LIVRE I. DE LA THÉORIE DE LA MAÇONNERIE

Remarque seconde.

■34. J’ai lait la remarque prtieddente, pour satisfaire la délicatesse de ceux qui aiment que tout ce qui se rapporte aux mathématiques soit toujours dans la dernière justesse. Mais , si l'on fait attention que quand il s'agit de choses de pratique, il faut quelquefois s’écarter d’une trop grande précision, crainte qu’elle ne devienne nuisible à ce que l'on veut exécuter, l’on verra que dans le sujet dont il est ici question on aurait tort de faire des revêtements qui fussent parfaitement en équilibre avec la poussée des terres, surtout quand ils servent pour des chaussées, des quais, etc., puisque dans ce cas ils doivent, non-seulement soutenir les terres, mais encore le poids des voitures et l’ébranlement qu’elles peuvent causer. C'est pourquoi, quand on n’y fera pas des contreforts, je voudrais qu’on leur donnât un quart plus de force qu’il ne leur en faudrait dans l’état d’équilibre. Je veux dire que, s’il s’agissait par exemple d’un mur de i5 pieds , la puissance hfy au lieu de valoir i3 pieds g pouces 4 hg''' > *7 P'^ds a pouces 8 lignes,

ce qui donnera 3 pieds i pouce pour l’épaisseur du sommet BC, et 6 pieds I pouce |iour la base DF.

Remarque troisième.

Ayant fait sentir dans plusieurs endroits de ce livre, et particulièrement à l’article ai, combien le talus qu’on donnait au parement d’un mur le fortifiait contre l’effort qu’il avait à soutenir, j’ai cru devoir rapporter ici un profil de rempart assez singulier, imaginé depuis peu par des gens qui n’ont peut-être point fait assez d'attention sur la manière dont SC faisait la poussée des terres : voici de quoi il est que.stion.

Pour ne point trop exposer un revêtement aux injures' des saisons, leur sentiment est de faire le parement à plomb et lui donner un talus du côté des terres , dans la pensée que, s'appuyant sur ce talus, il y en aurait une partie qui contre-balancerait la poussée de l’autre. Pour en juger, il faut du point A tirer la perpendiculaire AE à la ligne HD, et faire EF égal â cette perpendiculaire, afin d’avoir le triangle AEF, qui renfermera toutes les terres qui agissent contre la ligne EA , que nous regarderons pour un moment comme une surface. Dans ce cas, il n’y

Fig. 5.

a point de doate que, si la ligne EA e'tait le derrière du revêtement, la poussée ne se fit comme à l’ordinaire; il s'agit donc de savoir si celles qui sont renfermées dans le triangle EAD soulagent le revêtement, ou si, au contraire, elles se joignent aux autres pour en augmenter la poussée. Si l'on divise la ligne EA en autant de parties égales que la hauteur du revêtement contient de pieds, et que l'on fasse les trapèzes des puissances comme à l'ordinaire, il est constant qu'en prolongeant toutes les parallèles au-delà de la ligne E.A jusqu’à la rencontre de la face DA, toutes les puissances contenues depuis F jusqu’en E se trouveront augmentées par les nouveaux tra|>èzcs qui régnent depuis 1 jusqu’en A, les unes plus, les autres moins; et il y aura cela de particulier, que les puissances qui auront les plus grands bras de leviers seront justement celles qui auront reçu le plus d’augmentation. Or, si dans cette augmentation générale on comprend encore le petit triangle EDI, qui sera de conséquence à cause qu’il agit vers le sommet de la muraille, il saute aux yeux que le triangle AED, bien loin d’affermir le revêtement contre la poussée des terres qui sont derrière la ligne AE, ne fait que le charger beaucoup plus qu'il ne le serait, si le mur était à plomb de ce côté-là. On pourrait même déterminer avec assez de précision à quoi peut aller cette nouvelle poussée, mais ce serait perdre du temps mal à propos (i).

On remarquera seulement qu’en ne donnant point de talus aux

(i) Il paraît que la grande majorité des ingénieurs ne partage point l'opinion de Bélidor sur le désavantage qu*ü trouve à donner du talus k la l'ace intérieure des murs de rrvéteinent; et au contraire, dans la plus grande partie des murs exécutés, on a généralement soin de construire cette face intérieure soit en talus, soit par retraites. Il est aisé de sentir que cette opposition entre les résultats de sa théorie et lasscnlimcnt général des constnictcurs tient à la supposition arbitraire que fait Bélidor sur la manière dont s'exerce la poussée des terres. On doit observer en effet que l’augmentation de |>ou.s.sée résultant du poids du triangle AED est peu de chose relativement à la poussée totale du triangle d'éhoulemciit, et que b pression exercée sur le nmr par les terres se décomposant en deux, l'une horizontale, qui tend a le renverser, et l'autre verticale, qui tend à raiïcrinir dès que son parement intérieur est en talus, l'augincnta- (ion de stabilité qui eu résulte peut, suivant les circonstances, compenser au moins l'augmeniatiuü de la poussée (A').

Digitizad by Vjo'osk:

LIVRE I. DE LA THÉORIE DE LA MAÇONNERIE. 49 revêtements de fortification , il n’y a point de doute qu’étant battus en brèche , la destruction ne se fasse plutôt par la facilité que les débris auront de s’ébouler. D’un autre côté , dans les pays où la maçonnerie n’est pas bien bonne et où les revêtements sont sujets à surplomlter ou à souiller, on s’apercevrait bientôt du mauvais effet de ce système qui , à ce <|ue je crois, n’aura pas beaucoup de partisans.

PROPOSITION SECONDE

36. Trouver quelle épai.iscur il faut donner au.r revêtements des remparts de fortification qui sont accompagnés tfun parapet.

Nous n’avons parlé jusqu’ici que de l’épaisseur des murs qui soutenaient des terrasses, et non pas de ceux qui servent de revêtements aux remparts des fortifications. Il y a des {tens qui croient que c’est à-peuprès la même chose, mais il y a bien de la dilférence. Car, comme on élève toujours sur ces sortes de remparts un parapet de terre qui fortifie la poussée de eelles qui sont déjà derrière' le revêtement, l’on sent bien que ces revêtcmenLs-ci doivent avoir plus d’épaisseur que ceux des terrasses. Il est vrai qu'il y a un peu de dilficulté à trouver de combien le parapet augmente cette poussée , mais l'on va voir qu’on en peut rendre le calcul aussi aisé que le précédent.

■ Ayant pris KD égal à DB, considérez la première ligne comme marquant le niveau du rempart sur lequel on a élevé la banquette et le parapet IGEQ, soutenu par un petit revêtement EC, auquel on donne ordinairement 4 pieds de hauteur sur 3 d’épaisseur. Si l’on divise la ligne BD en autant de |>arties égales qu'il y a de pieds dans la hauteur du revêtement, et que l’on tire toutes les lignes comme ST,VX, etc., parallèles à KB, elles formeront des trapi-zes comme dans la ligure précédente; et si l’on prolonge toutes ces parallèles jusqu’à la rencontre des lignes qui renferment le parapet et la banquette, l'on aura un grand nombre de nouveaux trapr-zes, dont chacun pourra être regardé comme la quantité dont la puissance qui lui répoml est augmentée. Cela posé, il faut considérer d’abord (ju’il y a le long de la ligne EQ trois tra-

Eic. 4.

5o LA SCIENCE DES INGÉNIEURS,

piv-es et un triangle dont l'action doit être supposée réunie aux points E , M , O , N , extrémités des bras de leviers A E , A M , A O , A N ; et comme l'effort de chacun de ces trapèzes doit être réduit à l'extrémité D du bras de levier BD, il faut multiplier l'expression de la force dont chacun est capable par son bras de levier; et pour trouver cette expression, il n’y a qu'à voir le rapport du petit triangle DST à chaque trapèze ; ainsi, supposant que le trapèze I,M soit (piadruple du petit triangle, la poussée de ce petit triangle étant nommée h comme ci-devant, celle du trapèze L M sera , et l’oti trouvera de même la poussée des trois autres trapèzes suivants. Après cela , il faut multiplier dvacunc de ces puissances par le bras de levier qui lui répond . et écrire les quatre produits à part pour les ajouter, quand il .sera temps, avee les autres que nous allons trouver. Il fout encore chercher le rapport du |>etit triangle DST avec tous les autres trapèzes PQ, RD, YS, etc., qui régnent depuis Q jusqu'en I , au-dessus de la ligne DK , alin de voir combien chacun contient de fois la puissance b ; ensuite écrire la progression de toutes les puissances qui sont au-dessous de la ligne D K , comme on a fait dans l'art. 3a, qui sera b, 36, 56, 76, p6, 116, etc., et voir combien chaque terme doit être augmenté ; par exemple , comme le petit triangle DST est augmenté de tout le trapèze RD, on doit regarder le trapèze PT comme la puissance qui agit au point D ; et le trapèze PQ agissant aussi autour du point D, le premier terme de la progression doit être augmenté d’autant d'unités que la puissance 6 est contenue de fois dans les deux trapèzes PT et PQ ; de même le second terme exprimant le trapèze SX doit être augmenté d'autant d'unités que la puissance 6 est contenue de fois dans RV; ainsi des autres, qui doivent augmenter .selon que les tra|ièzes qui leur répondent dans la ligure contiennent plus ou moins la puissance 6, jusqu'à ce que l’on soit parvenu au point I : parce que, pour lors, si le triangle KDB contient encore quelques puissances qui ne soient point augtueiUées dans la figure, elles ne doivent pas l’être non plus dans la progression , et par conséquent les termes qui leur répondent doivent être écrits comme à l'ordinaire.

-Après qu’on aura écrit de suite toutes les puissances.qui agissent le long de la ligne DB, et qui exprimeront par conséquent la poussée des terres du rempart et du parapet, à l'exception de celles qui agissent

UVRE I. DE LA THÉORIE DE LA MAÇONNERIE. 5i derrière la ligne EQ, il faudra les multiplier par leur bras de leviers I comme à l’ordinaire, et ajouter à la somme de tons les produits les quatre que nous avons trouves d’abord au sujet du petit revêtement EC : après cela , l’on aura l’elTet total de toutes les puissances qui agissent derrière le revêtement EQDB , lequel étant divisé par la hauteur DB, le quotient donnera la pous.sée des terres, ou, si l’on veut, toutes les puissances réunies à l’extrémité I) du bras de levier BO ; de sorte que s’il s’agit d'un revêtement dont la hauteur Bl) soit de a5 pieds, l’on trouvera que la somme de toutes les puissances réunies au point D sera de 34a x />; et supposant 34a =f, on aura donc la valeur

de hj\ qui est la puissance avec laquelle il laut que le ravètement soit en équilibre.

Présentement, voulant trouver l’épaisseur DC ou BZ, nous la nommerons ry QC , a; EC, g ; la hauteur CZ, c ; et la ligne de talus ZH, d. Cela posé, il faut réduire la ligure QEFC, que nous considérerons comme un rectangle, à n’avoir qu’une même épaisseur DC avec le rectanglc BDCZ: pour cela, il faut diviser sa superficie, <jui aalag, par

la ligne DC=:,r , et on aura^pour la hauteur dont le rectangle DZ doit être augmenté, pour que le petit revêtement KC soit uni avec le rectangle nZ. Ainsi, multipliant i par ^ + c, l’on aura ag + cy égal à

toute la superficie BDQEPZ, que nous suppo.serons réunie au poids qui est suspendu dans le milieu de la ligne BZ, auquel joignant comme à l’ordinaire le poids 3 , et midtipliant leur somme par le bras de levier H4, il viendra un produit égal à celui de la puissance par son bras de levier Bl) oii Hà, d'où l’on tire cette équation y- '!>'’ + t "é'* +

+ agd + -^cfP = bJ'c , qui est un peu composée, mais qui n’est pourtant pas dillicilc à réduire, ('ar, si l’on change ag -t- cd, en un rectangle qui ait pour une de ses dimensions la grandeur c , et que l'autre dimension ait été trouvée égale à n , l'on aura -^ag + cd = en, par conséqucnt-7 agy-H cdy — cny : or, mettant dans l’équation précédente en)- à la place de sa valeur, l'on aura -j- cy' -i- cny v agd -H -J- rv/’ = hfc; de laquelle faisant évanouir la fraction du premier terme, et divisant

le tout parc, l’on aura r' 4- ^ny + = ou bien

:,i LA SCIENCE DES INGÉNIEURS,

2ny = ühf — ^ rf*; à quoi ajoutant n* de part et d’autre pour rendre le premier membre un carré parlait, il viendra y + anjr + n'=Qth/' — T -i- n‘, dont extrayant la racine carrée,

l’on aura cnân y = 1/ (a bf — — t </’+«’) — n , qui donne 5

pieds 8 pouces et environ 8 lignes pour la valeur^.

Comme cette opération est un peu longue, surtout pour connaître la valeur de/, il vaut beaucoup mieux , dans la pratique, faire abstraction du petit revêtement EC, et ne le pas admettre dans le calcul algébrique, et pour lors on aura, comme à l’ordinaire, l’équation y = \/' {^Oibf + \ (P") — d , qui est beaucoup plus simple. Il est vrai que le poids qui exprime la pesanteur de tout le revêtement sera plus léger qu'il ne devrait l'être de la partie EC; mais ce n’est point un mal , au 'contraire , puisque l’épaisseur DC en sera un tant soit peu plus grande qu'il ne faudrait pour un parfait équilibre. Il semble même qu’on pourrait me reprocher de donner dans une trop grande précision pour un sujet qui de lui-même demande d'être traité plus cavalièrement, car l’épaisseur qu’on trouvera de plus, en omettant le petit revêtement, ne passe pas 8 ou 9 lignes, comme on va le voir.

APPLICATION

Ne faisant point mention, comme je viens de le dire , du petit revêtement EC, il ne s’agit plus, {>our avoir l’épaisseur DC en nombres, que de calculer l'équation y = 1/ {ib/ -t- -f rf’ ) — d. Pour cela , il faut se rappeler que l’on a trouvé que y valait 34a -ÿ, qu’il faut multiplier par la valeur de b , qui est 3 pouces, parce que le petit triangle DST vaut 6 pouces, et qu’il n’y en a que la moitié qui agit contre la surface DT, ou comme on l’a supposé contre le point D, et l’on aura 85 pieds 8 pouces jK)ur la valeur de bf ; mais comme bf doit être diminué d’un tiers, à cause que cette grandeur exprime la valeur d'une superficie de terre , par l’article 5 , il faut donc prendre les deux tiers de 85 pieds 8 pouces, pour avoir 67 pieds 1 pouce 4 lignes , pour la valeur de bt réduite, c’est-à-dire pour qu’elle puisse entrer dans le calcul de la maçonnerie. Or, comme dans la formule bf esx multiplié par a, il faut

LIVRE I. DE I,A THÉORIE DE LA MAÇONNERIE. 53 aussi doubler 67 pieds i pouce 4 lignes, pour avoir 1 14 pieds a pouces 8 lignes; à quoi ajoutant le tiers du carré de la ligne de talus, qui est 8 pieds 4 pouces, l’on aura laa pieds 6 pouce.s 8 lignes, dont la racine carrée est de 11 pieds 10 pouces pour l’épaisseur BH, sur la retraite; d’où retranchant la ligne de talus qui est 5 pieds, l’on trouvera 6 pieds 10 tign. pour l’épaisseur DC que le mur doit avoir au sommet: et comme l’on n’a trouvé que 6 pieds a lignes, il s'ensuit, comme je l’ai insinué, que la dilférence est 8 lignes.

Remarque première.

36. L’on voit qu’en suivant ce que je viens d’en.seigner , on peut trouver avec assez de précision la poussée des terres qui composent le rempart et le parapet. On pourrait seulement se plaindre que c’est un travail un peu long de calculer la valeur de tous les trapèzes qui sont au-dessus de la ligne DK , à cause qu’ils sont irréguliers; c'est pourquoi j’ai cherché une voie plus abrégée, et j’en ai trouvé une qui rend les opérations tout aussi aisées que s’il n’y avait point de (jarapet ; la voici :

Il faut commencer par faire abstraction de tout ce qui est au-dessus de la ligne KG, c’est-à-dire qu'il ne faut considérer que le triangle de terre KDB et le proBl de la maçonnerie BDCH , comme s’il s'agissait Fie. d’un revêtement de terrasse, ainsi que dans l’article 3a; ensuite écrire la progression des puissances, en lui donnant autant de termes que la hauteur DB contient de pieds, et supposant qu’elle en contienne a5 , j’écris i b. 3b. 5b. ’jh. gb. iib. i3b. i5b. tyh. igb. uib. a3i. 35b. a~ b. 3gb. 3ib. 53b. 35b. 3jb. 3gb 4i b. ^3b. ^5b. ^-jb. /igb. J’ajoute dix unités à chacun des vingt premiers termes de cette progression, pour avoir 1 1 ê. i3b. i5b. lyb. 196. 3i b. a3/>. a5ê. ayi. 3gb.3ib.

33b. 35b. 3"b. 3gb- 4i b. 43i. 45^. 47^. 49^'-i dont les <‘inq derniers termes sont les mêmes que dans la progression précédente , |)arce qu’ils n’ont ])as été augmentés; car, comme je l’ai dit , il n’y a qu’aux vingt premiers termes qu'il faut ajouter 10, soit que le revêtement ait 3o, 4° ou5o pieds de hauteur, les autres termes qui suivent les vingt premiers devant toujours rester comme si on u’avait fait aucun changement à la progression. Je multiplie présentement chaque terme par son bras de levier, comme à l’ordinaire; j’entends que le premier terme 11 h sera

multiplié par a5, le second l'ib para4, le troisième i56 par a3, et ainsi des autres, car je ne fais aucun changement dans la progression des nombres naturels qui expriment la longueur des leviers. -Toutes les multiplications étant faites, la somme des produits sera 8(ia5A, qui , étant divisée par a5, donnera pour quotient 345 b. Ainsi/', qui, dans l’art. u5, était de 34» -fi sera ici de 345, ce qui liiit environ a unités de plus; par conséquent dans l'équation j =l/( a ^4- ■Td‘) — dibf, au lieu de valoir S7 pieds i pouce 4 lignes, vaudra 67 pieds 6 pouces , qui donne environ 5 pouces de plus ; et continuant le reste de l'opération , je trouve que )' vaut 6 pieds 1 pouce a lignes, au lieu qu'elle n'a été trouvée dans l’article précédent que de 6 pieds 10 lignes , ce qui fait une dilférence de 4 lignes.

J'ai cherché selon ces deux méthodes l'épaisseur qu’il fallait donner au sommet de plusieurs revêtements ; les prenant à des hauteurs arbitraires, j'ai trouvé que mes opérations donnaient la même chose pour la valeur de v, à trois ou quatre lignes près, qui est une différence de si peu de conséquence, qu'il m'a paru qu'il valait beaucoup mieux suivre »:ette méthode-ci que l'autre.

On demandera peut-être la raison qui m'a fait ajouter dix unités aux vingt premiers termes de la progression : mais je n'en ai d’autre à donner, sinon que je me suis aperçu, après avoir beaucoup cherché, que ces dix unités ajoutées de suite faisaient une com|)cnsation pour les puissances et les leviers , qui donnait la même cho.se que les trapèzes qui sont au-dessus de la ligne KC, et qui composent le parapet, (|uoique ces trapèzes allassent tantôt en augmentant, tantôt en diminuant. Aussi ne faut-il regarder cet abrégé que comme un moyen qui n’est bon que dans la pratique, et dont on peut se servir aussi utilement que de la méthode que j'ai expliquée dans l'article 35 , sans laquelle je n'aurais pas trouvé celle-ci.

, Rcnianiiie seconde.

On ne pratiijue plus guère des revêtements de maçonnerie au-dessus l'ic. (■>. du cordon , pour soutenir les terres du parapet, parce qu’on s'est aperçu que les éclats que ciiusait cette maçonnerie quand elle était battue du canon, devenaient nuisibles à ceux qui étaient derrière le parapet, et

LIVRE I. DE LA THÉORIE DE LA MAÇONNERIE. 55 d’ailleurs qu’il fallait plus de temps et de diüiculté pour percer les embrasures en temps de siège, que si ce parapet n’était • revêtu que de gazons ou de placage sur les deux tiers de talus, qui est le parti que l’on prend atijourd’hiii. Pour cela , l’on éloigne un peu le pied du parapet du sommet de la muraille, afin qu’il se soutienne mieux, comme on le voit dans la Figure C ; mais que le parapet soit revêtu ou non , la méthode que je viens de donner pour calculer la poussée des terres , sera toujours la même aussi bien que pour les demi-revêtements.

Usage d’uxe Table pour trouver ï épaisseur qii il faut donner aux revêtements des terrasses et a ceux des remparts de fortification.

3^. Comme il y a des gens qui pourraient se trouver embarrassés de se servir des règles que j’ai enseignées au sujet des revêtements des terrasses et des remparts , faute de bien entendre les raisons sur lesquelles elles sont établies, j’ai cru qu’il était à propos de donner" une table qui les dispensât de faire de longs et pénibles calculs, dans lesquels il est toujours dangereux de se tromper, à moins qu’on n’y apporte une grande attention : et afin d’éviter les moindres fautes, j’ai fait faire ceux qui ont servi à composer cette table par trois personnes fort intelligentes, afin que, chacune en particulier faisant les mêmes opérations, je n’eusse plus qu’à voir si elles se rapportaient, et que, quand elles différeraient en quelque chose, je pusse voir de quelle part l’erreur pouvait provenir. Ainsi , l’on peut s’assurer que ces calculs ont été faits avec toute la précison possible.

La première colonne comprend toutes les hauteurs des murs depuis 10 jusqu'à loo, allant en progression arithmétique dont la dilTérence est 5; c’est-à-dire que le premier nombre appartient à un mur qui aurait lo pieds de hauteur, le second à celui qui en aurait i5, le troisième à celui qui en aurait 20, et ainsi de suite jusqu'à 100; faisant attention que cette hauteur ne doit être comprise que depuis la retraite jusqu’au cordon, aux revêtements qui soutiennent un parapet: parce que l’on fait abstraction du petit revêtement EC , et que tous ces revêtements sotit supposés avoir pour talus du côté du parement la cinquième partie de leur hauteur, l’autre côté étant élevé à plomb.

J’ai été fâché , après avoir calculé cette table , d’avoir donné aux murs un talus si considérable, parce que la pratique de la plupart des ingénieurs d’aujourd’hui est de ne donner que le septième de la hauteur pour talus ; leur raison étant qu’un plus grand talus expose trop le parement aux injures de l’air, ce qui cause des écorchements au bout de quelques années , au lieu que cela n’arrive pas quand on leur en donne moins. Cependitnt , comme cela oblige à augmenter beaucoup ré])aisseur du sommet, je doute qu’on abandonne absolument l’ancienne méthode, c’est-à-dire celle de M. de Vauban , qui dans son pro6l général donne pour talus la cinquième partie de la hauteur ; et c’est à son exemple que j’ai pris le même parti , ne pouvant avoir un meilleur garant.

La seconde colonne comprend les pui.ssances équivalentes à la poussée des terres que doit soutenir un revêtement de terrasses, de quais, de chaussées , etc. , afin que dans les occasions où l’on aurait besoin de connaître cette poussée , on la trouve ici tout d’un coup sans faire aucun calcul. Ainsi, si l’on voulait savoir, par exemple, quel effort font les terres rapportées derrière un revêtement de 3o pieds de hauteur, ou, ce qui revient au même, quelle serait la force de la puissance qui agirait au sommet du revêtement, et qui serait équivalente à la poussée de toutes les terres qui agissent derrière le revêtement depuis le haut jusqu’en bas, on cherchera dans la première colonne le nombre 3o, et l’on prendra dans la seconde celui qui lui répond que l’on trouvera de .ôa pieds 6 pouces 4 lignes, qu’on doit regarder comme équivalent à des pieds provenants d’une coupe de maçonnerie, parce qu’on a fait la réduction de ceux de terres afin de pouvoir les compjirer avec les profils de maçonnerie , ou les poids «jui les expriment , comme je l’ai assez expliqué dans l’art. 5.

I>a troisième colonne contient comme la seconde un nombre de pieds, pouces, etc., carrés, qui expriment aussi la poussée des terres, mais différemment , parce qu’on y a compris celle du parapet et du rempart, comme on en a fuit mention dans les art. 35 et 36.

La quatrième colonne donne l’é(>aisseur que chaque revêtement doit avoir au sommet par rapport à sa hauteur, pour être en équilibre par son poids avec la poussée des terres. Ainsi, voulant savoir l’épaisseur qu’il faut donner au sommet d’un revêtement qui aurait 3o pieds de

LIVRE I. DE LA THÉORIE DE LA MAÇONNERIE. 67 hauteur, il n‘y a qu’à chercher dans la première colonne le nombre 3o, et l’on regardera dans la quatrième le nombre qui lui répond : on trouvera 4 pieds 9 pouces 8 lignes pour ce que l’on demande, et ainsi des autres.

La cinquième colonne comprend l’épaisseur des mêmes revêtements, avec cette différence qu’au lieu d’être en équilibre avec la poussée des terres comme dans la quatrième, les épaisseurs qu'on y donne appartiennent à des revêtements dont la résistance serait au-dessus de l’équilibre d'un quart de la force de la poussée des terres. C’est-à-dire, par exemple , que si un mur de 3o pieds de hauteur est en équilibre avec 300 toises cubes de terre , en ne lui donnant que 4 pieds 9 pouces 8 lignes au sommet , comme dans la quatrième colonne , il pourrait en soutenir a5o, si on lui donnait l'épaisseur qui se trouve dans la cinquième , qui est de 5 pieds 1 1 pouces 1 ligne. Ceci répond à ce qui a été dit dans l’article 34 : on l’a calculé exprès pour servir à déterminer l’épaisseur des revêtements des terrasses , des quais , des chaussées , etc. , auxquels ne voulant point faire de contreforts, on est bien aise de mettre leur résistance au-dessus de la poussée des terres, afin d’agir en toute sûreté; au lieu que si l’on était attaché précisément à l’équilibre, il eût été à craindre que les ébranlements causés par les voitures ne produisissent des secousses qui auraient pu mettre par accident la ]>oussée des terres au-dessus de la résistance du revêtement. Malgré cette précaution , je conviens que les quatre ou cinq premiers termes de cette colonne ne donnent point assez d’épaisseur aux murs qui leur répondent, pour pouvoir s’en servir sans contreforts, parce que dans la pratique on ne doit point absolument considérer la maçonnerie comme indissoluble, surtout quand elle est nouvellement faite : mais à l’exception de ces trois ou quatre termes-là , auxquels il est à propos d’avoir égard , on pourra se servir des autres sans crainte.

11 semblera peut-être , selon ce ()ue je viens de dire , que la quatrième colonne est assez inutile, puisqu'on lui préférera toujours la cinquième: mais comme c’est elle qui donne le point d’équilibre, pour augmenter la puissance d'un quart , et que d’ailleurs elle nous servira dans la suite quand nous parlerons des contreforts, il était nécessaire de ne pas l’omettre.

Quant à la sixième colonne, elle donne l’épaisseur du sommet des

revêtements des remparts à la hauteur du cordon, dans le cas où ces remparts soutiendraient un parajjet, et feraient équilibre ]>ar leur résistance à la poussée des terres qui composent le rempart et le parapet. On ne parle point de ce dont il faudrait augmenter l'épaisseur de ces revêtements pour mettre leur résistance au-dessus de la poussée des terres, parce que cela aurait été inutile à cause qu'il convient mieux d’y ajouter des contreforts, pour les raisons qu’on verra dans le cinquième chapitre.

Les termes des quatrième , cinquième et sixième colonnes servant à donner l'épaisseur du sommet des revêtements, on n’a pas parlé de celle que doivent avoir leurs bases, parce que, pour la trouver, on n’a qu’à ajouter à celle du sommet la cinquième partie de la hauteur du revêlement qu’on veut élever. Par exemple, si l’on ajoute 6 pieds à 4 pieds g pouces 8 lignes, l'on aura 8 pieds g pouces 8 lignes pour l’épaisseur que doit avoir sur la retraite un revêtement qui aurait 3o pieds de hauteur, et qui selon la quatrième colonne serait en équilibre avec la poussée des terres : il en sera de même pour tous les autres revêtements des cinquième et sixième colonnes.

Comme les hauteurs des revêtements qui sont dans la première colonne vont en augmentant de 5 pieds, n’ayant pas voulu suivre la progression des nombres naturels, à cause que la table eût été d’un trop grand travail , il est bon de dire quelque chose sur ce qu’il convient de faire quand on voudra chercher l'épaisseur d’un revêtement dont la hauteur ne se rapporterait pas précisément avec quelques-uns des termes delà première colonne; par exemple, s’il s’agissait d’un revêtement de a8 ou ag pieds de hauteur , on pourra prendre l'épaisseur qui répond à 3o , quoiqu’elle soit un peu plus forte qu’il ne faut. Mais si la hauteur était de a(i ou 37 pieds, il faudra, dans le cas d’équilibre, ajouter l'épaisseur qui répond à 3o pieds, avec celle qui répond à a5 , et prendre la moitié de la somme; c'est-à-dire 4 pieds g pouces 8 lignes, avec 4 pieds 7 lignes, pour avoir 8 pieds 10 pouces 3 lignes, dont la moitié est 4 pieds 5 pouces 1 ligne, qui est ce que l’on demande : on pratiquera la même chose pour la cinquième et la sixième colonne.

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