (c’est le cas lorsque la surface est convexe), le rapport de similitude K est minimum sur la
courbe {£); si cetie courbure totale est négative (surface à double cour- bure), le rapport de similitude K est maximum sur la courbe (£ ).
12. Calcul de ©, Ÿ, ®, X. — Nous allons écrire que le développement en série (12) est solution de l'équation (IT) qui dans le cas particulier de la représentation plane se réduit à :
ÆKAK AK PP * L'application des formules (11) et.(11 bis) donne : AREA ire (O+w+ Rd, +35») As (VER Gye + 3804 ) At + Ps AK — (RAs + SAN)? (SA5 + GA) +...
1 : Fra D'autre part, la courbure totale —; peut se développer en série par
rapport aux accroissements Às et At:
(ls (a+ (has …
L'identification des parties finies a fourni l'équation (13) du paragraphe précédent ; l'identification des termes du premier ordre conduit aux deux équations :
ï : 10 O + + Rd +387, — ue (a) 18) RON ME) LLaSS É : ( - ) (b) TA RE AU PAR LES pe) le :
Comme K est identique à l'unité sur la courbe (£), la valeur en deux points M, et M; quelconques voisins de la courbe de base doit être la même. Soit À, A1, Ag Ag5s A1» Aj9s Aos: ++ ÎeS coefficients du développement de la forme (6) fait à partir de M, comme origine, A0 An: A3 A0 Ans Mio Ao5--- les coeflicients analogues pour un deuxième point M, pris comme origine. Les formules (9) permeltent le calcul des , opérateurs successifs suivants appliqués au développement en série de K.
J. G. 703399. — M. Aïran. Â
= 926 — 1K 1 ss i “ps
+= [A As? + 9(4,, + À, ,9,) AsAr + (A, + 24,4)AË] + . 4 As + AA
ADS = [(A, a 2À,670) te (A 12 + A7) AsAt + À; AP] He (19) i d Ç dK: (
