FIG

et 5.

PROPOSITION PREMIÈRE

Problème.

4o. Ayant le profil ABCD d'un mur élevé aplomb des deux cotés , et soutenu par des contreforts représentés par le rectangle AEFC, on demande, si une puissance Q agissait rfe A en B pour renverser ce mur du coté du parement , ou une autre P rfe A en E pour le renverser du côté des contreforts , quel est le rapport de la résistance du mur dans ces deux cas, ou, ce qui est la même dusse, le rapport de la puissance Q à la puissance P, supposant r/u elles agissent chacune en particulier.

Considérez la figure 5, qui représente le plan de la maçonnerie du profil qui est au-dessus, dont les contreforts sont rectangles et égaux dans ce plan : l'on suppose que l’épaisseur Ll des conforts est égale à l'épaisseur CD de la muraille; que leur longueur FC est double de leur épaisseur, et que leur distance CL ou IK est double de la longueur FC. Ainsi, nommant l’épaisseur CD ou LI, a; FC sera sa, et CL ou IK sera Quant à la hauteur AC de la muraille et des eontreforts, nous la nommerons b. Cela posé, ab sera la valeur du rectangle AD, ramassé dans le poids N qui est suspendu dans le milieu de la ligne CD, et a ab sera la valeur du rectangle EC. Or, comme cette muraille n’a point de longueur déterminée, nous n’y aurons point égard : mais les contreforts étant à une certaine distance, et ne formant point de massif continu , comme la muraille fait dans sa longueur, on ne peut pas dire

Hération force» que se» différente» partie» opposent à leur séparation. Kn supposant celle foHîc proportionnelle à la surface de rupture , el observant qu'il faut lui attribuer dilféreiUes valeur» suivant que sa direction est perpendiculaire ou parallèle à celte surface, on peut représenter par de» équations la résistance d’un mur accompagne de contreforts de difi'érenles espèces; mais elles sont peu utiles dans la pratique, par la difficulté d'exprimer en nombres la valeur de la cohésion des maçonneries , valeur si sujette à varier par la nature des matériaux, le genre de construction, le temps écoulé depuis rexéciitioii du travail, le climat et la saison même dans lesquels il est exécuté {Nj.

LIVRE I. DE LK THÉORIE DE LA MAÇONNERIE. 65 que iab exprime le poids des contreforts, puisque pour cela il faudrait qu’il n’y eût point d’intervalle entre eux. Il faut donc réduire la valeur des contreforts, de façon qu’on puisse la considérer comme si elle régnait sur toute la longueur du mur; pour cela l’on n’a qu’à diviser a par 5, et l’on aura -j- ab pour l'expression du poids M , qu’on doit regarder comme équivalent à tous les contreforts réunis ensemble dans un de.s points de la ligne GM tirée «lu centre de gravité.

Présentement il faut réunir le poids M au poids N , en sorte qu’il pèse autant en H qu’il pèse en G par rapport au point d’appui D; ainsi je multiplie la valeur du poids M par son bras de levier GD = a«7 pour avoir a' b , que je divise par le bras H D = -f quotient est -fa û, qui étant ajouté avec le poids N = aû donne ^ ab pour la somme des poids M et N , réunis si l’on veut dans le seul poids. Maintenant, si l'on nomme .r la puissance Q , et qu’on considère les lignes H D et BD comme faisant un levier recourbé dont le point d’appui est en D, l’on aura BD = aû: HD=-fa;: 0 — qui donne cette équa-

tion bx =.-^ a' b , ou bien x = -ff a’, qui fait voir que la puissance Q est a*.

Si, au lieu de supposer le point d’appui en D, on le suppose en F , l’on aura le levier recourbé EFH, à l’extrémité d’un des bras duquel est encore le poids O, qui exprime toujours la muraille et les contreforts, et la puissance P à l’autre bras, laquelle étant nommée y donnera dans l'état d’équilibre EF = û : FH = -f a : : ~ ab-, y. D’où l’on tirej=4f a‘/parconséquentQ = x: P=j -ffa’ t-îfa’, ou comme treize est à vingt-neuf.

Remarque première.

4i. Cette proposition montre clairement qu’un mur qui a des contreforts résiste beaucoup plus à l’effort d’une puissance quand elle agit ans un sens opposé aux contreforts , que lorsqu’elle pousse du côté des contreforts mêmes, à cause de la différence des bras de leviers qui répondent à la base.

Remarque seconde.

4a. On remarquera encore que si dans les revêtements de fortifications et de terrassf» l'on n’avait égadr qu’à la poussée des terres, il vau-

œ l-A SCIENCE UES INGÉNIEURS,

(Irait beaucoup mieux faire les contreforts en dehors qu'eu dedans : cependant cela ne se pratique point ainsi , pour ne pas choquer la vue et pour d’aulres raisons qui se font assez, sentir. Mois quand il s’agit de soutenir les pieds droits d’une voûte, c’est alors qu’il faut absolument les placer en dehors, aOn qu’ils soient directrineut oppos(;s à la pou.ssée.

Itemarquf troisième.

43. Pour faire voir à quel point un mur qui soutient quelque poussée est capable de résister davantage lorsqu’il y a des contreforts que quand il n’y en a point, quoique la même quantité de m:i(,'unnerie subsiste de lia. 4 part et d’autre , augmentons par plaisir l’épaisseur CI) de la muraille de toute la maçonnerie qui est employée dans les contreforts. Pour cela je divise la longueur FC = aa par 5, pour avoir — a qui sera l'épaisseur RC réduite , qui étant ajoutée avec CD donnera a pour toute l’épais- I ic. 3 sfur i\i) px, du nouveau profil YX., qui étant multipliée par la hauteur YP = i donne-é«6 pour la valeur du rectangle YX réuni au poids T qui est su.spciidu dans le milieu \ de la ligne PX. Or supposant le point d'appui en X , et une puissance S qui tire de R en S , nommant cette puissance s, l’on aura dans le cas d'équilibre RX = h : XV = :, qui donne =z, et comme 4g ne dif-

ière de 5o que d'une unité, nous suppo.serons a'

Présentement, pour comparer la puissance Q = -îi<i*k la puissance S, on donnera à la seconde le même dénominateur qu'à la première , et pour lors on aura Q : S : : -77 : -|r (*’, qui étant réduite donne Q : S

: : i3 : 10. L'on peut donc conclure de tout ceci que plus les cpntretorls seront longs, et plus le bras de levier sera à l'avantage de la puissance résistante. C'est |X)urquoi , dans les occasions où l'on peut se dispenser de donner une grande épaisseur aux contreforts, il vaut mieux ei"ndre sur leur longueur que sur leur épaisseur la maçonnerie qu’on leur destine, afin que l'ouvrage en soit encore plus inébranlable.