CK X CL

= cr'

on en conclut que CD = CR, ou plus généralement que toutes les circonférences de la suite C passent par les points (M, M') et (M', M)

Ainsi l'emploi des droites de modes contraires, loin de compliquer les démonstrations, les rend plus directes, plus intuitives, et permet en même temps de les appliquer à des figures plus ou moins rebelles aux procédés ordinaires. Peut-être s'en convaincra-t-on mieux encore par

l'exemple suivant.

fst r^

"Ia ^^.^^m

Soit Oune circonférence de rayon imaginaire 0A« {fig. 51) et M un point réel situé dans son plan.

De toutes les droites réelles issues du point M, il n'en est qu'une seule capable de couper la branche circulaire : c'est la droite MO qui rencontre cette branche aux points (A,A') et (A',A). Le produit des sécantes correspondantes est:

(MO + OAt) (MO + OA'i) = MO' + Oa'

Si Ton mène le rayon OB perpendiculaire à OA, ce produit peut évidemment s'exprimer par MB *

Pour trouver les points d'intersection de la circonférence avec la droite quelconque MN, on observe que la conjuguée qui rencontre cette droite doit avoir pour diamètre la droite réelle OP perpendiculaire à MN : Cette conjuguée n'est donc autre que la branche hyperbolique ayant son diamètre CC parallèle à MN. Si l'on décrit de P comme centre avec PC comme rayon un arc de cercle coupant MN aux points D et D', les points d'intersection cherchés sont (D,D') et (D',D). Or on a

(MP + PD t) (MP + PD'i) = MP' + PD'

Mais d'après les propriétés absolues de l'hyperbole CC, on sait que

Donc