PM X PN = PA X PA

— pm' = PO' — oa'

Ces mêmes relations subsistent donc aussi pour ia circonférence (OjC).

Il reste cependant à indiquer que cette dernière courbe a son centre imaginaire.

A cet efiTet, on prend pour origine non plus le centre (0, 0') parce qu'il est imaginaire mais le point réel C; et c'est principalement dans réquation du lieu qu'on tient compte de cette particularité. On désigne alors par x la distance du point C au point (P,P'), et comme on a

x= ai + 0P on en tire

OP = X — ai- Remplaçant ensuite OP ou PO par cette valeur dans l'une des relations précédentes et représentant PM par y, OA par r, il vient par l'équation de la branche circulaire

ou

c'est donc toujours la forme connue.

Si le rayon r se réduit à un point, la même circonférence devient infiniment petite, et elle a pour équation

Enfin, le centre restant imaginaire, le rayon peut devenir imaginaire ou mixte âans que la courbe obtenue diffère de la circonférence réelle ni par ses propriétés ni par la forme générale de son équation.

En procédant comme je viens de le faire, on reconnaît facilement que, par un point quelconque, on peut toujours faire passer une circonférence ayant pour centre un autre point, et que le rayon de celle-ci ne change pas quel que soit celui des deux points qu'on prenne pour centre. Or , le rayon d'une circonférence réelle est la distance du centre à chaque point de la courbe ; mais lorsqu'on associe à la branche réelle une infinité de points imaginaires, le rayon reste le même, l'analogie

conduit donc à l'appeler encore la distance du centre à chacun de ces derniers points. Par suite, la distance de deux points quelconques peut se définir, le rayon d'une circonférenca ayant pour centre le premier de c î3 points et passant par le second. Telle est la définition générale que je crois devoir adopter.

•jj Soient, par exemple, M et M'. N et N' (fig. 45), deux couples de points symétriques par rapport à OP. Pour trouver la distance du point au point imaginaire (M,M'), je cherche le rayon de la circonférence ayant pour centre et passant par (M,M'). A cet effet, j'élève OQ = PM perpendulaire à OP, puis je décris du point Q comme centre avec l'ouverture de compas QM un arc de cercle qui coupe OP en A, et OA est la distance cherchée. Cette distance est réelle :

Iiy.4S

son expression est OA = v/Th3" + (MPt)*.

Veut-on déterminer aussi la distance du point ^, au point imaginaire (N,N'). Comme ona PN> OP, la construction précédente est impossible : c'est qu'alors la distance cherchée n'est plus réelle. Pour la trouver, je décris du point P comme centre avec l'ouverture de compas PN un arc de cercle qui coupe OQ aux points B et B' ; comme OBi est le rayon de la circonférence imaginaire ayant pour centre et passant par (N,N')' j'en conclus que cette droite est la distance demandée : son expression algébrique est OB* = v/ ôp^ -l (PNO^. ^ ^^ vérité, la distance de deux points ne se construit pas toujours aussi simplement ; mais l'essentiel est qu'elle ne cesse jamais d'avoir une significative géométrique précise, puisque son expression algébrique s'obtient dans tous

les cas avec une grande facilité.

j^ En même temps que la notion de

distance, il importe de généraliser

celle de projection. Or, la projection

A'B' d'une droite AB sur un axe ay

J' {fig. 46) est aussi la projection sur

cet axe de la distance des points A

et B. En d'autres termes, pour obtenir la projection de la distance de deux points réels sur un axe également réel, il suffit d'y projeter les deux points et de déterminer la distance de leurs projections. La même règle s'applique sans modification aucune à la projection sur un axe réel de la distance de deux points quelconques.

Ainsi, OA-|-ABt étant la distance du point au point (B,B') [fiç- 47), si l'on mène AQ, BP, B'P perpendiculaires à l'axe OQ, on a OQ + QPi pour la projection de cette distance sur Taxe. De même les projections sur OP {fi(j. 45) des distances du point à chacun des points imaginaires (M,M'), (N, N') sont Tune et l'autre égales à la droite réelle OP. On verra plus loin que l'expression algébrique de ces diverses projections est de même forme que celle des projections de droites ordinaires.

L'ellipse, on le devine, n'est pas moins susceptible de généralisation que la circonférence, soit qu'on la regarde comme la projection de cette dernière sur un plan, soit qu'on la définisse d'après une propriété commune à ses cordes parallèles, et l'on peut en dire autant de la parabole qui se rattache intimement^ comme on sait, à l'ellipse.

J'ai dans ce qui précède subordonné l'hyperbole équilatère à la circonférence en regardant les points de celle-ci comme réels, et ceux de l'autre comme imaginaires. Mais l'inverse est également possible.

Soit , en efl'et , le centre dune hyperbole équilatère {fi g. 48), MP une ordonnée de la courbe PA et PA' les distances de son pied aux deux sommets A et A'. On a d'après la définition du lieu