SOUSTRACTION ALGEBRIQUE

La Soustraction algébrique a pour but connaissant une somme algébrique et l'une de ses parties de trouver l'autre.

Cette définition s'applique aux grandeurs comme aux nombres.

Toutefois, lorsqu'il s'agit de grandeurs, on peut, pour plus de précision, distinguer deux cas, suivant que la partie donnée a même extrémité ou même origine que la somme.

Dans le premier cas, le résultat s'étend de l'origine de la somme à celle de la partie donnée, il prend alors le nom de reste. Pour l'obtenir, il suffit d'additionner à la somme une partie égale et de signe contraire à la partie donnée : d'où il suit que, pour soustraire un nombre d'un autre, il suffit d'additionner à cet autre un nombre égal et de signe contraire au premier.

Dans le second cas, le résultat porte, ainsi qu'on va le voir, un autre nom.

Afin de comparer entre eux deux accroissements de même espèce et de sens quelconque, on peut se proposer de trouver la partie qu'il faut additionner à l'un pour obtenir une somme égale à l'autre : cette partie s'appelle rapport par différence , ou simplement différence de la seconde grandeur à la première.

Pour trouver la différence d'une droite à une autre, il faut les aligner dans leurs sens respectifs, de telle sorte qu'elles aient même origine, et la droite qui s'étend de l'extrémité de la seconde à celle de la première est la différence cherchée.

j j ^ Il est clair que deux accroissements

Fi0^ li donnent lieu à deux différences de même

valeur absolue, mais de sens contraires. Ainsi la différence de la droite positive AB à la droite négative AC est la droite positive CB [fig. 18), tandis que la différence de la droite AC à la droite AB est la droite négative BC.

Afin de coordonner entre elles les grandeurs de même espèce, on est convenu de dire qu'une d'elles est plus grande qu'une autre quand sa différence à cette autre est positive.

Il résulte de cette convention que :

1* Toute grandeur négative est moindre qu'une grandeur positive, même infiniment petite ;

2** De deux grandeurs positives la plus grande est celle qui surpasse l'autre en valeur absolue, tandis que le contraire a lieu pour deux grandeurs négatives.

L'égalité de deux différences s'appelle proportion arithmétique.

Une progression arithmétique est une suite de grandeurs telles que la différence de chacune d'elles à la précédente est constante : cette diff^ rence se nomme raison. Suivant que la raison est positive ou négative, la progression est croissante ou décroissante.

La différence d*un nombre à un autre est le nombre qu'il faut additionner au second pour obtenir une somme égale au premier.

Un nombre est dit plus grand qu'un autre quand sa différence à cet autre est positive. D'où il suit que :

1* Tout nombre négatif est moindre qu'un nombre positif et mâme que zéro;

2* De deux nombres positifs le plus grand est celui qui surpasse l'autre en valeur absolue, tandis que le contraire a lieu pour deux nombres négatifs.

Les nombres donnent lieu, comme les grandeurs, soit à des proportions soit à des progressions arithmétiques. C'est ainsi que la suite naturelle des nombres entiers forme une progression arithmétique croissante qui s'étend de l'infini négatif à l'infini positif.