PRINCIPE TIRÉ DE LA MÉCANIQUE

3o. Si l’on a un poids H sur un plan incliné AC, et une puissance K p, u qui soutienne ce poids selon une direction EK parallèle à l’iioriion, il ne. i. est démontré dans la mécanique que la puissance K est au poids, comme la hauteur AB du plan incliné est à la longueur BC de la base; or si l’on suppose que la hauteur AB soit égale à la base BC, c’est-à-dire que la ligne AC soit la diagonale d’un carré, la puissance sera égale au poids. Mais comme cest la même chose que la puissance tire de E en K, ou soit appliquée au poids même, comme est la puissance P qui pousse par une direction diamétrale EG parallèle à l’horizon, on peut dire que la puissance P a besoin d’une force égale au poids II pour le soutenir en équilibre.

Principe d’e.xpéricnce.

3i. C’est une chose démontrée par l’expérience, que les terres ordinaires, quand elles sont nouvellement remuées et mises les unes sur les autres sans être battues ni entrelacées par aucun fascinage, prennent d’elles-mêmes une pente ou talus, qui fait avec l’horizon un angle de 45 degrés, ou qui suit la diagonale d’un carré. Je dis que cela arrive aux terres ordinaires : car nous n’ignorons pas que si elles étaient sablonneuses, elles ne fassent un angle plus aigu, et qu’au contraire si elles étaient grasses et fortes elles n’en fassent un plus ouvert; mais pour tabler sur quelque chose de fixe, nous avons supposé une terre qui tiendrait un milieu entre ces deux-ci.

Prévenus de cela, imaginons que contre une muraille A on ait ra- Fie. a. masse des terres soutenues de l’autre côté par une surface DE, qu’une

4o la science des ingénieurs,

puissance Q qui la maintient peut ôter librement. Ces terres étant renfermées dans l'espace BCDE comme dans une caisse dont le profil CD .serait un carré, il est constant que, si l’on ôtait la surface DE pour laisser aux terres la liberté d'agir, il s’en éboulerait une partie , et qu'il ne resterait que celles du triangle CBE, et que par conséquent la puissance Q soutient toute la poussée des terres du triangle BDE, je veux dire l'effort quelles font pour rouler le long du plan incliné BE. Il s’ensuit donc que la puissance Q aurait besoin d'une force exprimée par le triangle BDE, si effectivement les terres s'éboulaient avec autant de facilité qu’un corps sphérique roule sur un plan incliné bien poli ; mais comme leur ténacité fait que leurs parties ne peuvent se détacher pour s’ébouler sans rencontrer beaucoup d’obstacles, il est certain , comme l’expérience le fait voir, quelles ne font pas seulement la moitié lie l'effort contre la surface DE qu'elles feraient, si elles étaient ramassées dans un corps sphérique. Ainsi on peut donc considérer la puissance Q comme équivalente à un plan qui serait exprimé par la moitié du triangle BDE, pour être en équilibre avec la poussée des terres; ce qui convient d’autant mieux avec la pratique qu’on ne les emploie jamais pour élever des remparts , des terrasses , des chaussées , etc. qu’elles ne soient bien battues , et qu’on n’en ait pour ainsi dire augmenté la ténacité.

Comme c’est sur ce principe que nous agirons dans la suite, on remarquera que, si l’on suppose les lignes BD et DE chacune de deux pieds, la superficie du triangle sera de deux pieds carrés ; et la puissance Q n’en soutenant que la moitié , on peut dire rjue la force de cette puissance dans l’état d’équilibre sera exprimée par un pied carré.

PROPOSITION PREMIÈRE

Problème.

3a. Qui enseigne comment il faut calculer la poussée des terres pour régler F épaisseur des murs qui les doivent soutenir en équilibre. '

Etc. 3. Pour savoir quel cfl'ort font les terres derrière le revêtement BCDE, je prends la ligne AB égale à BD, pour avoir le triangle rectangle et isoscèle ABD , qui comprend toutes les terres qui poussent , puisque

LIVRE I. DE LA THÉORIE DE LA MAÇONNERIE. 4i par l’article 3i celles qui sont sous la ligne AD se soutiennent par elles- ' mêmes, l'angle ADX étant de 45 degrés. .Mais, comme ces terres agissent avec plus ou moins de force .selon qu’elles sont plus ou moins éloignées du sommet B, il faut faire en sorte de rapporter toute la poussée au point B. Pour cela, je divi.se la hauteur BD en un grand nombre de parties égales, par exemple en autant de parties qu’elle contient de pieds: ainsi, supposant qu’il soit question d’nn revêtement de i5 pieds de hauteur, ou aura i5 parties égales, et si par chaque point de division l’on mène à la ligne D.A le.s parallèles HG, NM , PO, flQ, etc. , l'on aura d’abord un petit triangle HGB, ensuite une. quantité de trapexes qui vont toujours en augmentant, et qu’on doit considérer comme autant de puissances qui poussent le mur. Or, pour savoir la poussée de chacun, commençons per le triangle HGB, qu’on peut regarder, selon l’article 3i, comme un corps posé sur le plan incliné LGII, qui agit contre la surface BH pour la renverser : si l'on nomme h l’elTort que fait le triangle contre la surface, on jiourra, connaissant la poussée du triangle, connaître aussi celle de tous les trapèzes qui sont immédiatement après; car, comme le trapèze GN est triple du triangle HGB, son effort contre- la surface HN .sera 3 i, et la poussée de tous les autres trapèzes suivants pourra être exprimée par les différences des carrés des termes d’une progression' arithmétique, ce qui donne cette progression 3 é. 5 6. 7 9 i. i vb. i3 b.' i5 b.- lyb. 'ijj b. ai b. a3 b.

a5 b. urj b. ag b. Or, si l'on suppose ijue l'action du. triangle HGB, au lieu d'agir le long de la surface BH, soit réunie ,au point B, que l’action du trapèze GN soit réunie au point II, et qu’il en soit de même pour l’action de tous les autres trapèzes réunie aux points N, P, K, etc., on pourra concevoir qu’une puissance exprimée par h agit à l'extrémité B du bras de levier BD, qu'une autre exprimée par 3 b agit à l'extrémité H du bras de levier DH, et qu’en étant de même pour tous les autres trapèzes ou puissances, il y aura autant de leviers que de puissances, et ces leviers seront dans une progression arithmétique des nombres naturels, dont le premier terme sera le levier DB, et le plus petit le levier DK, de sorte que la progression des leviers ira en diminuant, tandis que celle des puissances ira en augmentant; car, si l'on range ces deux progressions l’une sur l’autre de manière que

LA SCIENCE DES INGÉNIEURS, chaque puissance réponde à son levier, l’on aura. b.'M/.Sb.'jb.cjb. Il b. i3 6. i5 i. 176. 19 /a ai b.di b. a5 b. V] b. 396. i5. i4- *3. 13. II. 10. 9. 8. 7. 6. 5. 4- 3- *•

Mais l’on sait que les efTets de plusieurs puissances a]ipliquées à des leviers, sont dans la raison composée de leur force et de la longueur de leurs leviers; c'est pourquoi, afin d’avoir l'effort dont chaque puissance est capable, il faudra la multiplier par son bras de levier, et la somme de tous les produits sera égale à l’elTort total de toutes les puissances appliquées à leur bras de leviers: mais, comme chaque puissance pourra être transportée à l’extrémité B du bras DB, en divisant selon l’article 1 1 le produit de sa force et de son levier par toute la longueur BD , on n’aura donc qu’à divi.ser les produits dont nous venons de parler par le diviseur commun i5, pour avoir b = 83,67 b; de sorte que, si l’on suppose 83,67^/, l’on aura bf pour l’elTort de toutes les puissances réunies au point B.

Voulant savoir présentement ce que bf vaut eu pieds carrés , il faut se rappeler que b a été supposé égitl à la poussée du triangle HGB contre la surface BH. Or, comme les côtés GB et BH de ce triangle sont chacun d’un pied, sa superficie sera de 6 pouces, et la surface BH n’en soutenant que la moitié par l’art 3i, à cause de la ténacité des terres, b sera donc de 3 pouces de pieds carrés : ainsi , multipliant 3 pouces par 83 pieds 8 ponces, le produit sera 30 pieds 8 pouces pour la valeur de bf.

Il est bon que je m'arrête ici un moment , afin d’expliquer pourquoi la ténacité des terres diminue leur poussée de la moitié de l’eflort quelles feraient derrière le revêtement, si au lieu d’agir comme elles fout, elles agissaient comme un corps sphérique qui serait sur le plan incliné AD, ou comme un coin ABD, dont toutes les parties seraient parfaitement unies.

Remarquez que le triangle GBH s’appuyant sur le trapèze MGHN, les terres de ce trapè/.e sont plus pressées que celles du triangle; de même que les terres du trapèze OMNP sont aussi plus pressées que celles qui sont dans celui de dessus; les terres du trapèze QOPR, plus pressées encore que celles du précédent, ainsi des autres trapèzes, qui seront toujours plus pressés à mesure qu’ils approcheront du plan incliné .\D: et

LIVRE I. DF. L.4 THÉORIE DE LA MAÇONNERIE. 43 comme tons ces trapèzes, depuis le plus petit jusqu'au plus grand, se surpassent également, on peut donc dire que leur pression ou leur téna* cité augmente dans la raison des termes d’une progression arithmétique, et que la ténacité qui est répandue dans tout le triangle ABD n’est que la moitié de ce qu'elle serait , si , sc trouvant uniforme dans chaque trapèze, elle était égale à celle du dernier. Or, comme la poussée des trapèzes derrière le revêtement CD doit diminuer dans la même raison que leur ténacité augmente^ il in’a paru que, pour 'y avoir égard, il fallait ne prendre que la moitié de la superficie du petit triangle OBH |)our la valeur de la puissance b: ce que j'ai fait avec d'autant plus d'assurance que je me suis aperçu que tons les calculs que j'ai faits pour trouver l’épaisseur des revêtements , sc rencontraient parfaitement bien avec ce que l'expérience a pu autoriser: ainsi je finis cette digression pour reprendre la suite de l'article précédent.

Mais, comme les pieds carrés que nous venons de trouver ne .sont point homogènes avec ceux qui doivent exprimer la valeur du poids Y, les uns provenant du triangle de terre .ABD , et les autres du profil de maçonnerie CD, il faut donc , en suivant ce qui a été dit dans l’article 5,

< faire une réduction dans les premiers, c'est-à-dire prendre les deux tiers de ao pieds 8 pouces, parce qu’un pied cube de terre pi’se moins d’un tiers qu'un pied cube de maçonnerie, et pour lors b/, ou la puissance, ne vaudra que i3 pieds g pouces 4 lignes (t).

(*) Les l)vpotbè3c.4 de Bélidor sur b manière dont s'exerce la pmssée des terres sont encore plus fautiTcs que celles qu’il a faites ci-dessus sur l'état du mur dont elles sont revêtues. Ces dernières sc réduisent en effet à considérer le mur dans un état de perfection qui est une sorte de limite que l'exécution ii'atieiut jamais, mais dont elle peut approcher plus ou moins, tandis que les premières sont complètement arbitraires.

Ces hypothèses reviennent : t“ à considérer le triangle de terre qui doit s'ébouler, comme décomposé par des pians parallèles à celui du talus en tranches qui tendent toutes à descendre librement comme des corps posiis sur des plans inclinés ; a" à regarder l’effort que chaque tranche exerce contre le mur comme une force horizontale, égale au poids de cette tranche, et appliquée au point du mur qui répond à son extrémité inferieure; 3® à imaginer que, par l'elfet de b cohésion, cliacune de ces forces doit être réduite à moitié. Il est visible qu'independamment de ce que Bélidor suppose

/l4 LA SCIENCE DES INGÉNIEURS,

Présentement que Ion est prévenu de la valeur de la puissance, il ne s^agit plus que de chercher, comme on l'a fait dans le chapitre précédent, quelle épaisseur il faut donner au sommet BC et à la base DF du revêtement pour qu'il soit en équilibre par son poids avec cette puissance, ou, si l'on veut, avec la poussée des terres. Pour cela , nous supposerons que la puissance, au lieu de pousser de M en B, tire de B en T, ce qui est la même chose; et menant du point d'appui F la perpendiculaire FS sur lu direction BT, on prendra cette perpendiculaire à la place du bras de levier FB; et c'est par cette même raison que nous avons regardé ci-devant la ligne BD comme un bras de levier, dans la longueur duquel était appliqué un nombre de puissances, parce que cette ligne est égale à la perpendiculaire FS, et que par conséquent on peut prendre l’une pour l’autre. Nous aurons donc le levier recourbé SFZ: ainsi nommant SF ou CE, c; EF, cl; l'épaisseur BC ou DE,/;

toujours l'angk* di^s talus iIc ^ns avertir que ces calculs devraient être modifiés suivant les (lilTcrenies espèces de terres , chacune de ces suppositions est non-seulement fausse, niaia encore trè$«éloignée de la véritable manière dont la poussée des terres s'exerce, et peu propre à la représenter dans le calcul; quelques-unes sont même contradictoires, puisque, comme Ta remarque M. de Prony, le^ lames ou tranches formt^s par des plans pantUèles à celui du talus n’ont aucune tendance à glisser , ce ne peuvent produire aucun effort contre le mur. On en jugera mieux après avoir lu la note placée à la fin du livre.

Nous ajouterons seulement que la critique que fait M. Mayniel, sous-directeur des fortilications, de cette théorie ( Traité de la poustée des terres, page 6o ) , porte entièrement à faux. M. Mayniel dit que la théorie de Bélidor est 4'antant plus défec* tueuse, ^u*il suppose que Taction totale des terres s'exerce au sommet de V obstacle , tandis qu'il est plus naturel de supposer, comme l'expérience le démontre, que la résultante passe par le centre de gravité de la masse de l'êbouUment. Il est évident, par le texte et par ce qui précède , que Bélidor ne suppose point que l'action totale des terres s’exerce au sommet de l'obstacle. La insultante de toutes les forces horizontales quü considère comme l'effet de la poussée des trapèzes passe au tiers de la hauteur du mur , conformément à la vraie théorie; et si, pour la commodité du calcul, il la transporte au sommet du mur, U a soin de diminuer la valeur de cette force en raison de l'augmentation de son bras de levier. Il paraît donc que M. Mayniel avait mal compris la théorie de Bélidor. On doit lire avec défiance la plupart des observations contenues dans son ouvrage {N).

. LIVRE I. DE LA THÉORIE DE LA MAÇONÎTERIE. 45 le poids V sera ? et le poids Y sera cy ; si l’on réunit le poids V au poids Y et qu’on multiplie leur somme par le bras de levier ZF, on aura un produit égal à celui de la puissance T par son bras de levier SF, avec lequel on formera cette équation + cdy + j. bçf ;

de laquelle dégageant l’inconnue il viendra j=V/( a -f }—</, qui donne ce que l’on cherche (i).

J’ai abrégé les opérations qu’il a fallu faire pour trouver la valeur de Y, parce qu’elles ont été expliquées amplement dans l’article aa : j’en userai ainsi dans la suite quand il s’agira de la même formule.

APPLICATION

Il est bien aisé à présent de mettre en pratique ce que le problème précédent vient de nous enseigner; car la dernière équation nous montrant que pour avoir la valeur de.)' il faut doubler celle de la puissance X, ajouter le tiers du can-é de la ligne de talus, extraire la racine carrée de la somme de ces quantités, et en retrancher la ligne de talus; ayant trouvé que hf vaut i3 pieds g pouces 4 lignes, a b/ vaudront ay pieds 6 pouces 8 lignes, et comme la ligne de talus EF est de 3 pieds, ce qui est la cinquième partie de la hauteur EC, ajoutant donc à la valeur de ai/, 3, qui est égal à J d\ l’on aura 3o pieds 6 pouces 8 lignes, dont la racine carrée est de 5 pieds 6 pouces a lignes, qui est l’épaisseur qu’il faut donner à la base DF du revêtement; par conséquent, si l’on en retranche la valeur de la ligne de talus qui est 3 pieds, il restera a pieds 6 pouces a lignes pour l’épaisseur du sommet BC.

En suivant la même règle, on trouvera qu’un revêtement de ao pieds de hauteur doit avoir au sommet 3 pieds 3 pouces 5 lignes, et sur la retraite y pieds 3 pouces 5 lignes; qu’un autre de 3o pieds doit avoir

(i) M. Mayniel ( Traité de la poutsée des terres, pagr 6i ) remar<|ue que la valeur de J devait être celle qui est énoncée ci-dessus, et non/ = ✓ ( a ^ -J rt/" — d, telle qu'on le trouve dans la première édition de la Science des Ingénieurs. Si M. Mayniet avait lu quelques lignes de plus, il aurait reconnu que l'erreur prétendue qu'il relève n'était qu'une faute d'impression (fl). '

pour épaisseur au sommet 4 pieds 9 pouces 8 lignes, et sur la retraite

10 pieds 9 pouces 8 lignes.

Remarque première.

33. On voit que la valeur de y est un tant soit peu plus grande qu’elle ne devrait être naturellement : car, quand nous avons supposé que reffort du triangle HGB était réuni au point B, nous avons donné un peu plus de fore à ce triangle qu’il ne devait en avoir, parce qu’agissant le long de la ligne BH son action diminue à mesure qu’elle approche du point 11, le bras de levier n'étant plus si grand; c’est-à-dire, par exemple, que le triangle ne faisant point autant d’effort au point I qu’au point B, à cause que le bras de levier H) est plus petit que Bü, on a augmenté la force qui agit au point I en la supposant en B de la différence qu’il y a du bras IDau bras BD; ainsi de tous les autres points de la ligne BH ; et comme nous avons agi de même pour les trapèzes qui sont après le triangle, en supposant leur effort réuni aux points HN , etc., l’on voit que toutes les différences des bras de leviers jointes ensemble donnent un peu plus de foree à la puissance qu’elle ne devrait en avoir. Mais ceci n’est pas un défaut, caria pui.ssance étant un peu au-dessus de ce quelle doit être , il faudra donner au revêtement un peu plus d'épaisseur qu'il n’en faudrait pour un (>arfait équilibre; et c'est ce qu'il faut absolument, puisque, quand même l’on aurait trouvé dans la dernière justesse ce point d’équilibre, il faudrait toujours donner plus d’avantage à la puissance résistante qu’à celle qui agit: ainsi, le calcul précédent est fort bon dans la pratique. Cependant cela n’empêche pas que l’on ne puisse, quand on voudra, trouver la valeur de y la plus approchante qu’il est possible, en divisant la hauteur du mur en un si grand nombre de parties que la différence des bras de leviers soit fort petite : on en sera quitte pour faire un calcul beaucoup plus long que le précédent; mais ce serait .s'arrêter à la vétille que d’y prendre garde de si près. Ainsi, on ne peut mieux faire que de donner toujours aux progressions des puissances et des leviers autant de termes qu’il y a de pieds dans la hauteur du mur.

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