LIVRE I. DE LA. THÉORIE DE LA MAÇONNERIE
PROPOSITION SECONDE Problème.
44- un revétcmtnt rie terrasse A BC D , et une puissance P <hnl
la force est supposée beaucoup au-dessus de la résistance dont le ra>cteinent est capable par son poids, on demande de quelle longueur il faudra faire les contreforts qu’on voudrait y ajouter, afin que le tout soit en équilibre avec cette puissance.
Pour bien entendre ce problème, il faut être prévenu que la hauteur CE du revêtement est supposée de 3o pieds, et qu'ainsi, selon la lègle générale , la ligne dè talus ED doit être de 6 pieds. Or, si ce revêtement avait des terres à soutenir, on verra dans la t.ible que la puissance équivalente à leur poussée, c’est-à-dire la puissance P, est de 5a pieds 6 p. 4 lign. , et que , pour mettre le revêtement en équilibre avec cette puissance, il faudrait donner 4 pieds g pouces 8 lignes à l’épaisseur BC du sommet. Par conséquent, si l'on diminuait cette épaisseur de quelque chose, c’est-à-dire , |>ar exemple , si au lieu de lui donner 4 pieds j) p. 8 lign. , on ne lui donnait que 3 pieds , la puissance étant toujours supposée la même, il est certain que le revêtement ne serait plus en équilibre , parce que le bras du levier I D sera raccourci, et le poids M diminué , ce qui mettrait la puissance beaucoup au -dessus de la résistance du revêtement. Cependant, comme on veut maintenir l’un et l’autre en équilibre, on prend le parti de faire des contreforts, et la question se réduit à savoir quelle longueur il faudra leur donner par rapport à leur épaisseur et à la distance où ils seront posés, afin qu’ils suppléent à l'épaisseur qu’on a donnée de moins qu’il ne fallait nu sommet BC.
Pour cela nous nommerons BC ou AE, a ; CE, cy ED , rf; GA ,y : et nous supposerons que n marque toute l’épaisseur AD de la base, afin d’avoir n = a -t-.d, et que la puissance P est toujours exprimée par If. Cela étant , le poids M sera ac et le poids N sera cd : à l’égard du poids L, il serait exprimé par cy, si le rectangle FA était le profil d’un mur qui régnât sur toute la longueur du revêtement; mais n'étant que celui des contreforts, il faut, comme nous l'avons dit dans l’article 4o,
LA SCIENCE DES INGÉNIEURS, avoir égard à lear distance et à leur épaisseur. Or, si l'on suppose que de l'espace LMON qui règne derrière le revêtement , il n’y en ait qu’un quart qui soit occupé par les contreforts ; c’est-à-dire que donnant, par exemple, 4 pieds à l’épaisseur BC ou EF de chaque contrefort, ou en laisse I a d'intervalle de C en D, tous les contreforts pourront être exprimés par -j cy, de même que tout le revêtement ABCD par ac + -^ cd. Il ne s'agit donc plus que de réunir les poids L et N avec le poids M pour ne faire ensemble qu’un seul poids O qui fasse le même eilèt étant susj)cndu au point 1 par rapport au point d'appui D , qu’ils font étant suspendus en 11 et en K. Pour cela, l’on sait qu’il faut multiplier le poids N = 7 cd par son bras de levier KD = ~ cd de même que le poids L =-7 cy par son bras de levier H D = n -I- -j-.V, et diviser chaque produit par
Je bras ID = -fa -I- «, et qu alors Ion aura — l-ar
pour la valeur du poids O. Or, multipliant ce poids par son bras de levier 1 D, l'on aura un produit égal à celui de la puissance P — bf par son bras de levier DQ = c ,• par conséquent cette équation -H 6 cny
+ C(t 12a’ c-t- i!\acd = i,[\bcf\ d'où effaçante, et faisant passer du premier membre dans le second les termes où l'inconnue ne se trouve
point , l’on aura f -t- %ny = %bf — 4«’ — %nd 7 d'. Si on ajoute n’
de part et d'autre de cette équation pour rendre le premier membre un rarré parfait, l’on aura f -t- a/ij -t- n' — — l^a' ~ 8 ad^A^d' -i-
d’où extrayant la racine carrée et dégageant l’inconnue , il viendra pour dernière équation y=— « — 4“' — ^ad — -f rf’ '+ n’ ),
qui donne ce que l’on cherchait.
APPLICATION
Pour savoir en nombre quelle doit être la longueur des conti-eforts , )l faut se rappeler que l’on a supposé que la puissance bf valait 5a pieds 6 pouces 4 lignes , que a valait 3 pieds , rf, 6 ; a -I- ou n vaudra donc 9 pieds. Ainsi , en suivant ce qui est enseigné dans la dernière équation , l’on aura 8A/=42o pieds a pouc. 8 lign., 4“’ = 36, 8arf = i44i 4 =96, et n‘ = 81. Mais cette équation montre aussi qu’il faut ajouter ^bf avec c’est-à-dire 4^3 pieds 2 pouces 8 lignes avec 81 pour avoir 5oi pieds 2 pouces 8 ligues; et qu’il en faut soustraire 4a atf* 8<f et ^d' „
LIVRE 1. DE LA THÉORIE DE LA MAÇONNERIE. 69 ou leur valeur 36, i44i 96, qui font 976; et de la différence qui est aaS pieds a pouces 8 lignes, en extraire la racine carrée , (ju’on trouvera d’environ i5 pieds, de laquelle soustrayant n qui vaut 9 pieds, U différence sera 6 pieds pour la valeur de j', ou si l’on veut pour la longueur qu’il faudra donner aux contreforts.
lîemnrrjrte première.
45, Si l’on voulait que les contreforts et le revêtement, au lieu d’être en équilibre par leur résistance avec la puissance P , fussent capables de soutenir l’effort d’une autre puissance qui serait plus forte d'un quart que celle-ci , il faudrait, au lieu de supposer hf égal à 5a pieds 6 pouces 4 lignes , le supposer de G5 pieds 8 pouces ; pour lors les contreforts auraient 9 pieds 6 pouces 4 lignes de longueur, et non pas 6 pieds.
Remarque seconde.
46. Nous venons de supposer que l’espace LM NO, qui règne der- |.',c. rière le revêtement , était rempli par un quart de maçonnerie et par trois quarts de terre , parce que l’intervalle AB d’un contrefort à l’autre est triple de l'épaisseur BC de chaque contrefort ; et c'est pour cela que nous avons divisé la longueur EB par 4 , parce qu’en effet la ligne AC ,
qni vaut quatre parties égales , peut être regardée comme le dénominateur d’une fraction dont le numérateur est égal à la partie BC qui est un quart de toute la ligne AC. Mais si l’on voulait que les contreforts fussent plus près les uns des autres, en sorte qu’ils ne fussent éloignés , par exemple , que du double de leur épaLsseur , pour lors l’étendue qu'occuperont tous les contreforts sera a celui qui règne entre les deux parallèles LM et NO comme un est à trois : ce qui fait voir qu'au lieu de diviser la longueur inconnue des contreforts , c’est-à-dire x par 4 , il ne faudrait la diviser que par 3 ou par » , si l’on voulait que les contreforts ne fussent distants les uns des autres que d’un intervalle égal à leur épaisseur : enfîn , si l'on voulait que l’étendue occupée par les contreforts fût à tout l’espace renfermé par les parallèles comme s'est à 5,il faudrait multiplier / par % et le diviser ensuite par 5 , parce qu’alors L'on aura -j^/qui exprimera la réduction des contreforts; or, comme 5'
marque tout l’espace renfermé entre les parallèles, et a celui qui est occupé par les contreforts, si l’on retranche donc a de 5, il restera 3, et tes nombres deux et trois marqueront le rapport de l’épaisseur des contreforts à leur distance. Il est bon de faire attention à ceci , quoique ce ne soit qu’une bagatelle , parce que dans le problème suivant , où nous chercherons quel doit être le rapport de l’épaisseur des contreforts à leur distance, cela pourra nous servir.
PROPOSITION TROISIÈ.ME.
ElC. ti PaOBI.ÉME.
47. Jyant déterminé la longueur XO des contreforts , l'épaisseur "Qté. du revêtement et sa ligne de talus ED , on demande quelle épaisseur il /audra donner aux contreforts par rapport à la distance où il faudra tes éloigner les uns des autres, pour que toute la maçonnerie soit en équilibre avec la puissance P qui tirerait de C en Q.
Ou suppose encore ici , comme on l’a fait ailleurs , que la puissance P est beaucoup au-dessus de la résistance dont le revêtement ABCD est capable par son poids, et qu’ainsi il faut faire des contreforts pour donner nu revêtemeftt la force qui lui manque : or, comme dans le problème précédent nous avons cherché quelle longueur il fallait donner h ces contreforts pour rencontrer le point d’équilibre, ici l’on suppose que cette longueur a été déterminée, et qu’il s’agit seulement de savoir quel rapport il doit y avoir de l’épaisseur des contreforts à leur distance, afin qu’ils composent ensemble un massif suffisant pour rendre le revêtement capable de soutenir l’effort de la puissance.
Ayant nommé G A , A ; B A , c ,■ A E , a; ED , d,- A D , n ( ce qui donne n:= a + d); et la puissance P , bf, comme à l’ordinaire : l’on aura -j- cd pour le poids N , et ac pour le poids M. Quant au poids L, comme il ne doit exprimer qu’une partie du rectangle GFBA, on ne peut pas dire que c/i soit la valeur de ce poids, parce que ch doit être divisé par une certaine grandeur qui détermine le rapport de l’épaisseur des .conti-eiorts avec leur intervalle : or, comme on ne connaît pas cette
LIVRE I. DE LA THÉORIE DE LA MAÇONNERIE, grandeur, nous la nommeronî x, et pour lors le poids L sera—. Pré-
senteraent, si l’on réunit les trois poids D, M , N , en un seul O, et qu’on le multiplie par le bras de levier I O , l’on aura un produit égal à celui de la puissance P par son bras de levier DQ, qui donrïera cette
équation ^ ^ a' c + adc'+ \ cd‘ =. hcf, dont je n'ex-
plique point les opérations qui l’ont formée, parce qu’elles sont les mêmes que celles de la proposition précédente ; il suffira seulement de dire que, pour avoir la valeur de l’inconnue x , il faut d’abord effacer c de toute part, et faire passer-j- a‘ -t- «c/ + ^d' du premier membre dansie
second, afin d’avoir -I- — — 4- fP; d'où faisant eva-
uouir la fraction du premier membre , il viendra h' -t- a/iA = -xh/x — «’x — ^adx — -j-cf'x. Qr, si l’on divise cette équation par ai/ — a‘
' aad — I eP , elle sera changée en celle-ci X, qui donne la valeur de x.
ibf—tt'— tttd — i (é
APPLICATION
Supposant que la puissance P soit de G6 pieds, que GA ou A soit de 7 pieds , ED ou ci, de 6, A E ou n , de 3, l’on aura g pour la valeur de n. Cela posé, le dividende de l’équation précédente sera i^S, et le diviseur sera 63 ; ainsi, faisant la division, l'on aura pour quotient 2 -t- ^ ou ce qui est la même chose ^ = x, c’est-à-dire, qu’il faut diviser cA par .Mais comme ch divisé par est la même chose que ch, l’on voit que supprimant ch qui est inutile, et retranchant le numérateur du dénominateur, il vient qui marque le rapport de l’épaisseur qu’il faut donner aux contreforts avec l’intervalle dont ils doivent être éloignés les uns des autres. C’est-à-dire, par exemple, que si l’on donnait 4 pieds -j- d’épaisseur aux contreforts, il faudrait les construire à. 8 pieds les uns des autres.
PROPOSITION QUATRIÈME
Problème.
•l'io. î). j^yant déterminé la longueur GA dei contreforts^ leur épaisseur
et leur distance , de meme que la ligne du talus et la hauteur C E , t on demande quelle épaisseur il faudra domser au sommet hC du revêtement pour qu'il soit en équilibre par son poids avec une puissance qui tirerait de C en Q.
Nous nommerons GA , A; ED,rf; la hauteur CE, c; 1 épaisseur BC ou AE, X ; et la puissance, bf, comme à l’ordinaire. Or, comme l’on suppose que l’espace occupé par les contreforts est à tonte l’étendue LMNO, comme a est à 5, la réduction des contreforts, ou si l’on veut, la valeur du poids L sera donc-f ch, le poids M sera ex, et le poids N -~-cd. Si présentement l’on réunit ces trois poids dans un seul O, et qu’on multiplie ensuite ce poids par le bras ID, l’on aura comme cidevant un produit égal à celui de la puissance P par son bras de levier DQ ; par conséquent cette équation -f + cdx + 4- chx -t- -j ch' ■¥ -t-edh -t- ÿ cd} -t- bef^ d’où faisant passer du premier membre dans le second les termes où l’inconnue ne se trouve point, et divisant le tout par c, l’on aura -j- a:* -t- ( 8 -^-A) x = bf — ■{■ A’ — ’^dk— t-d • Mais
si l’on suppose n = rf -h -j- A l’on aura /»a; = (rf -t- -î-A)æ, et mettant nx à la place de sa valeur dans l'équation précédente, et multipliant le tout par 2 |)our faire évanouir la fraction -j- a;’ , elle sera changée en celle-ci «’ -h unx = abf — f- A' — • 4 A — f , à laquelle ajoutant n' de
part et d’autre, il viendra x’ -+- anx -t- n'= ubf n' 7 A’ ~dh i-
d' : or, si l’on extrait la racine carrée de cette équation , et qu’on dégage ensuite l’inconnue, on aura cette dernière j: = — n + \r'' {abf + n' — 4 A’ '-dh r), qui donne ce que l’on cherche.
APPLICATION
Si l’on suppose que la puissance bf soit de 55 pieds , que GA = A soit de 5 , et la ligue de talus ED de 4 , l'on n'aura qu’à faire les mêmes opérations par les nombres que celles qui sont indiquées dans la der-
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