LP AD ERE
expression qu'on peut écrire, en amplifiant haut et bas par VX +4 :
0...k—1 0...k—1 Dr+) 21 Ce +à VIP NE SE bee k [" œ(In +) D n D No — Noix Me — M>x A Dorx 4 æ (| =) Dr+x
La réserve mathématique cherchée, calculée rétrospectivement, est donc :
GE [-Pa( A2) | en, No — No+x FAR ee Me — Mo+x Dre D rx Si nous comparons les primes annuelles »Px(|#Ax) pour l’assurance en question aux primes correspondantes pour l’assurance «vie entière», nous constatons que les premières sont inférieures aux secondes, c’est-à-dire qu’on peut poser :
nPæ (| nÂz) = Pr — Rasa
Remplaçons dans l’équation (4) ; nous obtenons :
Nx —N M —M av xPe(nAe) |= Dean q CR) ie D
Nx P Nx+x
N> NE M: Mix Po he ht So BP hein Dante Dex DE Dx+x | | | Ax+ x EC
= Apte — av+tr. Pr — Mo:
TT EE æ æ;nl Diux Die
er DAS
Le dernier terme est nul, puisque P,; — — d’où :
œ N> — N aV [pe (ln) | a Ax+x — Ax+k - P> D Ron s dr æ+k Cr: Axir — avt. Pr = 2Vx Ne — Nr+x = Nœ — Ny+a D Dx LS [ka Dy+x Dz Dr+x kEx
Substituons ces deux expressions dans l’équation ci-dessus ; il vient :
kdr A9) | = No — Moïn - Le
aV [rx
Les seules différences entre cette formule et la formule correspondante pour l’assurance mixte [voir équation (3)] consistent en un changement de signe au deuxième terme et une autre valeur de À.
Dans les deux cas, les valeurs de À et de h! dépendent de l’âge d'entrée de l'assuré et de la durée du contrat.
Cette dernière formule qui est, en principe, la même que l'équation (3), a aussi son importance pour le groupement des polices d'assurance.
Le calcul de ces différentes assurances se fait facilement, une fois qu’on a calculé des barêmes se rapportant :
15 À la réserve mathématique pour chaque âge, relative à l'assurance simple en cas de décès dite assurance «vie entière» ;
20 À la différence entre : les primes annuelles «vie entière » et les primes annuelles de l'assurance mixte; ou bien à la différence entre: les primes annuelles «vie entière » et celles de l'assurance temporaire au décès ;
LOU VIOMREZ 3° Aux valeurs successives de l’expression
No Notr Do+r
pour des valeurs de r allant de 1 jusqu’à l’âge limite w de la table de mortalité. On sait que pour la table H"*, cet âge limite est w — 96; pour la table R.F., w — 106.
Méthode par récurrence.
Cette méthode donne une relation entre deux réserves anniversaires successives du même contrat.
Désignons par ,;V la réserve de fin d’exercice, à l'instant qui précède le paiement d’une prime annuelle, d’un contrat souscrit sur une tête d'âge + et qui a déjà r années de durée; et soit P la prime annuelle pure du contrat, le capital qui doit être payé en cas de décès de l'assuré étant 1.
La réserve ;V augmentée de la prime P qui va être acquittée servira:
1° à payer le capital 1 en cas de décès de l’assuré pendant la (r+-1)ième année du contrat, et
20 à constituer la réserve ;},V en fin d'exercice, en cas de vie du titulaire de la police à cette époque.
Or, la valeur actuelle, à l’époque d'inventaire, du premier engagement de l'assureur, est |,Ax+»
et la valeur actuelle, à la même époque, du second engagement est égale à la prime unique pour un capital différé d’une année en cas de vie et de montant égal à ,+4,4V, soit »+,V . ,Ev+r
PDT TRE On obtient donc la relation : ,V+P = fjAs+s +, EctrertiV
ou
(5) r+4iV —= El Le Bee LAw+r
Ex +r
On voit que dans cette formule n'intervient pas le temps restant à courir pour les polices de durée limitée. La nature de l'assurance intervient par la prime annuelle P et par le montant du capital à payer en cas de décès pendant l'exercice. Les seuls éléments sont P, ,Ax+r et 4Ex+7 pour chaque âge; ils se calculent bien facilement. Sachant qu'on a toujours ,$V = 0, on peut déterminer de proche en proche: ,V, 9V,,V, etc.
La formule que nous venons d'établir reste valable pour toutes les formes de l’assurance au décès, à condition d'y remplacer P par la prime annuelle correspondant aux différentes combinaisons, et ;V par la réserve correspondante également.
S'il $'agit d’un capital différé, ou d’une rente viagère différée, le capital payable en cas de décès est nul pendant la durée du différé, et la relation (5) correspondante devient pour le temps du différé, si la prime est annuelle,
Et re ÆEx+r ou, encore plus simplement, Vr== .
at RE
si le contrat fut conclu à prime unique.
Enfin, s’il s’agit d’une rente viagère en cours de jouissance et si l’on suppose la rente annuelle de montant 1, payable immédiatement avant l'inventaire, on aura la relation :
AE Extr + Ex+r . r+iV
rV
À aEx+r
d'où 4 =
Méthode par la différence des primes annuelles,
Cette méthode n’est applicable que dans le cas des assurances à primes échelonnées, et seulement si l’époque d’inventaire tombe dans la période où les primes courent encore.
Ier cas. Assurance vie entière.
Supposons que l’assurance soit contractée par primes annuelles constantes ; soit P; leur montant.
Nous nous proposons de calculer la réserve mathématique au bout de k années; elle est représentée par le symbole :
2V[Pz (A >)] = 2Ve
Si l’assuré avait signé le contrat en question à l’âge xæ+k, il aurait à payer annuellement: Pr+2.
On a évidemment:
Prtr > Pr En s’assurant à l’âge æ, on épargne donc annuellement : Lt Pe
et cela aussi longtemps que l'on doit payer des primes; on épargne donc, en valeur actuelle :
CE — F) + Ax+k
Cette expression représente ce que l’assureur doit avoir en réserve pour parfaire à ses obligations ; c'est donc la réserve mathématique du dit contrat, 4 années après sa conclusion.
Nous avons donc :
ëN(PrQAo)] = 4 Vo = (Prix — Pr) + Ax+x Vérification : En remplaçant dans cette égalité
p ondes Me UN du æ Ne œ N: a+k — pas
nous la transformerons en
VE . Mx ) i Ne+x Mo+x M> Notx F Dex = Dr+x N> De + x
Nx+x N> |
Nous trouvons ainsi le même résultat que par les méthodes précédentes.
ITième cas. Assurance simple en cas de décès, avec paiement
temporaire de primes.
Supposons que les primes annuelles constantes, reposant sur la tête de l'assuré (x), soient payables pendant { années au plus. Proposons-nous de calculer la réserve au bout de k années, soit :
eV {Pr(Ax)] = aVGPy, Où k < t
À l’âge d’entrée +, la prime annuelle de la dite assurance se monte à #Px.
Si l’assuré concluait le même contrat à l’âge d'entrée x + k, la prime annuelle de la dite assurance se monterait à 4 xPy+x.
L’épargne réalisée, dont la valeur actuelle représente la réserve mathématique, est donc :
INC) (-xPo+ — Pe) . [e—kp+ x
