QUES
Dx+r D Dotr et rEx
Nous trouvons donc :
ra.
(3) N De Aa] =» V (Aa) + eh TX On peut donner à ce résultat une autre forme dont nous nous servirons plus tard.
Reprenons l'égalité (2) :
N> . Pr Er M>
rV [nPe(Aar) = Avtr — xtr. Par + Dot
TE of Remplaçons dans le dernier terme Pz:7 par Per + ho; :
No : (Pr + has) — Mx Dr+r
rV{nPa(Ax:xj) | = Ag+r — Ax+r. Px;r 1
Effectuons les opérations indiquées :
Ne-Pa—Me 4 Ne: hi Drtr Dotr
rNrPa(Ac;n)] = Avr — 8x+r. Pr +
Le 3ïème terme est nul, comme nous venons de le montrer; il vient donc :
rV (rPz (Ax:%j)] = Apir Arr. Pan + pue $ hx:n
En divisant le numérateur et le dénominateur du 3ïère terme par D, nous obtenons :
rV [nPe (An) = Aztr — vtr. Pas + ee UT
Ce résultat est des plus importants pour calculer la réserve mathématique des polices en groupes.
Nous pouvons utiliser la formule (3) pour calculer la réserve mathématique de contrats de nature diverse, par exemple pour l'assurance temporaire au décès.
Deuxième exemple.
Calculons la réserve mathématique, après k années, d’une assurance simple en cas de décès, temporaire pendant n années, achetée au moyen de primes annuelles constantes reposant sur la tête de l’assuré (x), exigibles n fois au plus.
Nous obtiendrons le même résultat que précédemment, avec cette seule différence que, dans ce cas, hx:7 est négatif.
None
Nous calculerons d’abord la réserve mathématique par la méthode rétrospective, en supposant une société de l, personnes, toutes du même âge æ, et concluant au même instant avec le même assureur des contrats identiques. En se plaçant au point de vue de l’assureur, on peut écrire :
Recettes jusqu’à l’époque d'inventaire, en valeur actuelle :
PR 0 ui dt 0...k—1
AE > En
où ,P est ici une abréviation pour »P+(|1Ax)
Dépenses jusqu’à la même époque, en valeur actuelle : D Jusq ;
Fe
de A+
La réserve mathématique globale est la différence de ces deux expressions :
NT > ei +072 de. (A0) ie
La réserve mathématique individuelle s'obtient en divisant cette réserve globale par le nombre 1, des survivants:
