PN X NS = PO X PQ

Donc enfin,

(3) (PN + NSi) (PN' + N' Ri) = (PA - PQO (PA' - PQi)

relation de même forme que (1) et (2).

La relation (3) est évidemment la plus générale de son espèce ; elle comprend comme cas particuliers les deux premières et toutes celles du même genre. De plus, la branche circulaire et ses conjuguées hyperboliques forment un tout bien coordonné puisqu'elles se distinguent nettement les unes des autres par le mode de leurs points. Il est donc naturel de ne voir dans l'ensemble de ces diverses branches qu'un seul et même lieu: c'est ce que je ferai désormais en conservant à ce lieu le nom de sa branche réelle.

Ainsi envisagée, la circonférence est une courbe telle que ses ordonnées sont deux à deux moyennes symétriques entre les distances de leur pied à deux points fixes situés sur l'axe conjugué de leur direction. C'est par cette propriété que la circonférence, prise dans son acception la plus générale, se distingue des autres courbes.

En désignant par y la valeur d'une ordonnée du lieu, par x la demisomme des distances du pied de cette ordonnée aux sommets, et par rla demi-diffôrerice de ces mêmes distances ou le rayon, on a pour équation de la courbe

— r/ = x2 — r2 ou y2^a:2 = r2

Lorsque le rayon r décroît jusqu'à zéro, la circonférence devient infiniment petite; elle se compose alors d*un centre réel et de deux droites imaginaires issues de ce point et formées chacune d'une infinité de branches ayant leurs composantes rectangulaires.

L'équation d'une circonférence infiniment petite est

Les deux droites imaginaires dont cette ligne se compose sont les asymptotes de toute circonférence réelle concentrique.

Sil'onconçoitque lepoint A restant fixe [fig, 41), le rayon OA devienne infini, la circonférence se réduit à une droite réelle perpendiculaire en A à AA', et il en est de même non-seulement de la branche hyperbolique DAD', mais encore de toutes les autres branches conjuguées. D'où il suit qu'une droite réelle comporte à la fois des points réels et des points imaginaires, et que chacun de ses points réels eàt le pied d'un axe qui est conjugué d'une infinité de cordes imaginaires ayant pour milieu ce même point.

Le rayon, au lieu de rester réel, peut devenir imaginaire ou mixte, sans que les propriétés de la circonférence ni son équation s'en trouvent modifiées. Je me bornerai, pour le faire voir, à considérer dans chaque cas la branche circulaire, les conjuguées s eu dé luisant ginéra- Icment d'une manière assez simple.

Soit d'abord OAt [fig, 42) une droite imaginaire. Si Ton fait tourner cette droite autour du point réel 0, son extrémité (A,A') décrit une branche circulaire dont les points ont leurs composantes symétriques par rapport au centre 0. Si Ton considère deux points de cette courbe, symétriques par rapport à AA', tels que (M, M') et (NjN*), les ordonnées PM* et PN* de ces points étant égales et de sens contraires, leur produit est

PMi X PNt = - (PMe;3

Fig. 42

Les distances de leur pied commun (P, P') aux points (A,À') et (A',A) senties droites de sens contraires (P,P') (A, A') = PAi et (P, P') (A', A) = PA't. La demi-somme de ces distances étant OPi et leur demi-différence OAt, leur produit est

PAt X PA'i = (OPiy - (0Ai)2.

Il rest« à prouver que

— (PMi)2 = (0Pi7 — (OA17 PM' = ÔÂ^ — OP^

ou que

Or, cette dernière égalité résulte évidemment des propriétés absolues de la circonférence. Donc enfin

PMî X PN/ = PAi X PA'i.

Si Ton désigne en outre PMî par y, OPî par x et la constante OA* par ri réquation de la branche circulaire dont il s'agit est

ou

Considérons, en second lieu la droite mixte OA + ABi [fig, 43) et supposons que cette droite tourne autour du point 0, le point imaginaire (B,B') décrit une |b circonférence de rayon mixte, formée de deux branches circulaires concentriques mais d'inégale longueur. Les deux points (M,M'), (NjN') de cette courbe répondant .à deux positions du rayon symétriques par rapport à BD, ont aussi BD pour axe de symétrie. Les ordonnées de ces points sont donc égales et de sens contraires. Et,

fiff.^

comme enjoignant par la droite RSQ les milieux des droites M'M, N'N et tirant les parallèles QL et RT à BD, on a SQ + LMt pour l'ordonnée du point (M,M') et SR + TNi pour celle du point (N, N'), on en conclut d'abord

(SQ + LMi) (SR + TNi) = — (SQ + LUÎ)\

Il faut maintenant aller du pied commun {P,P*) des deux ordonnées symétriques aux points (B,B*) et (D,D'). A cet effet, la droite négative PS* conduit d'abord de (P,P*) en S, et Ton passe ensuite du point S à chacun des points (BjBO et <.D,D'), ce qui donne les droites PS» + SA + AB« et PSi + se + CD*. La demi-somme de ces droites étant SO + PS« ou SO + LQi et leur demi-différence le rayon OA + ABi ou OQ + QMt. on a:

(PSi + SA + ABi) (l^Si + se + CD/) = (SO + LQi)' - (OQ -f- QM/)'

Il suffit par conséquent de démontrer l'égalité

— iSQ + LMO^ =^ (SO -t- LQi)' (OQ + QM/)^

ou, en développant et ne considérant que des droites absolues

SO X LQ + SQ X LM = OQ X QM

Or, la similitude des triangles OQS et QLM donne

SO SQ OQ LQ^LM^QM

ou

SOxLQ SQxLM OQxQM

LQ' LM' QM'

et de la relation bien connue des dénominateurs résulte celle qu'il fallait établir entre les numérateurs.

Concluons de là que :

— (SQ + LMt7 = (PSi + SA + ABi) (PSi + SG + CDt)

en sorte qu'on retrouve bien ici la propriété fondamentale de la circonférence. Posant de plus SQ + LMi = y, SO + LQi = a:, OQ + QMi = a + bi, on a d'après ce qui précède

ou

^y2 = x2^^a + biy

Cest encore la même forme d'équation que pour les autres cas.

Enfin, il n'est pas jusqu'au centre de la circonférence qui ne puisse devenir imaginaire.

Soit, effectivement, C (0,0*)

== ai une droite imaginaire. Si

■Ia d^s points ;0 et 0' comme cen-

tres avec les droites égales OA,

O'A', on décrit dans le même

.Fi^.M ggQg jes (}gux circonférences

et 0', celles-ci, bien que séparées Tune de l'autre n'en sont pas moins les composantes d'une circonférence réelle. Le rayon de cette circonférencequi a pour composantes OA et A' est de même réel, et l'on doit en dire autant des ordonnées symétriques (P,P') (M,M'),* (P,P') (N,N'), ainsi que des distances de leur pied commun (P^P*) aux extrémités (A, A') et (B,B') du diamètre. Aussi ne désignerai-je ces diverses droites 'que par leur première composante.

Cela posé, la circonférence réelle fournit évidemment les relations

et