Chapitre IL

APPLICATIONS ALGEBRIQUES.

SOMMAIRE. — Extension du système do coordonnées de Descartes, aux points imaginaires. — Interprétation géométrique des équations à deux ou trois variables.— Construction géométrique de lieux plans du V' ou du 2* degrés — Changements d'axes. — Remarques sur les valeurs à donner aux variables indépendantes. — Application k Péquation de la parabole. — Expression analytique de la distance de deux points. — Aires planes de modes quelconques et en particulier des rectangles à dimensions réelles, imaginaires ou mixtes. — Angles réels, imaginaires ou mixtes. ^ Généralisation des formules de la trigonométrie plane. — Logarithmes des nombres et leurs périodes. — Démonstration géométrique des formules d'Euler. — Résolution graphique de Téquation binôme. — Aire comprise entre un arc de courbe, ses ordonnées extrêmes et Taxe des abscisses. — Application à Pintégrale logarithmique. — Discussion de Leibnitz et de Bernouilli à propos des logarithmes des nombres négatifs. — Preuves apportées par Euler. — La question demeure indécise pour d'Alembert. — Démonstrations de Cauchy et de M. Marie comparées à celle qui résulte de remploi des lignes de modes quelconques.

On sait que l'idée de déterminer, au moyen de deux nombres, la position d'un point sur un plan est due à Descartes.

Soient xx\ y^, deux axes quelconques se coupant à Torigine et M un point situé dans l'angle yoa;. Si l'on tire MP parallèle à yy* jusqu'à sa rencontre en P avec xaf, les droites MP, OP, nommées la première, ordonnée, la seconde abscisse, suffisent pour déterminer le point M, quelle que soit la position de ce point dans l'angle yox ; mais dès qu'on veut

sortir de cet angle , il est nécessaire, pour éviter toute ambiguïté, de substituer aux coordonnées absolues MP, OP, des droites susceptibles d'un sens, et de regarder comme positive une abscisse de sens ox ou une ordonnée de sens oy, et comme négative une abscisse de sens oaf, ou une ordonnée de sens oy'. En désignant par a les longueurs OP = OP', et par b les longueurs MP = MP' = WV = WP,

on trouve ainsi pour coordonnées du point M et des points qui lui sont

symétriques relativement aux axes où à l'origine.

Il est vrai qu'on ne considère de la sorte que des points réels.

Le système de coordonnées rectilignes resterait donc fort incomplet s'il ne se prêtait pas à la représentation des points imaginaires. Mais pour combler une pareille lacune , il suflSt d'introduire dans ce système les points et droites de modes quelconques, tels que je les ai définis. Qu'on transforme, en effet, la somme de deux droites réelles ou imaginaires en une brisée, et l'extrémité de celle-ci aura pour abscisse la première partie de la somme et pour ordonnée la seconde partie. En d'autres termes, si l'on regarde l'abscisse et l'ordonnée d'un point comme ayant toujours deux composantes, et si l'on a soin d'associer constamment entre elles la première composante de l'abscisse avec la première composante de l'ordonnée, on peut déterminer d'une manière pré-

cise la position de tout point réel ou imaginaire, situé dans le plan des axes. C'est ainsi qu'outre les points réels M, M', M", M'" dont les composantes se trouvent superposées, la figure nous ofTre les points imaginaires:

(M,Nr) xr^ + a y = + ô»

(M'",M) a: = + rt y^ — bi

(M',M") a: = — rt y = + 6/

(M",M') x^^-^-a y = — hi

(M',M) x:=z — ai y = + b

[WMl x = -^ai y = —b

(M,M^) x^+ai y = + bi

(M^M) x = — ai y=z — bi

(MMd') x = -\-ai y = — bi

(M',M"0 x = — ai y = + bi

S'agit-il encore des points îmagi-

»y.....-.Q' naires conjugués (N,N') et (N',N)

/ \k {fig* 58), il est aussi facile de leur

/ q/....'.>|j assigner des coordonnées qui les

/ distinguent des autres points du

/ •' — 1 plan. Seulement ces coordonnées

sont mixtes. En effet, si du point r- A» (N,N') on mène (N,N') (R,R') pu-

rallèle à yy', cette parallèle estTor- ^ donnée du point considéré, et l'abs-

cisse correspondante est la droite mixte (R,R'). De même (N',N) a pour ordonnée (N',N)(R',R) et pour abscisse 0(R',R). Veut-on maintenant évaluer ces nouvelles coordonnées : il suffit, pour cela, d*observer que le point milieu M des composantes N et N' est réel, ainsi que le pied P do la parallèle monéo de ce point à yy' ; eu sorte que OP = a est la partie réelle de chaque abscisse et PM = 6 la partie réelle de chaque ordonnée, comme, de plus, P est le milieu de RR, PR' = (3» et PR'i riz — pj sont les projections sur xx' des droites M N î et M N i.

Enfin, MQt =— jSI et MQ't=/3t étant les projections des mêmes droites sur PM, on a pour déterminer les points proposés:

(N,K') x = a+ ai y = h^pC (N'N,) x = a— ai y = b + pi:

et l'on voit assez par là comment se trouveraient les coordonnées de tout autre point du plan.

Si Ton désigne par x une abscisse variable, et par y l'ordonnée correspondante, on sait que toute ligne plane géométriquement définie s'exprime par une équation algébrique ou transcendante f [x,y ) = o, et que, réciproquement, toute équation de ce genre représente une ligne ou un ensemble de lignes dont les points se succèdent suivant une loi déterminée. Mais, lorsqu'on se borne à l'emploi de coordonnées réelles, il n'y a guère que le lieu de l'équation du premier degré à deux variables, c'est-à-dire la ligne droite, qui s'étende indéfiniment dans le plan des axes, tandis que le lieu d'une équation de degré supérieur n'occupe généralement que certaines régions de ce plan, ou même n'existe pas du tout, ces anomalies disparaissent, et la ligne droite elle-même s'enrichit de nouveaux points, dès qu'on a recours aux coordonnées de modes quelconques. La géométrie pure l'a déjà fait pressentir; quelques exemples suflBiront pour le prouver.

Soit d'abord :

y=^mx-\-n

Une équation du premier degré à deux variables. Le lieu de cette équation , relativement aux axes ^^\ yy\ que, pour plus de simplicité', je supposerai rectangulaires, est une droite réelle ÂB, tant qu'on ne donne à x que des valeurs réelles. Mais si l'on suppose [fig, 59)

x= 0P-f.PQt = a + 6»-

la valeur correspondante de y étant

m;Z.îs'

/ Q' P tt ^

y= m (a+ôt) + »

il reste à construire le point déterminé par ces coordonnées mixtes, et les points analogues. Or, en menant les ordonnées PR, (QQ') (M,M') jusqu'à leur rencontre avec AB, on voit d'abord que

PR = ma -j- ^«

De plus, le point (M,M') a ses composantes équidistantes de R ; enfin, si l'on coupe PR par la parallèle (M,M') (S,S') à xx', on a évidemment:

RS = RS' = w6 d'où

RS « = w 6 ♦ et par suite

yz=w(a + 6i)+n = PR + RSt.

Il ne reste plus qu'à associer les composantes de cette ordonnée avec celles de même ordre de l'abscisse x = OP +PQt pour construire le point cherché; et Ton trouve de la sorte le point imaginaire (M,M') situé sur AB. On obtient de même le point (M',M) en donnant à a? la valeur a — hi. Il suffit d'ailleurs de faire varier P Q t ou P Q' » pour trouver une infinité de points imaginaires analogues aux précédents. Enfin, si la droite P varie à son tour, chaque point réel de AB devient le centre d'une infinité de cordes imaginaires résultat qui s'accorde avec ce qu'on a vu dans le chapitre précédent. Soit en second lieu à interpréter

Si l'on met cette équation sous la forme

— yî^ = (a; — r) (a; -|- r)

on voit que la question revient à trouver, quelle que soit x, deux ordonnées symétriques entre les droites « -|- r, et a? — r. Le lieu cherché est

donc une circonférence dont nous allons successivement déterminer la branche réelle et les conjuguées.

Soient prises sur xx' les longueurs OA = OA' = r. Pour toute valeur a: = L moindre que A ou plus grande que l'abscisse négative OA', les droites a; 4- ^ > ^ — ^> sont réelles et de sens contraires; les ordonnées correspondantes LCetLC'sont donc réelles, et les points G, C, font partie de la circonférence réelle décrite sur AA' comme diamètre.

Pour toute valeur réelle x = OM plus grande que OA ou moindre que OA', les droites x-\-r,x — r, sont réelles et de même sens ; les ordonnées symétriques correspondantes sont donc imaginaires : ce sont les droites MDt etMD't ; les points imaginaires (D,D') et (D',D) qu'elles déterminent appartiennent à la branche hyperbolique AA^ conjuguée de la circonférence réelle, et Ton sait qu'on peut aisément obtenir ces deux points sans construire la branche elle-même.

Supposons maintenant

0? = OP — PQî = — a -f- bi :

les droites x -j- r, a? — r, sont l'une et l'autre mixtes, et il en est de même des ordonnées correspondantes. Pour construire ces dernières supposons d'à-bord les points cherchés connus, et soit (E,E') un de ces points. Comme il appartient à la branche hyperbolique B, dont le diamètre ON est réel ; si l'on mène les perpendiculaires NP, EQà xx' et la parallèle

(E,^) (S,S') à ce même axe, puis, qu'on regarde les droites de la figure

comme absolues, on a: