PREMIERE LEÇON

Les Sciences de Raisonnement-

Mesdames, Messieurs,

Si jamais le mot conspirer a pu être dit avec la plénitude de son sens, c'est assurément de la France c|ui vit sons nos yeux : toutes les poitrines y halètent du mémo souffle, tous les cœurs y battent des mêmes sentiments, une seule Ame fait agir ce grand corps. Pour sauver et racheter la terre de France, vos aînés, chers étudiants, vos condisciples l'arrosent d'un sang qui ne sait pas se marchander. Il y a peu de temps, je serrais la main de ceux d'entre vous qui appartiennent à la classe 1915 ; et lorsque je leur disais : Au revoir, que Dieu vous protège ! je voyais briller dans leurs yeux un éclair de joie; un jeune français n'est pleinement heureux d'accomplir son devoir que s'il est très dangereux. Et vous, leurs cadets, je vois parfois vos mains se serrer, car vous rêvez de l'arme vengeresse, et vous croyez déjà la tenir. Autour de vous, mères, épouses, sœurs, filles de soldats travaillent h l'envi pour alléger les épreuves des combattants ou les souffrances des blessés; et s'il est des fronts qu'ombrage un voile de deuil, ces fronts nous semblent rayonner sous le crêpe, car l'acceptation du sacrifice y pose son auréole.

Au milieu de cette conspiration, celui qui va vous

parler éprouvait une profonde angoisse; sauf par la prière, il se voyait incapable de collaborer à la grande œuvre commune. De cette douleur, causée par la conscience de l'inutilité, M. l'Abbé Bergereau a eu pitié. Il m'a dit: Le sol du pays n'est pas seul envabi. La pensée étrangère a réduit en servitude la pensée française. Venez sonner la cbarge qui délivrera l'âme de la Patrie !

On m'assigne mon poste de combat, j'accours; le poste est sans danger, il sera donc sans gloire; je n'y puis verser mon sang, mais j'y verserai tout ce que mon cœur contient de dévouement.

Je viens devant vous prendre mon bumble part à la défense nationale.

11 n'est personne qui n'ait étudié, peu ou prou, les principes de l'Arithmétique et de la Géométrie. On sait donc communément que les propositions dont se composent ces sciences se partagent en deux catégories ; les unes, peu nombreuses, sont les axiomes ; les autres, innombrables, sont les théorèmes. Parmi les sciences de raisonnement, l'Arithmétique et la Géométrie sont les ])lus simples et, partant, les plus complètement achevées ; en chacune de ces sciences, on devra de même distinguer les théorèmes des axiomes.

Les axiomes sont les sources, les principes des théorèmes; conduit suivant des règles qui sont, pour l'intelligence humaine, comme les effets spontanés d'un instinct naturel, mais que la Logiqu-e analyse et formule, le raisonnement déductif oblige quiconque admet la vérité des axiomes à recevoir également les théorèmes qui en sont les conséquences.

Des axiomes, quelle est la source ? Ils sont tirés, dit-

iji

on (l'()r(linîiii'(\ <1«' la connaissance commune : c'est-àilirc (|iHî tout homme sain (res[)i'it se lient pour assuiY^ (le leur vérité îivant d'avoir (Hu(li('' la science dont ils seront les fondements. Qu'un homme, par exem|)Ie, (ju\in enfant en possession de sa raison, mais ignorant encore rAiilhméti(|uc el la (jéométiie, entende fornmier ces pro|)osi lions :

I.a somme de deux nomhres ne change pas quand on intervertit Tordre suivant lequel on ajoute ces deux nombres l'un à l'autre.

Un tout est plus grand que chacune de ses parties.

Par deux points, on peut toujours faire passer une ligne droite et l'on n'en peut faire passer qu'une seule.

Aussitôt que cet homme, que cet enfant, aura porté son attention sur la proposition qu'il vient d'entendre, qu'il l'aura fixée avec les yeux de l'intelligence (m///ere), il la tiendra pour vraie; aussi dit-on qu'il en a une certitude intuitive.

Il n'en sera plus de même d'un théorème. Une personne qui n'a pas étudié l'Arithmétique ne saura pas si elle entend proférer une erreur ou une vérité lorsqu'on fornmiera devant elle celte [proposition : Le plus petit multiple commun de deux nombres est le quotient du produit de ces deux nombres par leur plus grand commun diviseur. Son incertitude sera la même si on lui dit <|ue le volume de la sphère a pour mesure le produit de la surface par le tiers du rayon, et si elle ignore la Géométri<\ Pour qu'elle en vienne à regarder ces propositions comme vérités très assurées, il faut qu'elle ait la patience de parcourir (discurrere) une longue suite de raisonnements qui, de conséquence en conséquence, lui montreront comment la certitude des axiomes se Iransjnetaux théorèmes. Voilà pourquoi nous n'avons, de la

vérité des théorèmes, qu'une connaissance discursive.

Pour marquer le caractère immédiat que présente l'évidence des axiomes, on compare volontiers cette évidence à une perception ; nous voyons, dit-on, que telle proposition est vraie ; la certitude en est palpable ; la faculté par laquelle nous connaissons les axiomes reçoit le nom de sens ; c'est le sens commun^ le bon sens.

Souvent, aussi, pour mieux opposer la promptitude de l'opération intellectuelle qui reconnaît la vérité d'un principe à la lenteur du raisonnement discursif, propre à démontrer les théorèmes, on donne à cette opération le nom de sentiment; c'est le sentiment du vrai\ on réprouve d'emhlée quand Tattention sarrèle sur un principe, comme, d'emblée, la vue d'un chef-d'œuvre de l'art fait éprouver le sentiment du beau, comme le récit d'un acte héroïque fait éprouver d'emblée le sentiment du bien.

(( Nous connaissons la vérité non seulement par la raison, mais encore par le cœur, a dit Pascal (l) ; c'est de cette dernière sorte ([ue nous connaissons les premiers principes. Et c'est sur ces connaissances du cœur et de l'instinct qu'il faut (|ue la raison s'ap[)uie et qu'elle y fonde tout son discours. Le cœur sent qu'il y a trois dimensions dans l'espace, et que les nombres sont infinis ; et la raison démontre ensuite qu'il n'y a pas deux nombres carrés dont l'un soit double de l'autre. Les principes se sentent, les pi'oposilions se concluent; et le tout avec certitude, quoique par dilïérenles voies. »

Le bon sens, que Pascal nomme ici le cumii", pour saisir intuitivement l'évidence des axiomes ; la méthode déductive pour aboutir, par le progrès rigoureux, mais

(1) l^AscAL, Pensées, art. MIL

liMiU (lu discours, à la démonslraLion des théorèmes. voilà les deux moyens qu'emploie Tintelligcnee humaine loi'siju'elle veut construii'e une sciencede raisonnement.

A rusa^(^ de <*haoun de ees deux, moyens, tout esprit n'(\^t pas également adapté.

Il n'est pas besoin d'avoir poussé foit avant ses études (TArithmétique ou de Géométrie pour savoir coml)ien est .pénible le maniement du raisonnement rigoureux à l'aide duquel procèdent ces deux sciences; nombre de gens, et qui ne sont point des sots, ne peuvent plier leur intelligence à cette démarche si minutieusement prudente et si sévèrement disciplinée. Les commeni^'anls, les esprits rebelles aux Mathématiques ne sont point seuls, d'ailleurs, à rencontrer, dans l'usage de la méthode déductive, de redoutables difficultés; à ces difficultés, on a vu achopper les plus habiles algébristes, les plus illusti'es géomètres. Les grands hommes qui, du xvu^ siècle au milieu du xix« siècle, ont créé l'Algèbre, le Calcul intégral, la Mécanique céleste, ont souvent justifié leurs plus importantes découvertes à l'aide de raisonnements défectueux ou même de paralogisines (lagrants. L'une des tâches essentielles qu'ont accomplies, sous la géniale impulsion d'Augustin Caurhy, les mathénialieiens de la seconde moitié du xix® siècle, a été de re'prendre toute l'onivre de leurs devanciers, pour compléter et rectilier les raisonnements de ceux-ci, pour b'ur montrer a comment ils auraient dii trouver ce qu'ils avaient si bien inventé. »

(]es erreurs auxquelles, si souvent et si aisément, sont exposées les déductions des plus habiles mathématiciens, quelle en est la cause la plus fréquente et la plus dangereuse? La précipitation.

Nous est-il arrivé, à la descente d'une montagne.

d'être, dans un sentier abrupt et glissant, précédé par un mulet '! Avez vous observé les précautions avec lesquelles la bête n'avance un pied qu'après avoir soigneusement assuré les trois autres ? Avez-vous remarqué les tâtonnements par lesquels elle essaye, du bout du sabot, la solidité du roc où le quati'ième pied va se poser? Impatienté par cette prudente mais agaçante lenteur, n'avez-vous pas profité du premier élargissement du sentier pour devancer l'ennuyeux animal ? Ainsi marche le raisonnement déductif. Il n'avance aucune proposition qu'il n'ait rigoureusement démontré toutes les précédentes ; et la proposition nouvelle ne sera pas établie avec moins d'attention.

L'inventeur qui a deviné quelque vérité, supporte avec impatience la longueur et la minutie des précautions qu'il lui faudrait garder pour donner à sa découverte une entière certitude ; de temps en temps, il lui arrive de franchir quelque intermédiaire qu'il juge peu important et facile à suppléer ; hâte dangereuse ! c'est presque toujours un semblable bond qui le fait glisser et tomber dans l'erreur.

Lorsque Laplace, au bout d'un raisonnement, trouvait une conclusion que, par ailleurs, il savait erronée, lorsqu'il voulait découvrir en quel point sa déduction était fautive, il la remontait jusqu'à l'endroit où se lisaient des mots tels que ceux-ci : On voit facilement (|ue. . . . Toujours, le pai'alogisme tenait son gîte dans les intermédiaires que le grand asli^^nome avait cru pouvoir sauter.

Cette lente et prudente démarche de la méthode déductive, qui n'avance que pas à pas, dont chaque progrès doit obéir h la discipline rigoureuse que lui imposent les règles de la Logique, c'est, par excellence, Tallure

([iii convient à l'esprit allemand. L'AlhMnand (^sl [)atienl ; il ignore la tiévrcMise précipitation; anssi, plus nombreuses en Allemagne qu'ailleurs sont certainement les intelligences capables de forg(;r une longue cbaîne d(^ raisonnements dont cbaque maillon ait été minutieusement é|)iouvé.

Durant la seconde moitié du xix* siècle, les niatbémalici'Mîs, nous l'avons dit, ont accompli la tàcbe ardue de retiouver, par des raisonnements d'une impeccable rigueur, mainte tliéorie que leurs devanciers avaient trop bativement (brmulée. C'est, nous Tavons dit également, un matbématicien français, Augustin Cauchy, qui reconnut le premier la nécesssité d'une telle œuvre et montra, par son exemple, comment il la fallait accomplir. Cette œuvre fut poursuivie dans les pays les plus divers ; au norvégien llenrik Niels Abel, elle doit un de ses outils essentiels, la notion de convergence uniforme d'une série. Mais s'il est une école qui en ait, pour ainsi dire, fait sa spécialité, c'est assurément celle que dirigeait, à Berlin, l'algébriste Weierstrass. Weierstrass était passé maître dans l'art de découvrir des fautes de raisonnement là où ses prédécesseurs croyaient avoir produit une déduction d'une irréprocbable vigueur: avec une babileté consommée, il remplaeait les parties défectueuses de la cbaîne par un enchaînement nouveau qui ne risquât plus la moindre rupture. Les disciples de Weierstrass béritèrent de la sévérité logiijue de leur maître. L'un d'eux, le professeur llermann Amandus Schwartz, aime à dire : (( Je suis le seul mathématicien (|ui ne se soit jamais trompé ». Schwartz achète, il est vrai, cette inq:>eccal)le sécurité au prix d'une extrême minutie; au cours de ses déductions, il ne laisse jamais au lecteur le soin de suppléer le moindre intermédiaire;

un de mes amis, qui est aujourd'hui un de nos grands géomètres, et qui suivit autrefois, à Gœttingue, le cours de Schwartz, me disait à quelle rude épreuve la lenteur du géomètre allemand soumettait ses nerfs de français.

Cette grande aptitude à déduire avec une impeccable rigueur est, croyons-nous, la marque de l'intelligence allemande ; c'est elle qui, à la science germanique, imprimera ses caractères propres; c'est elle qui distinguera cette science des doctrines développées en France, en Italie, en Angleterre; elle expliquera les qualités •comme les défauts des méthodes qui sont en faveur €utre-Rhin.

11 est, parmi les hommes, des intelligences d'élite où chaque faculté s'est très amplement développée, où, cependant, ces facultés également puissantes ont gardé, les unes h l'égard des autres, le plus harmonieux -accord et le plus parfait équilibre. Mais ces raisons si heureusement construites sont fort rares. Un organe ne peut guère, dans le corps, prendre un développement exceptionnel qu'il n'affaiblisse et ne diminue les organes voisins. Il en est de même pour l'esprit. L'extrême vigueur d'une faculté se paye souvent par la faiblesse dune autre faculté. Ceux à qui la vivacité de leur bon. sens permet de saisir le vrai d'une vue intuitive aussi prompte que juste, sont j^arfois aussi ceux qui ont le plus de peine à se plier à la prudente discipline, à la rigoureuse lenteur de la méihoJe déductive. Ceux, par contre, qui suivent le plus exactement les règles de cette méthode pèchent fré(niemment par défaut de sens commun.

Sous la gravité du philosophe, Descartes cache bien souvent Tesprit caustique d'un impitoyable pince-sans-

rire. C'est assuiN'inentc.olespfil (|iii iiii raisail <'»crii'e, au (h''I)ut (In Discours (le la niélliodr :

(( Le bon sens est la cliose du nionrle la mieux partagée ; car chacun pense en être si bien poui'vu, ([ue ceux nnônies qui sont les plus difliciles à contenter en toute autre chose, n'ont point roulunie d'en désirer [)lus (juils n'en ont En quoi il n'est pas vraisendilable que tous se trompent ; mais plutôt cela témoigne que la puissance de bien juger et distinguer le vrai d'avec le faux, qui est proprement ce qu'on nomme le bon sens ou la raison, est naturellement égale en tous les hommes. »

Non, il n'est pas vrai qu^ l'aptitude à discerner d'une manière intuitive le vrai d'avec le faux, que le bon sens, ait, en tous les hommes, un égal développement. Ne disons-nous pas à chaque instant : Un tel est homme de l)on sens, un tel n'a pas le sens commun ? Et ce défaut de sens commun, de bon sens, ne le constatonsnous pas bien souvent chez des gens fort liabiles à dérouler une longue suite de déductions ? Leur esprit est comme la maison de Chrysale ; <( le raisonnement en bannit la raison. »

Si la grand(3 aptitude à suivre la méthode déductive a pour contre-partie fréquente la médiocrité de l'intuition, \\ nous paraîtra naturel que les Allemands, souvent si habiles à enchaîner de longs et rigoureux raisonniMuents, soient, souvent aussi, mai pourvus de bon sens; dans nombre de cas, ce défaut-ci, comme cette qualité-là, marqueront les produits de leur esprit.

Lorsque, chez un homme, une faculté physique ou intellectuelle est douée d'une grande puissance, cet homme éprouve une vive jouissance à en user; il lui est pénible, au contraire, de faire jouer un organe malingre ou une disposition médiocre. L'Allemand,

donc, très apte h Teniploi de la méthode déductive, mais faiblement armé pour la connaissance intuitive, multipliera les occasions de suivre la première et restreindra, autant que faire se pourra, les circonstances oili la seconde est requise.

Rechercher à Texcès les occasions d'exercer leur aptitude au raisonnement et de montrer leur habileté dans Tart d'enchaîner les syllogismes fut, de tout temps, travers très répandu chez les géomètres. La Logique de Port-Roijal, s'inspirant de Descartes et de Pascal, leur reprochait déjà ce défaut, de vouloir <( prouver des choses qui n'ont pas besoin de preuves (1) ».

« Les Géomètres, disnit-elle, avouent qu'il ne faut pas s'arrêter à vouloir prouver ce qui est clair de soimême. Ils le font néanmoins souvent, parce que s'étant plus attachés à convaincre Tespritqu'à l'éclairer, comme nous venons de dire, ils croient qu'ils le convaincront mieux en trouvant quelque preuve des choses même les plus évidentes qu'en les proposant simplement, et laissant à l'esprit d'en reconnaître l'évidence.

» C'est ce qui a porté Euclide à prouver que les deux cotés d'un triangle pris ensemble sont plus grands qu'un seul, quoi que cela soit fort évident par la seule notion de la ligne droite, qui est la plus courte longueur qui se puisse donner entre deux points. »

Qu'eussent dit Descartes, Pascal, et les auteurs de la Logique, s'il leur eût été donné de connaître les incroyables excès auxquels le désir de tout prouver a conduit certains mathématiciens de l'Kcole allemande contemporaine ? Weierstrass et ses meillenrs disciples se sont

(1) La Logique ou iArl de peuser \ \\^ partie, ch. IX, second défaut.

atlaclirs à pr«Mi(liv, ('()nli-(3 les démonstrations aigé briques insuffisantes ou inexactes, des précautions vraiment utiles; le travail qu'ils ont accompli s'imposait, si Ton ne voulait pas que les Mathématiques devinssent maîtresses d'erreur. Ceux qui sont vcmuis après eux, trouvant qu'il avait été déjà remédié aux défauts véritables des anciens raisonnements, se sont acharnés h corriger des défauts imaginaires, à combler des lacunes où tout esprit bien fait reconnaissait d'inoiïensives abréviations, à détailler des minuties, pour tout dire, à couper les cheveux en quatre. Par eux, le discours des Mathématiques est devenu si compliqué, si gêné par des règles pointilleuses, qu'on n'ose plus le parler, de crainte de manquer de rigueur. A raffiner sans cesse sur les raisonnements déjà connus, ces logiciens anéantissent, en eux-mêmes et dans leurs disciples, le désir des découvertes et la puissance d'en faire. Aussi s'est-il trouvé, même en Allemagne, des géomètres, tel M. Félix Klein, pour revendiquer, contre cette critique sans mesure, les droits de l'esprit d'invention.

En môme temps qu'il recherche les occasions d'exercer sa faculté raisonneuse, le mathématicien allemand évite, autant qu'il est en lui, les circonstances où il devrait recourir à l'intuition ; pour cela, il resti'eint dans la mesure du possible le nombre des axiomes qu'il invoque.

De toutes les sciences, celle qui satisfait le mieux cette tendance, c'est l'Algèbre ; l'Algèbre entière, en eiïet, n'est qu'un immense prolongement de l'ArithnK'^tique, et la méthode déductive suffit, toute seule, à fournir ce prodigieux développement; les seuls axiomes que requière l'Algèbre sont donc les axiomes qui portent TArithmétique, c'est-à-dire un tout petit nombre de pro-

positions, extrèmeuient simples et d'une évidence à crever les yeux, sur Taddition des nombres entiers. Nous ne nous étonnerons pas que Fintelligence allemande s'adonne h l'Algèbre avec passion et avec succès.

Mais les mathématiciens allemands ne se contentent pas d'être d'habiles algébristes. Cette science, où la part des axiomes est si réduite, où la méthode déductive suffit à tous les progrès, s'adapte si bien à la forme de leur intelligence, qu'ils s'efforcent de fondre en elle toutes les autres sciences mathématiques ; ils souhaiteraient que la Géométrie, la Mécanique, la Physique ne fussent plus que des chapitres de TAlgèbre. Comment ils s'y sont pris pour transformer peu à peu ce souhait en réalité, quels inconvénients en sont résultés pour les sciences ainsi réduites à l'Algèbre, nous I avons dit ailleurs (1) ; pour ne point donner dans un discours trop technique, nous ne le répéterons pas ici.

L'homme n'a pas seulement plaisir h faire jouer un organe sain et vigoureux, peine à se servir d'un organe débile; il sait encore qu'il peut compter sur le premier, il a confiance en lui, tandis qu'il se méfie du second.

L'esprit très bien adaplé à la déduction, mais médiocrement partagé du coté du bon sens, donnera pleinement foi aux propositions démontrées par la méthode discursive; il doutera volontiers des propositions que lui révèle l'intuition. De ces deux tendances, quelles seront les conséquences ? Ces conséquences ne se reconnaissent-elles pas, avec une netteté particulière, dans les principaux systèmes de la l*hilosophie allemande ?

(l) Quelcjues réllexioïis sur la Science nllcmaïide (Revue âfes D'^u.T'Moufies, l^^»' février HMol — Ol orticle est reproduit en sni)j)l(''ni('nt h l.i fin de ces Leçons,

('/♦'sl ••(' {\\\r nous allons exainiixM' en peu (h» mots.

I! y a deux sources de certitude; les pro[)Ositions: I croiviînt leur certitude de la déniorislration et les principes la tirent de la connaissanc(î commune (^ette cerlitu(le-ci n'est pas d'une valeur, d'une qualité autres qu(^ (N^lle-là. Kllessont toutes deux également assurées. IMusjustement doit-on dire qu'il existe une seule source d'où tiécoule toute ccrlitude, et c'est celle qui la fournit aux principes ; car la déduction ne crée point de certitude nouvelle: tout ce qu'elle peut faire, lorsqu'elle est suivie sans aucune faute, c'est de transporter aux conséquences, sans en rien perdre, la certilude que possédaient d(\i.-i les préuîisses.

« La connaissance des premiers principes, comme il y a espace, temps, mouvement, nombres, est aussi ferme qu'aucune de celles que nos raisonnements nous donnent», disait I*ascal (1). (( Et c'est sur ces connaissances^ du cœur et de Tinstinct qu'il faut que la raison s'appuie et ([u'elle y fonde tout son discours... Et il est aussi ridicule que la raison demande au cœur des preuves de se^^ premiers principes, pour y vouloir consentir, qu'il serait ridicule que le canirdemandat à la raison un sentiment de toutes les propositions qu'elle démontre, pour vouloir les recevoir. »

(]'est précisément dans le premier de ces deux ridicules que vont donner ceux chez qui l'aptitude à déduire a pris, aux dépens du sens commun, un développement exagéré. Trop confiants en la méthode discursive, trop méfiants à Tégard de l'intuition, ils finissent par s'imaginer que celle-là seule confère à ses conclusions une certitude dont celle ci est incapahle ; comme si la mai-

( i) PAsr.AL, Pensées, art. Vllf.