ADDITION ALGÉBRIQUE

Il est évidemment permis de concevoir une droite AB comme engendrée par le mouvement d'un point allant soit de Â en B, soit de B en A. De là, par conséquent, la possibilité de tenir compte à la fois de la longueur et du mode de formation de cette droite. Afin de simplifier le langage, j'appelle respectivement origine et extrémité de la droite les positions initiale et finale du point générateur, et sens de la droite le sens même du mouvement. Puis je regarde les deux sens AB et BA comme contraires entre eux .

j g; g J Cela posé, si le point générateur après

/îy./^ s'être avancé en ligne droite de A en B,

continue de se mouvoir dans la même direction suivant BC ou rétrograde suivant BC, il est clair que les droites AB et BC sont de même sens, tandis que les droites AB et BC sont de sens contraires. De plus, dans un cas comme dans l'autre, la suite des deux droites peut se remplacer par une droite unique AC ou AC ayant pour origine celle de la première et pour extrémité celle de la seconde. Cette droite unique a reçu le nom de Somme algébrique des deux autres, et celles-ci en sont les parties positives ou négatives suivant qu'elles sont de sens AB ou de sens BA. Mais OC et OC sont à un autre point de vue les résultats l'une de l'addition, l'autre de la soustraction de deux droites absolues : de là, la possibilité de regarder ces deux dernières opérations comme des cas particuliers d'une opération plus générale ayant pour but de remplacer deux parties de même sens ou de sens contraires par leur somme

algébrique. Cette opération nouvelle a reçu le nom à* Addition algébrique. Il s'agit maintenant d'assigner une expression numérique convenable aux diverses parties d'une somme algébrique, ainsi qu'à la somme ellemême. A cet effet, le moyen qui s'offre d'abord à l'esprit est d'affecter d'un signe les valeurs absolues des parties positives, d'un autre signe celle des parties négatives; de regarder ces deux signes comme contraires entre eux et d'appeler les symboles ainsi obtenus nombres positifs ou négatifs du nom des parties qu'ils auront à représenter. Inutile d'ajouter que les notations les plus simples devront être préférées. Quels que soient d'ailleurs les symboles adoptés, la valeur numérique d une somme algébrique sera, par définition, la somme algébrique des valeurs de ses parties.

Cela dit, soient a et 6 les longueurs des droites AB et BC ou BC, celles de leur somme ACou AC; on pourrait exprimer le sens de chacune de ces droites en affectant d'un accent par exemple les longueurs des parties positives, et de deux accents celles des parties négatives. De cette façon les égalités.

AB-f BC = AC, AB + BC= AC

se traduiraient numériquement par

Mais comme l'addition d'une partie positive ou négative revient à l'addition ou à la soustraction de la droite absolue correspondante, on a jugé plus simple de prendre pour nombre positif un nombre absolu précédé ou non du signe -|-, et pour nombre négatif un nombre absolu précédé du signe — . De plus, au lieu d'écrire les égalités précédentes de cette façon

— 4(5 — on a pris l'habitude de les écrire

a + ft = <, a — *==5,

Enfin , en représentant un nombre positif ou négatif comme un nombre absolu, par une lettre, on a pu résumer les deux égalités précédentes dans celle-ci

où les valeurs de b sont, suivant les cas, positives ou négatives.

Il est maintenant facile d'étendre les mêmes considérations à une suite quelconque de droites absolues. Si donc on se reporte à la question qui nous a servi de point de départ, c'est-à-dire aux figures 12, 13, 14, 15, on en conclura que les additions ou soustractions successives, efiectuées sur la droite AB, se ramenant toutes à l'addition de trois parties positives ou négatives, sont par là même susceptibles de se résumer dans une règle simple et de se traduire par une relation de la forme

En général une suite de nombre positifs ou négatif s'appelle po/yn(Jm^?; ces nombres en sont les termes, et leur somme algébrique est la valeur du polynôme.

Une somme algébrique de droites ne change évidemment pas avec l'ordre de ses parties ; on peut donc y remplacer deux ou plusieurs parties, telles que BC et CD Ifig, 12, 13, 14, 15,) par leur somme partielle BD, ce qui montre en particulier que:

V La somme de deux parties de même sens a pour longueur la somme des leurs et même sens qu'elles ;

2® La somme de deux parties de sens contraires a pour longueur la différence des leurs et même sens que la plus longue.

Comme on a désigné plus haut par 6 et c les valeurs positives ou néga-

tives des droites BG et CD, si Ton représente de même par x la valeur de leur somme partielle, on a dans tous les cas possibles

D'où Ton conclut en particulier que :

1<* La somme de deux termes de même signe a pour valeur absolue la somme des leurs et même signe qu*eux ;

2* la somme de deux termes de signes contraires a pour valeur absolue la différence des leurs et même signe que la plus grande valeur absolu 0.

X ïf M D'après tout ce qui vient d'être dit,

Tiy. // ji semble qu'une droite absolue ne

puisse jouer que dans une somme algébrique le rôle de partie positive ou négative. Rien ne s'oppose cependant à ce qu'après avoir considéré les accroissements positifs ou négatifs d'une droite, on fasse abstraction de celle-ci pour comparer ces accroissements soit entre eux, soit à ceux d'une autre droite; et souvent il y a grand avantage à le faire. Ainsi, lorsqu'on prend pour origine l'extrémité d'une droite indéfinie A0(^5r. 17), on peut faire abstraction de cette droite pour ne tenir compte que de ses accroissements positifs ou négatifs OM ou OM', et se procurer de la sorte un système de droites de sens contraires, issues de la même origine et déterminant sans ambiguïté la position d'un point quelconque M ou M' de la direction donnée. De même en regardant le point comme l'origine des accroissements d'une autre droite quelconque, on peut comparer ces accroissements à ceux de la première.