LA SCIENCE DES INGENIEURS, PROPOSITION TROISIÈME

Problème.

38. y autant augmenter t épaisseur d'un reve'tement qui serait en équilibre avec la poussée des terres, on demande de combien la résistance de ce revêtement deviendra plus forte quelle n'était, par suite de l'augmentation qu’on veut faire.

Pour résoudre ce problème , nous supposerons que a exprime l'épaisseur au sommet d’un revêtement quelconque, quand la résistance du mur est égale à la poussée des terres; que m exprime la nouvelle épaisseur composée de la première et de l'augmentation proposée. Cela posé, si dans le premier membre de l'équation f + udy + ^ d" ■= ubf, nous avons vu, art. a.t, que le poids était en équilibre avec la puissance) , l'on met a au lieu de y, l’on aura a' y- u ad + et pour la résistance dont le revêtement est capable , étant en équilibre avec la poussée des terres ; et mettant encore m à la place de )- dans la même équation , l'on aura m,' -t- umd -t- -j- d' pour la résistance du revêtement après avoir augmenté son épaisseur : par conséquent , le rapport que

a' y- iad

— ; 7- — dont on connaîtra la valeur

m -H a mti -t- -j- <r ’

en mettant des nombres à la place des lettres.

APPLICATION

Remarquez que le numérateur de la fraction précédente n'est autre chose que le carré àc a y- d , c’est-à-dire le carré de l’épaisseur de la base du revêtement , moins le tiers du carré de la ligne de talus, et que le dénominateur est aussi égal au carré de la base du revêtement dont on a augmenté l'épai.s$eur, moins le tiers du carré de la même ligne de talus. Or, s’il s'agit d’un revêtement de 3o pieds de hauteur qui soutienne un rempart avec un parapet, selon la sixième colonne de la table, l'épaisseur de ce revêtement au sommet dans l’état d’équilibre sera dc6 pieds 9 pouces , à tpioi ajoutant la ligne de talus qui est (> pieds, l'épaisseur de la base sera ta pieds 9 pouces, dont le carré est i6a pieds

nous cherchons sera égal à

LIVRE I. DELA THÉORIE DE LA MAÇONNERIE. 6i Cl pouces 9 lignes, duquel retrancliant la, qui est le tiers du carré de la ligne de talus, il restera i5o pieds pour la valeur de a' lad + tt , en négligeant les 6 pouces 9 lignes qui ne feraient qu'embarrasser. Mais si l’on veut augmenter de i5 pouces l’épaisseur en question, la base sera de i4 pieds, dont le cari-é est 196; d'où retranchant encore la, il restera 18.4 pour m‘ H- arf/« + -7- d"'. ainsi l’on aura-fîri q^i étant réduite donne à-peu-près -f; ce qui fait voir que les i5 pouces dont on a augmenté l’épaisseur du revêtement, le rendent plus fort de la cinquième partie de la force qu'il lui aurait fallu pour être en équilibre avec la poussée des terres.

PROPOSITION QUATRIÈME

3g. Connaissant la hauteur et les épaisseurs du sommet et de la hase d'un mur qui ne soutient aucune poussée, trouver quelle est la puissance avec laquelle il pourrait être en équilibre.

Si un mur AD est élevé à plomb des deux côtés, qu’on nommée sa Pl. III. hauteur .\C, a l’épaisseur AR ou CD, et x une puissance P qui tirerait ne. i. de A en K, le poids M sera ne: il est constant que le point d’appui étant en C , l’on aura x : ne ; ; -j- n : c, dont le produit <les extrêmes et celui des moyens donnent après la réduction n' = x.

Mais si le mur était comme le profil CA , c’est4-dire qu’il fût élevé à , plomb d’un côté et qu'il eût on talus de l'autre , il est certain que la puissance que l’on cherche tirant de E en Q ferait un effet tout différent (jue dans la figure précédente. Or , pour trouver la valeur de cette puissance,nous nommeronsDF, a; ¥A,d; la hauteur EF, c ; et la puissance Q, X •' P^*s^ > ayant réuni le poids O au poids N , et multi-

plié leur somme par leur bras GA, l’on aura un produit égal à celui de la puissance Q=x P‘“' perpendiculaire .AB; et si de chacun de ces produitSi.ron efface la lettre c , il viendra ~a‘ + ad + \d —y, qui fait voir que la puissance Q est égale à la moitié du carré de l’épaisseur CE ou DF , plus au tiers du carré de la ligne de talus FA, plus enfin à un rectangle compris sous DF et FA.

APPLICATIOjN.

Ou peut faire usage de cette proposition pour voir si des murs qui ne soutiennent rien peuvent servir de revêtement à des remparts qu'on voudrait élever derrière , puisque , cherchant dans la table à quoi peut aller la poussée des terres, on s'apercevra si ces murs ont assez de force; car, si le mur qui est élevé à plomb des deux cotés a , par exemple , 6 pieds d'épaisseur, la moitié de son carré sera i8; ainsi -il ne pourra tout au plus soutenir qu'une puissance équivalente à i8 pieds carrés.

De même, dans le second profd , supposant l'épaisseur DF de4pieds, la ligne de talus FA de 5 : suivant ce qu'enseigne l'équation 4- a' -+■ ad + ■{ d' =y, l'on trouvera que la puissance Q est de 36 pieds 4 pouces, et que par conséquent la poussée des terres qu'on voudrait lui faire soutenir ne doit point passer cette quantité.