k—1 À ce, — Somme de tous les capitaux assurés — K

» ex « Px+X— Somme totale des primes annuelles À

donc :

0....k—1 Réserve totale = Prix. ax+x. K — ax+x. > à DER À ou :

Réserve totale = ax+%x. (Peu . K — > Ci. Peu) À

Désignant de nouveau par z l’âge à l’époque d'inventaire, en sorte que & + k — z. On peut écrire cette formule :

Réserve tolale = a: . (e- . K — > ie Pos) À

Cette formule, traduite en langage ordinaire, montre qu'il faut opérer de la manière suivante :

1° multiplier la somme de tous les capitaux assurés par la prime annuelle pour une assurance vie-entière reposant sur une tête d'âge z ;

20 de ce produit, soustraire la somme de toutes les primes versées ;

3 multiplier cette différence par la prime unique pour une rente viagère immédiate reposant sur une tête d’âge z.

Le produit ainsi obtenu est égal à la réserve mathématique cherchée.

Remarque.

Les trois méthodes précédentes, appliquées à diverses combinaisons de l’assurance au décès, conduisent à des calculs assez compliqués ; et comme l'assurance mixte en particulier est très répandue, nous donnerons deux méthodes qu’il est préférable d'employer dans ce cas.

Première méthode pour l'assurance mixte.

Classifions les contrats d’après leur durée et groupons-les ensuite comme dans les méthodes précédentes.

Nous supposerons que la durée de l’assurance soit de n années. On sait que la réserve mathématique de cette combinaison, calculée par la méthode prospective, est :

nPx(Ax;x) == Ax+rin—# ET P;5 .AX+hkN—À| (2)

Transformons cette expression comme suit; on sait que Axtkn—A| —=1—4. Ax+k;n—kÀ|

Substituons dans l'expression ci-dessus ; elle deviendra : a jnPa(Aa)| ES Ax+kin—A|: (Pz;n à d)

D'autre part : ax+x; n—k] = Axtk — n—k|Ax+k

Substituons dans l'égalité ci-dessus; elle se transforme en

aV MPa(Ax) = 1 — (axtrx— ,,8c+e) - (Pa; + d)

4 Nxtn ) je h — ——— ). 27 + d (arr D ci (2. à |

qu’on peut écrire :

aV | nPx (Ax:1) = A — Pyg. vtr — d.8x+ Nxtn

Pan + d).

2 ( sh] + d) Des

Or, Ad arr —ASUr

En substituant ces deux dernières expressions dans l'égalité

précédente, il vient :

Nztn À Vie, (Aæ:n) = Ax+ Lure Pa: . Ax+k “|- ni 5 ( le d —- d) | Dr+ k Ax; | c’est-à-dire :

Ne n (l An;x| Drvx

\ nPx (Aw)| = À x + RE Pr 2 Ax+ ñ 7

Opérons maintenant le groupement des polices :

4 + SXÿT

dE Ÿ: