PINS
On sait que la réserve mathématique, calculée par la méthode prospective, est:
Net AD LE — P;. dAc+k
Transformons cette expression, en y remplaçant Az +% et Px, par leurs expressions ci-dessous :
Apte 1 arr z Perou
il vient :
ES
ax effectuons :
Va ; de Ge RE NT Re dx Az
Les réserves mathématiques pour les différents groupes deviennent alors :
Age d'entrée des assurés :
h : a Ier groupe 5 Réserve après k années: co — Cp. dx L a ITième > x +1 » k—1 » «—0c RER dax +1 : e 4 À ITTième » x + 2 » k—2 » Co—Ca. Bone dx + 9 FA a kième » x + k—1 » 4} PCR CRT. ie Ax+x—1
En additionnant toutes ces réserves, on trouve la
Réserve totale — €) — Ax+k. S ce >: Ax +1
SNS
Désignant de nouveau lâge à l’époque d'inventaire par z — x + k et la somme de tous les capitaux assurés par k, l’égalité ci-dessus devient :
Réserve totale = k — a; . > ( x \ Av +1,
Cette formule, traduite en langage ordinaire, indique que l’actuaire doit opérer de la façon suivante :
4° Construire un barême donnant
, où À varie deO à £ —1 dx A d
2° Former les produits c; ue pour chacun des groupes. Le Az +}
calcul de chacun de ces produits peut se faire au fur et à mesure, lors de la conclusion de chaque contrat, et la valeur obtenue s'inscrire dans une rubrique spéciale. Il suffira alors, à l’époque d'inventaire, de faire la somme de cette rubrique spéciale.
3° Multiplier cette somme par la prime unique pour une rente viagère reposant sur une tête d'âge z.
& Soustraire ce produit de la somme des capitaux assurés.
Deuxième exemple. Assurance mixte. Durée » années.
On sait que la réserve mathématique de cette combinaison calculée par la méthode prospective, est:
;,n—k| — Pr; + dx+k; n—k|
ëV aPe(Az m)} = Ax+ k
Transformons cette expression de la même manière que dans l'exemple précédent.
Nous avons à utiliser les formules :
A x+k; n— k | —4— 0; Ax+k; n—R%|
Ax;n|
PIRE Remplacons dans légalité précédente qui devient alors :
An;æ]
xV lu Pe(Ae)| —=—d.axtxn x — ( Æ d) . Av; 7%
Effectuons les opérations indiquées; il reste simplement :
Apt; n—Rk|
dx]
aV »Pa(Az)| il
Nous répartissons de nouveau les assurés en groupes, comme
précédemment.
Les réserves mathématiques pour les différents groupes de-
viennent alors :
Age d'entrée Capitaux
Groupes: des assurés: assurés: La réserve mathématique est : Ler æ é après LU Suit 10 CS RÉ E 0 0 0 = Ax;n [lième x +1 Cy » k—1 >» c—0c. NES Ax+4;7| PETER x +2 Ca M CNE eee me Len re : RL
Axtk; n—1]
kième x + k—1 Ck—1 D { » Ch—y — Ck—s - — Ax+k—1:n|
Par l'addition de toutes ces réserves, on trouve la
PE ES NO ds LE
Réserve totale — > c > Gus Ax+h; n FAX] Ax+);nl
Cette formule indique que l’actuaire doit procéder ainsi :
. x dnaite CR É 1° Construire un barême donnant de où À varie de O à k — 1. ce
LR STE
2 Pour chaque groupe, multiplier les capitaux assurés par le quotient ci-dessus correspondant à ce groupe et faire la somme de ces produits. Ce calcul accessoire peut se faire au fur et à mesure, lors de la signature des contrats, et s'inscrire dans une rubrique spéciale des livres de réserve.
3° Soustraire cette quantité de la somme totale des capitaux assurés.
Cette différence sera la réserve mathématique cherchée.
Troisième méthode.
Elle consiste en l'application de la méthode dite «de la différence des primes annuelles » pour calculer la réserve mathématique.
Les polices se groupent de nouveau comime précédemment.
Exemple : Assurance vie entière.
Age d'entrée (Capitaux Réserve Groupes: des assurés: assurés: mathématique Ler 4% Co après Æ années : (Co Prrr— Cp: P:) + Ax+k [Tième LC 1 Ci k=1 (y: Potr— QG. Prrys) * dx+k ITTième x +2 Ca k—9 (Co: Prtz— Co. Prto) . Ax+x ROSE RE Ck—1 1 (Ca - Paotr—Cn Poth).8x+x 0... k—1 0...h—1
Réserve totale — Prix.a»+x. > €) — Ax+k: > Ce Por
Or,
