CHAPITRE SECOND

Ou ton enseigne comment on trouve l'épaisseur des murs que l’on veut mettre, en équilibre par leur résistance avec les puissances qui agiraient pour les renverser, lorsque ces murs sont élevés à plomb des deux côtés.

PROPOSITION PREMIÈRE

Tirée des principes de la mécanique , et qui doit servir de lemme à quelquesunes des propositions qu'on rencontrera dans la suite.

II. Si l'onaun levier ou une balance .AB, sans pesanteur, dont le point Kic. 5. d’appui soit en C , et qu’il y ait à l'extrcmité A un poids M , et au point B une puissance P en équilibre avec ce poids, on demande de transposer cette puissance à l’extrémité D du bras de levier CD plus grand que CB, en sorte qu'elle soit encore en équilibre.

On sent bien que cette puissance agissant en D n’aura pas besoin d'une

si grande force qu’elle avait en B pour faire le même effet sur le poids M ,

puisque son action doit diminuer à mesure que le levier augmente : or,

pour qu’elle fasse le même effet à l’extrémité D qu’à l'extrémité B, il faut

que, multipliant la force quelle a en B par le bras de levier C B, l’on ait

un produit égal à celui de la multiplication du bras de levier CD par

l’effort qu’il faut quelle tasse en D. Nommant x ce second effort, c le

bras CB, et b le bras CD, l’on aura cp=bx , ou bien 2L=a;. C’est-à-dire

que, pour avoir la force avec laquelle elle agira en D, il faut multiplier celle qu'elle avait en B par le bras de levier CB, et diviser le produit par toute la longueur CD ; le quotient sera ce que fon demande.

Mais, si les bras de levier, au lieu d’être sur un seul alignement ACB, Fie. 6. faisaient un angle comme font ceux du levier recourbé ABC, il faudrait s’y prendre de la même façon pour transposer la puissance ; c’est-à-dire, que si la puissance F est appliquée à l’extrémité E du bras EB, où elle agit selon une direction perpendiculaire EF , et que l’on veuille la traiu-

n I.A SCIENCE DES INGÉNIEüUS,

poser à l’exuétnité A du levier AB plus grand que EB, il faudra multiplier la force de cette puissance par le bras EB et diviser le produit par le bras AB pour avoir le tfuoticnt , qui sera la force de la puissance G , pour qu’étant appliquée en A elle fasse le même effet qu'en E, en supposant toujours qu’elle agit selon une direction perpendiculaire au bras du levier.

Avertissement.

Avant d'entrer en matière, il est bon de faire ici trois suppo.sitions, dont on conviendra aisément dans le sujet que je vais traiter.

12. La première est que l’on doit regarder un mur comme étant assis sur des fondements inébranlables, et que si une puissance poussait ou tirait le mur, sa base pourrait s’incliner sur les fondements, comme forait , par exemple , un cube ou un parallélipipède posé sur une table.

13. La seconde est qu’on doit considérer un mur comme composé d’une seule pierre, c’est-à-dire, dont les» parties .soient si bien liées, qu’elles soient comme indissolubles: quelque effort que fasse la puissance qui agit, elle peut bien renverser le mur, mais non pas le rompre.

14. La troisième, c’est qu’on peut regarder le profil d’un murcoinme exprimant le mur même ; car, comme un mur est composé d'une infinité de plans parallèles entre eux et perpendiculaires à l’horison , ce qu’on dira au sujet d’un de ces plans pourra se dire de même de tous les autres. Ainsi la longueur du mur est une chose dont nous ferons abstraction.

La première supposition n’a rien d’extraordinaire , puisqu’on n'y suppose aucune chose qui n’arrive fort souvent dans l’exécution. Les piles des ponts et les murs qui sont bâtis sur pilotis sont assis sur un plancher qui leur sert de base : ainsi dans ce ca.vlà le mur ne doit être considéré que depuis In retraite jusqu’au sommet , et c’est sur ce pied que nous l'envisagerons ; n’ayant pas jugé à propos d’admettre les fondements dans les calculs que nous serons obligés de faire, parce que ces fondements n’ayant pas de profondeur déterminée, ils n’auraient pu convenir avec la précision que nous avons tâché de suivre.

La seconde supposition n’a rien non plus qui répugne , puisque dans

LIVKE I. DE LA THÉORIE DE LA MAÇONNERIE. une théorie comme celle-ci il est à présumer que la maçonnerie a été faite avec toutes les attentions possibles. D’ailleurs, le plus ou moins de liaisons que peuvent causer les matériaux bons ou mauvais , n’est point une chose qui appartient à ce livre-ci. Je n’expliquerai point la troisième supposition, parce qu’elle est assez naturelle (i).

J’ajouterai encore que, pour éviter les répétitions inutiles, nous supposerons toujours que les puissances dont nous parlerons poussent ou tirent selon des directions perpendiculaires à la ligne verticale qui détermine la hauteur des murs, excepté dans les occasions où on aura soin d’avertir du contraire ; et que chacune de ces puissances sera nommée h/.

(i) mippositions que Bélidor fait iei lui sont nécessâtres pour appliquer le calcul au problème de physique qu'il va traiter. Quoiqu’il s’efforce de les justifier, il est visible qu’elles sont fausses, et que les données desquelles il part ne sont point conformes h ce qui a réellement lieu dans la nature. Les murs ne sont jamais éuLUs sur des fondenients inébranlables, i moins d’étre élevés sur des masses de rochers; ceux mêmes qui ont été fondés sur pilotis sont souvent renversés , parce que ces pilotis n'ajant pas asse?. pénétré dans un terrain solide, cèdent à la poussée des terres, et s'inclioen» en avant : et on peut avancer généralement que la plupart des murs de revêtement périssent moins par un défaut d'épaisseur que par l’imperfection de leurs fondations. Il en est de même à l'égard de la nécessité de considérer le mur comme une seule pierre. Celle hypothèse ne peut avoir quelque vraisemblance qu’autant que les mortiers ont pris corps, et lient parfaitement entre elles toutes les parties dont ce mur est composé, ce qui ne peut arriver qu'après un temps très-considérable.

On peut remarquer ici qu'à l’époque où /a Sctencê des Ingénieurs a paru, les constructeurs , ordinairement guidés par une pratique aveugle , et pour la plupart étrangers aux connaissances mathématiques, accordaient diflicilement leur conSance aux principes que CCS sciences fournissent pour les arts de constructions. Il fallait donc, pour donner quelque crédit aux théories que les hommes instruits voulaient établir, les présenter comme exemptes d’incertitude, et écarter du mieux possible celle qui résulte de l’impossibilité de représenter exactement les circonstances physiques au moyen du calcul. Mais l'étude des mathématiques est actuellement si répandue, et leur application ^ à la physique est tellement perfectionnée, qu’il est devenu nécessaire au contraire de prémunir les constructeurs contre les inconvénients d’une confiance trop absolue dans les résultats auxquels elles conduisent. L.i question de la poussée des terres, en particulier, quelque exacte que soit actuellement son analyse, n'est pas beaucoup plus éclaircie, quant a la pratique des constructions, qu'elle ne l'était du temps de Bélidor. (iV.)

LA SCIENCE DES INGÉNIEURS, sans qu'on doive s’embarrasser au commencement pourquoi l'on prend plutôt l'expression hf que toute autre pour désigner la force de la puissance : ou en verra la raison dans la suite.

PROPOSITION SECONDE

PaOBI.ÊHE.

i5. Trouver 1‘ épaisseur qu’il faut donner aux murs qui sont élevés a plomb devant et derrière , pour que par leur pesanteur ils soient en équilibre avec l’effort qu’ils ont à soutenir.

Fig. « Ayant un parallélogramme rectangle ABCD qui représente le profil d'un mur dont la hauteur AB est déterminée, et une puissance P qui pousse ce mur selon une direction KD , on demande quelle épaisseur il faudra donner à la base BC pour que ce mur par son poids soit eu équilibre avec reffort de la puissance.

Comme c'est la même chose à la puissance P de pousser de K en D , ou de tirer de .A en H pour renverser le mur, nous supposerons qu'à l’extrémité de la corde .AH qui va passer sur une poulie L on a attaché un poids I , qui est équivalent par sa pesanteur à la ibree de la puissance. Nous .supposerons aussi qu'ayant trouvé le centre de gravité F du parallélogramme, on a réuni toute sa superficie dans le poids G qui est suspendu au milieu F de la ligne BC.

Cela posé , il faut considérer les lignes AB et BF , qui forment l'angle droit .ABF , comme le bras d'un levier recourbé dont le point d'appui est à l'angle B, le poids G à l'extrémité F du plus petit bras BF, et la puissance dans la direction de la corde AH qui est attachée à l'extrémité A du plus grand bras AB. Nous nommerons a le bras .AB, et bj la valeur de la puissance ou du poids I ; la ligne BC que nous cherchons sera nommée .)'/ pour lors on aura avpour la superficie du parallélogramme, ou , ce qui est la même chose , pour la valeur du poids G ; or, il ne s'agit donc que de connaître /.

Remarquez , pour que la puissance et le poid.s soient en équilibre , qu'il faut qu'ils soient dans la raison réciproque des bras du levier ; et comme on suppose ici l’équilibre, on aura donc bfi ay.-. qui

LIVRE I. DE LA THÉORIE DE LA MAÇONNERIE. a5 donne abf—-^ay*-, d'où cfTai^ant a de part et d’autre , et multipliant le premier membre par a, pour faire évanouir la fraction du second, il vient ibf=y*^ qui se réduit à cette dernière équation ^bj'=y.

APPLICATION

Pour trouver l'épaisseur qu'il faut donner à un mur qui est poussé par le sommet selon une direction perpendiculaire, il fiut doubler le nombre qui exprime la valeur de la puissance et en extraire la racine carrée; cette racine sera ce que l’on demande. Par exemple, supposant que la puissance lif soit équivalente à un plan de i8 pieds carrés, il faut doubler ce nombre pour avoir 36 pieds carrés, dont la racine qui est 6 sera l’épaisseur BC que l’on cherche.

Si j’ai supposé i|ue la puissance était équivalente à un plan de i8 pieds carrés, il ne faut pas que cela paraisse extraordinaire, puisque, comme on l’a déjà ihsinué dans le second article , les forces agissantes et résistantes ne doivent être exprimées dans cette mécanique qu’avec des plans, comme on en verra encore mieux la raison ailleurs.

Corollaire I.

l6 Si l’on avait un mur AD poussé par deux puissances qui agissent Eic. selon les directions I-B et KM , ou qui tirent de l’autre côté selon les directions AI et GH, et qu’on voulût savoir quelle épaisseur il faudrait donner à ce mur pour être en équilibre avec les deux puissances , il .faudrait réunir la puissance H avec la puissance I , c'est-à-dire la tran.sporter à l’extrcinité A, selon l’article il*; et supposant que la valeur de ces deux puissances soit exprimée par 6/, on aurait comme ci-devant ^ ’ibf—y.

Corollaire II.

IJ. De même, si Ton avait une puissance appliquée en E tirant de E Fio. en H , et une autre appliquée en B tirant de B en K, et qu’on voulût connaître quelle doit être l’épaisseur AD pour que le mur soit ea éqnilibre par son poids avec les deux puissances, en supposant que la puissance K fait beaucoup plus d’effort au point B que la puissance H n’en

aÜ L4 SCIENCE DES INGÉNIEURS,

fait au point E , il faudrait réduire la puissance H à l’extréniité C par l'article ii‘ pour avoir la puissance I, qui sera opposée à la puissance K. Ainsi, étant sur un même alignement, il se fera une destruction de force, c'est-à-dire que la puissance K, que nous avons supposée la plus grande des deux, sera diminuée de toute la puissance I. C'est pourquoi, si l'on retranche la plus petite de la plus grande, et que l'on noiiimc la différence hf, tout le mécanisme se réduira encore à cette dernière équation

CoROLt. AISE III.

i8. Ayant un mur AD et une puissance K appliquée à l'extrémité A du levier AC, qui tire de A en F selon une direction obli(]ue au bras du même levier, voulant savoir quelle épaisseur il faut donner à la base CD du mur pour qu’il soit en érjuilibre par son poids avec l'elfort de la puissance K ; considérez que le poids I équivalant à cette puissance n’aura pas tant de force en agissant selon la direction oblique AF que si c’était selon une direction AN perpendiculaire au levier AC. Or, si l’on abaisse du point d’appui C la perpendiculaire CG sur le prolongement FA de la direction de la puissance , on pourra, au lieu du bras de levier CA, prendre le bras CG , et pour lors la proposition subsistera toujours dans son entier, puisque l’on sait que la puissance est au poids dans la raison réciproque des perpendiculaires CG et CL, abaissées sur les lignes de direction de la puissance et du poids. Ainsi , nommant la ligne

CA , c V le levier CG, a ; et la base CD , y; on aura hf: cy:\-r y. a, qui donne nhf =~cy\ ou bietijl/ ua/i/=y.

APPLICATION

Pour avoir l’épaisseur CD , il faut multiplier la puissance I par le levier CG, diviser le produit par la hauteur AC de la muraille, doubler le quotient, et en extraire la racine carrée qui donnera ce que l’on cherche.