LIVRE I. DE LA THÉORIE DE LA MAÇONNERIE

Il n'en est pas de même selon l’autre figure : car, comme la face BC présente un plus petit front, elle sera moins en prise, les angles obtus B et C se soutiendront davantage que les autres F et H. D'ailleurs les faces AB et BC ne se présentant que de biais, le boulet ne les choquera point avec sa force absolue. Ainsi la destruction ne pourra se faire que successivement, à mesure que les parties qui sont immédiatement derrière la ligne B C seront détruites ; et je ne doute nullement que s'il faut 4o coups de canon pour raser le contrefort FH, il n'en faille plus de 60 pour le contrefort. AC. Et comme il arrivera la même chose à tous les autres qui accompagneront ce dernier dans l'étendue de la brèche, on ne peut pas contester qu’un revêtement dont les contreforts sont plus épais à la queue qu'à la racine, ne se soutiennent bien plus longtemps que s'ils étaient faits comme ou les pratique ordinairement. Au reste, je ne veux rien décider absolument là-dessus; j'expose mes réflexions, on en fera l'usage qu’on jugera à propos. Ce que je pourrais dire pour justifier ce que j'avance quelquefois, et qui n’est pas conforme à l’usage , c'est que je ne rapporte rien qui ne soit établi sur des démonstrations.

Pour lier cette dissertation avec les propositions de ce chapitre, il est à propos de faire remarquer que, soit qu'on se serve des contreforts comnae CF ou comme H K, on résoudra tous les problèmes pré-E>c. cédents de la même fa^on que si ces contreforts étaient comme AB; puisqu’il u'y aura d'autre différence que dans la situation du centre de gravité. C’est pourquoi, quand ils seront comme CF,il faudra multiplier la superficie des contreforts par la ligne N Z, et quand on les fera comme H K il feudra la multiplier par P Z et non pas par O Z, à cause que le bras de levier est augmenté dans le premier cas, et diminué dans le seeond. A cela près, tout le reste se fera comme il a été enseigné.

M. Delormes, me voyant travailler à cet ouvrage, me dit qu’ayant démoli dans la dernière guerre plusieurs places du duc de Savoie, entre autres Pignerol, Verceilles, Hivrée et Verué, il avait remarqué que tous les contreforts des revêtements de ces places étaient liés ensemble par une arcade qui allait se terminer à la hauteur du cordon , et qu’audessus des arcades et des contreforts il régnait une espèce de banquette sur laquelle reposait la plus grande partie des terres du parapet. Cela lui a fait penser que, pour fortifier les revêtements contre la poussée dés.

terres et l'efTet da canon , et empêcher qne la brèche ne ae ilt aouitôt, on pourrait dans l’entre-deux des contreforts faire one arcade, qui, régnant sur toute leur longueur, contribuerait beaucoup à rendre le revêtement plus solide, sans être obligé de lui donner tant d’épaiasenr an sommet, surtout quand il s'agirait d'une hauteur de rempart considérable; et son dessein serait que, faisant ces arcades en plein cintre, la hauteur sous la clef fut environ les deux tiers de toute la hanteur du revêtement ou des contreforts depuis la retraite jusqu’au cordon. L'avantage de cette construction est que l'ennemi , après avoir ruiné la chemise, serait encore non seulement dans la nécessité de battre les contreforts, mais aussi de détruire les arcade.s qui seraient un grand obstacle à l’éboulement des terres et a l’avancement de la brèche, de sorte qu'à le bien prendre, il aurait deux revêtements pour un à ruiner.

Je viens d'apprendre que M. du Vivier, ingénieur en chef de Charlemont, a proposé depuis pteu un nouveau système de revêtement dans lequel il emploie quatre arcades l'une sur l'autre ponr lier les contreforts (i); et par là le revêtement devient si solide, qu'il lui suffit de donner trois pieds d'épaisseur sur la retraite comme au sommet , parce qu'il est fait à plomb devant et derrière, sans doute pour ne point exposer le parement aux injures de l'air, ce qui est une précaution que j'approuverai toujours , malgré tout ce que j’ai pu dire en faveur des talus. Mais, comme ce n’a été que dans l'esprit d'une théorie qui ne doit rien laisser échapper de tout ce qui mérite quelque attention , j'ai toujours entendu que quand il serait question d'élever des murs, on ne doit point se servir de mes remarques au préjudice des attentions qu’on doit avoir dans la pratique par rapport à la qualité des matériaux qu'on emploie, et aux autres circonstances inséparables de l’objet que Ton a en vue. Pour tout dire en un mot, quand on anra occasion de donner beaucoup de talus à un mur sans qu’il devienne contraire à sa durée, on ne doit point y manquer, parce qu'il faudra moins de (maçonnerie : mais si l'on s'aperçoit qu'il puisse devenir nuisible dans la suite, il

(i) Celte idée» été développée par M. Gaiithey, inspecteur -général dei pont» et cliaujtérs, et mile à exécution pour la construction du isur de quai de Chllons-sor- Saône. ( Vojei son Traité dt la Construction des ponts, tonte. 1", lir. Il, cbap. VI ), eliexFirmin Didot, libraire, rue Jacob, n“ 24

LIVRE I. DE LA THÉORIE DE LA MAÇONNERIE. 79 ▼■ut ittimx lui CD donucr moins et ne point s'embarrasser si l’on emploie plus de matériaux ; il arrivera toujours que si l'on perd d’un cote l’on gagnera de d'autre.

Je prévois que bien des gens qui ne jugent des choses que superliciellement, et même souvent sans les entendre, diront peut-être, après avoir lu œ que je viens d’écrire, que j'aurais pu me dispenser de prendre tant de peine pour déveIop|)er un sujet sur lequel on sait à quoi s’eii tenir depuis long-temps, puisque je ne dois point ignorer que M. de Vauban a donné un profil qui convient à toutes sortes de remparts. Je ne disconviens pas que ce profil ne soit bien imaginé : mais qu'il nie soit permis de demander si l’on a quelque certitude de la justesse de scs dimensions. Car, comme il n'est établi sur aucun principe démontré, il pourrait bien n'être pas si juste qu’on se l’est imaginé. Ce n’est pas an reste que je veuille en diminuer le mérite, je fais trop de cas de tout ce qui vient de son illustre auteur, pour m'émanciper dans une censure qui me siérait mal. Mais, comme le respect qu’on doit à la mémoire des grands hommes ne nous oblige point à recevoir aveuglément tout e» qui vient d’eux , je vais faire un parallèle du profil général avec les règles que je viens d’établir.

5i. Parallèle, du pro/d général de M. de Fauban avec les règles des chapitres précédents.

M. de Vauban , s'étant aperçu que les anciens ingénieurs n'étaient point d'accord sur les dimensions qu’il fallait donner aux revêtements de maçonnerie, les uns les faisant d’une épaisseur extraordinaire , et les autres leur donnant a peine celle qu’il fallait pour soutenir le poids des terres, a établi un profil général accommodé à toutes sortes de hauteurs de remparts depuis dix pieds jusqu’à quatre-vingts; et, quoiqu’il soit assez connu de ceux qui s’appliquent aux fortifications , il m’a paru que je ne ferais .pas mal d’en donner l’explication, telle qu’on la tient de M. de Vauban lui-même, avant d’entrer dans aucun détail, afin qu’on pût vérifier mes observations , sans être obligé d’aller chercher ce profil ailleurs. ..

i°Dans le paysoù la maçonnerie est fort bonne, on peut fixer l'épaisseur au sommet à 4 pieds et demi ; mais dans les lieux où elle ne le

sera pas, il faudra l'aaginenter jusqu’à 5 pieds 6 pouces, et même plus

si elle est fort mauvaise.

Fie. la a” Que les contreforts aux angles saillans doivent être redoublés et brasés de part et d'autre, par rapport aux lignes droites qui forment ces angles;

3® Qu’ils seront toujours élevés à plomb à l’extrémité et par les côtés, et bien liés au corps de la muraille ;

4“ Que les contreforts seront élevés aussi haut que le cordon; ils

' seraient encore meilleurs si on leur donnait deux pieds de plus pour le soutien du parapet;

5® Que dans les ouvrages où le revêtement n’est élevé qu’à moitié ou aux trois quarts du rempart, et le surplus en gazons en placage, il faudra régler son épaisseur comme s’il devait être élevé en maçonnerie jusqu'au sommet du rempart: par exemple^ si on élevait i5 pieds en gazon au - dessus du revêtement', il faudrait augmenter l’épaisseur au sommet de 3 pieds , avec 5 quelle aurait déjà , pour en avoir 8 à la naissance du gazon ;

6® Qu’il faut augmenter la grandeur et la solidité des contreforts à proportion de l’élévation du revêtement épar exemple , si le revêtement a 33 pieds de haut, savoir uoen revêtement et i5 en gazon, il faudra y faire les contreforts qui ont été réglés par le profil de 35 pieds de haut, et que le revêtement ait la même épaisseur à ao pieds de haut comme s'il en avait 35;

Que dans les endroits où on fera des cavaliers comme à Maubeuge, il faudra augmenter le sommet du profil d’un demi-pied d'épais pour chaque 5 pieds que le cavalier sera élevé au-dessus du revêtement , et la solidité des contreforts à proportion : ce qui doit s'entendre des gros revêtements de la place, et non pas de ceux que l'on fait quelquefois aux cavaliers , et seulement quand le pied du cavalier approche de trois à quatre toises du parapet;

8° Que les deux dernières colonnes de la table portent en toises, pieds et pouces cubes, ce que chaque toise courante de tous ces différents profils en contient , réduction faite des contreforts ;

()® Que CCS profils ne sont proposés que pour la maçonnerie qui doit soutenir des grands poids de terre nouvellement remuée, et non pas

LIVUE I. DE LA THÉORIE DE LA MAÇONNERIE. 8i celle qu’on endosse contre lu terre vierge qui ne l’a pas encore été , comme sont la plupart des revêtements.

M. de Vauban rapporte, à la suite de cette explication , une table composée de plusieurs colonnes , où les dimensions de chaque profil particulier qu’on voit contenues dans la figure, sont rapportées et proportionnées, à ce qu'il dit, au poids des terres qu’ils auront à soutenir; et, pour en marquer la bonté, il ajoute qu’on l'a éprouvée sur plus de Sooooo toises cubes de maçonnerie bâties à i5o places fortifiées par les ordres de Louis-le- Grand.

POUR EXPLIQUER LES DIMEKSIOMS CONTENUES AU PROFIL ' GÉNéRAL DE M. DE VaUDAN.

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Tons les revêtements depuis lo pieds jusqu’à 8o sont supposés avoir pour talus la cinquième partie de la hauteur, comme on peut en juger par la figure générale. Quoique la plupart des ingénieurs trouvent ce

fti LA SCI ENCE DES INGÉNIEURS,

talus trop grand , M. de Vauban l'a pourtant suivi dans toutes les places qu'il a fait bâtir; et, comme il y a apparence qu'il n'ignorait pas les misons que l'on a aujourd'hui d'en donner moins , il faut croire qu'il ne les a pas jugées assez fortes pour y avoir égard.

Pour ne jws se méprendre dans l'usage de cette table , j'ajouterai, au sujet des contreforts , que M. de Vauban propose de les faire de i8 pieds ' en i8 pieds, comme on le voit dans la quatrième colonne, ou bien de i5 pieds en i5 pieds, comme il est marqué dans le cinquième; c'est-àdire que si l'on estimait que le revêtement d'un des profils dont on voudrait se servir ne fût point assez solide pour soutenir le poids des terres, au lieu de donner i8 pieds du milieu d’un contrefort à l'autre, on n'en donnerait que i5. Apparemment que son dessein a été qu’on en usât ainsi lorsque le revêtement aurait à soutenir quelque chose de plus que le rempart ordinaire, comme serait par exemple un cavalier ou quelque retranchement , puisque dans les fortifications de Landau , du Neuf-Brisac, de Béfort, etc., il lésa mis à la distance de |8 pieds. Mais, d'une façon comme de l'autre, il donne toujours les mêmes dimensions aux contreforts; c’est-à-dire que soit qu’on les fasse de i5 pieds en i5 pieds, ou de i8 en i8, ils ont la même longueur et la même épaisseur à la racine qu'à la queue, comme on le voit dans la table.

Comme il entre plus de maçonnerie dans les revêtements dont les contreforts sont de i5 pieds en i5 pieds , que dans ceux ou ils sont de I S en I S, il a donné les deux dernières colonnes de la table. Dans la pénultième on y trouve en toises, pieds et pouces cubes (comme il l’a dit dans le huitième article de son explication), la valeur d’une toise courante des revêtements, y compris les contreforts réduits, lorsqu'ils sont de i8 pieds en i8 pieds; et la dernière est aussi la valeur d'une toise courante des mêmes revêtements lorsqu'ils no sont que de 1 5 pieds en i5 pieds. Mais on remarquera que cette valeur de la toise courante dans l’une, et l’autre colonnes ne doit être comptée que pour la maçonnerie des revêtements au-dessus de la retraite , parce qu'il n'y est pas question des fondements, à cause que la différenec du terrain peut les rendre plus profonds dans un endroit que dans l’autre.

On remarquera encore que, selon ce qui es» rapporté dans les septième et huitième colonnes , aussi bien qu’au profil général , tous les

LIVRE J. DELA THÉORIE DE LA MAÇONNERIE. contrefurU sont plus tpais à la racine qu'à la queue , et que cette épaisseur de la queue est les deux tiers de celle de la racine, laquelle va toujours en augmentant d’un pied à mesure que la hauteur des revêtements augmente de lo , et que la longueur des mêmes contreforts augmente de a pieds en suivant encore la proportion des hauteurs.

Aux l'ontrcfoi ts dont j'ai parié dans l’article 5o, j’ai supposé que la racint G K était double de la queue HI , parce que voulant les disposer t'io. dans un sens coutraire comme au contrefort CF, pour les raisons que j’en ai données, il m’a paru qu’il valait mieux faire la ligne EF moitié de CD que si elle en était les deux tiers, à cause que, selon l’article 5o, plus la queue des contreforts sera au-dessus de la râcine, plus le revêtement aura de force : c’est pourquoi je n’ai point suivi la pratique de AI. de Vauban.

Si l’on prend garde à la seconde colonne de la table , on verra qne les revêtements , à quelque hauteur qu'on veuille les faire , doivent toujours avoir 5 pieds au sommet. Ainsi , ils ne sont augmentés en épaisseur que sur la retraite, de la quantité dont la ligne de talus devient plus grande à mesure que l’élévation est plus considérable : ce qui ne rendrait pas ces revêtements proportionnés à la poussée qu’ils ont à soutenir, si ce défaut n’était réparé en partie par l’augmentation qu’on doit faire aux contreforts, selon ce qui est dit dans le sixième article de l'explication. Mais voilà le proBI général suffisamment détaillé : passons au parallèle que je me suis proposé.

Quand on est accoutumé d’agir selon les principes des mathématiques , on se fait aisément des difficultés. A moins que l’évidence ne règne dans tout ce que l’on nous donne pour juste, l’esprit n’est point satisfait , et ce qui parait indubitable aux yeux de tout le monde donne souvent de grands sujets d’inquiétude aux géomètres. J’ai été long-temps dans cette disposition à l’occasion du profil général de M. de Vauban.

Ce profil , me suis-je dit plusieurs fois, doit être bon , puisque l’on s’en est toujours servi avec succès : cela vient-il de ce que les revêtements qu’on y propose sont en équilibre avec la poussée des terres ? ou serait-ce à cause qu’ils sont tellement au-dessus de cette poussée, qu’il ne peut jamais leur arriver d’être renversés Si c'en est là la raison , on emploie peut-être sans le savoir une grande quantité de maçonnerie superflue.

Si au contraire ils n’ont que les dimensions qui leur conviennent pour

être un peu au-dessus de la poussée des terres , on ne peut pas se hasarder à élever sur lui rempart , comme on le fait quelquefois , de cavaliers, des retranchements, ou quelque autre ouvrage pour se couvrir contre les commandements , parce que le revêtement se trouvant trop faible pour soutenir cette nouvelle charge , pourrait culbuter dans le fossé, comme cela n’est pas sans exemple. Ces réflexions me faisaient sentir qu’il fallait savoir calculer la poussée des terres pour y proportionner les revêtements quand on voulait les construire, ou bien pour savoir de quelle force ils étaient capables, lorsqu’étant une fois construits on voulait augmenter la chaîne. Or , comme c’est là ce que nous proposons d’examiner ici , nous nous attacherons aux six premiers revêtements du profd général , parce qu’il y a apparence qu’il en sera des autres qui les suivent comme de ceux-ci, et nous commencerons par chercher quelle est la puissance avec laquelle chacun d’eux doit être en équilibre, en leur supposant les mêmes dimensions qui leur répondent dans la table.

IC. 3i . Faisant abstraction de la petite muraille CN, à laquelle nous n’aurons jK)int égard , parce qu’elle est toujours la même dans chaque profd , et que d’ailleurs elle n’est plus guère d’usage , nous nommerons l’épaisseur ACou BD, a ; la hauteur CD, c; la ligne de talus DE, d; la longueur GB des contreforts h; la distance KE du centre de gravité des contreforts au point d’appui, n; et le rapport de l’espace qu’occupe chaque contrefort à l'intervalle où ils sont du milieu de l’un au milieu de l’autre,

sera exprime par

Cela posé, si l’on multiplie ch par l’on anra^^ , pour la valeur des contreforts réduite, laquelle étant multipliée par le bras de levier EK = n , il viendra ; multipliant de même le poids R = crf par son bras de levier ME = -j r/ , et le poids Q = a c par le sien LE , ajou-

tant ces trois produits ensemble , l’on aura

nchn

-t- acd + -\a'c + c +

-rcd", pour la valeur des poids P, Q, R , réunis au point L, et multipliés par le bras de levier LE égale, selon l’art. 23 , au produit du bras de levier AB ou ES par la puissance que l’on cherclie : laquelle étant

nommée x donne, en effaçant ad + ÿa‘ + -r d' = a: , qui est

LIVRE I. DE L.V THÉORIE DE LA MAÇONNERIE, K5 une équation générale qui conviendra à tel proSI de revêtement que l’on voudra, puisqu’il ne faudra avoir égard qu'à la valeur des lettres.

Voulant appliquer cette équation à un revêtement de ao |>icds de hauteur, on aura recours à la table de M. de Vauban ptour voir les mesures qui lui appartiennent , et l'on trouvera quef/=4»rt = 5,A=6, n = Il pieds 9 ponces 6 lignes. Comme l’épaisseur des contreforts est les deux tiers de celle de la raeine , et que par conséquent ces contreforts ont des trapèzes pour bases , remarquez que , prenant le jiroiil GC pour celui sur lequel nous opérons présentement, la ligne B(>, selon l’art. 10 , doit être divisée en trois parties égales, et celle du milieu H 1 coupée au point K, pour avoir le centre de gravité, de manière que Kl soit à KH dans la raison de l’épaisseur de la queue à celle de la racine , j’entends comme 3 est à 3 : ainsi Kl sera les -f de H I ou 1 B ; mais comme la ligne entière G B vaut 6,'HI ou IB ne vaudra que 3, à quoi ajoutant les -j- du même 1 B , l’on aura 3 pieds p pouces G lignes pour la valeur de KB , qui étant jointe à BE = a + d, donnera 1 1 pieds 9 ponces 6 lignes pour la valeur de n. Pour savoir aussi ce que doit va-

loir considérez que p doit marquer l’épaisseur de chaque contrefort, et q l’intervalle de leur milieu : ajoutant donc les dimensions de la ra.

cine avec celles de la queue, telles qu'on les trouve dans la table, je veux dire 4 pieds avec 3 pieds 8 ponces, l'on aura 6 pieds 8 pouces, dont la moitié , qui est 3 pieds 4 ponces, sera l’épaisseur moyenne des contreforts , et par conséquent la valeur de p. Quant à celle de q , elle sera toujours 1 8 , parce que c'est la distance du milieu d'un contrefort à l’au-

tre. Ainsi sera la même chose que , ou bien s Multipliant cette quantité par la valeur de n A, l’on trouvera ta pieds 5 pouces pour

L’on trouvera aussi que arf -i- -j- a’ vaut 3.3 pieds 6 pouces , et 4 1 'i

pieds 4 pouces.

Joignant donc tous ces nombres ensemble , il viendra 5o pieds 4 pour. 10 lign. peur la valeur de x, c'est-à-dire pour la puissance avec laquelle le revêtement de ao pieds du proBl général peut être en équilibre. C’est en faisant les mêmes calculs avec tonte la précision imaginable , que j'ai trouvé que le revêtement de 10 pieds de hauteur était en équilibre avec une puissance de a8 pieds 10 pouces , celui de 20 avec 5o pieds 4 poiic.

10 lignes, celui de 3o avec Si pieds i pouce ; celui de 4o avec is3 pieds I O pouces , celui de 5o avec 175 pieds 10 pouces, enfin celui de Co avec a37 pieds 7 pouces.

Pour savoir présentement le rapport de la résistance de chacun de ces revêtements avec les puissances qui exprimeraient la poussée des terres qu'ils ont à soutenir, il faut chercher la valeur de ces puissances pour 10, 20, 3o,4o, 5o et 60 pieds de hauteur dans la troisième colonne de la table que nous avons donnée, article 37, et l'on trouvera qu'elles sont équivalentes à i5 pieds 7 pouces, 4* pieds 5, pouces , 76 pieds 4 pouces , 1 17 pieds 8 pouc. , 170 pieds l pouce et a33 pieds, qui , étant comparés avec la résistance des revêtements, donneront jf, , TTTi 0“ à-peu-près .f, -f, -f, .v, qui fait voir

que le revêtement de 10 pieds, selon le profil général, est en état de soutenir une poussée double de celle qu'il soutient naturellement ; que celui de 20 est au-dessus de l'éfjuilibre d'un quart de la résistance qu'il lui faut ; que celui de 3o n'est au-dessus de l’équilibre que d’un huitième, celui de 4° d’un dix-neuvième, celui de 5o d'un vingt-unième , et celui de 60 d’un cinquante-huitième.

Comme les rapports précédents ont été trouvés par des règles incontestables, on ne peut douter que dans le profil général la résistance des revêtements ne diminue à proportion qu’ils ont plus d'élévation , puisque, tandis que celui de 10 pieds est au-dessus de l'équilibre de toute la poussée qu'il devrait soutenir naturellement , celui de Co n’a sa résistance que d’un cinquante-huitième au-dessus de l’équilibre, ce qui étant une différence fort petite, on peut regarder ce revêtement commc>en équilibre avec la poussée des terres. Ainsi, dans ceux qui sont j»lu.s élevés, il est à présumer que suivant les proportions du profil général la poussée deviendra au-dessus de la résistance, au lieu qu’il faudrait que le revêtement fut toujours capable de résister avec une force plus grande que la poussée , afin de n'avoir rien à craindre des accidents qui peuvent arriver, soit de la part des grandes ]>luies, qui au bout d'un certain temps peuvent augmenter considérablement le poids des terres, soit parles ébranlements qui arrivent quelquefois par le bruit du tonnerre ou du canon qu'on tire sur les remparts, qui pourraient produire des secousses capables de causer le renversement de quelque face d'ouvrages. D’ailleurs, quand même tous ces mouvements ne surviendraient

LIVRE 1. DE L.\ THÉORIE DE LK MAÇONNERIE. 87 point, il y a encore une raison pour mettre les revêtements beaui-oup au-dessus de la poussée : c'est qu'en temps de siège , quand un ouvrage est battu en brèche, la violence du canon ne peut manquer de causer un grand mouvement dans les parties de la maçonnerie et dans le.s terres , qui pourrait précipiter l'avancement de la brèche , si le revêtement se trouvant au-dessous de la poussée, comme je le suppose, il avait plus de penchant à culbuter. On me dira peut-être que c'est vouloir examiner les choses trop physiquement ; mais dans un sujet comme celui-ci il faut avoir égard à tout.

On fera encore attention que si , au lieu de donner 5 pieds d'épaisseur au sommet , on n'en donnait que 4 et demi dans les endroits où la maçonnerie serait fort bonne, comme il est dit dans le premier article de l'etcplication de M. Vauban , ce serait alors qu'on aurait tout à craindre du j)eu de résistance des revêtements de 4o , 5o , (io et 70 pieds de hauteur, puisqu'elle se trouverait au-dessous de la poussée des terres, (iar, comme je l'ai dit , art. i3, la liai.son doit être supposée ici la meilleure qu'il est possible ,’et on ne doit avoir égard qu'au poids et à la longueur du bras de levier qui répond à la base du mur, ce qui ferait croire que M. de Vauban n’a pas eu cette considération (i).

Malgré ce que je viens de dire, je ne regarde pas le profil ge'néral comme assez défectueux pour ne pouvoir pas s'en servir : rex[)éricncc qui prouve le contraire , ne serait pas de mon côté. Je voudrais seulement qu'on ne donnât pas tant d'épais.scur au .sommet des petits revêtements, et que pour plus de sûreté on en donnât davantage à celui des plus élevés , et je ne vois pas la nécessité de donner 5 pieds .au sommet de celui qui n'en aurait que 10 en hauteur, comme s'il en avait 80. Si l'on y fait attention , c'est justement de là que vient le défaut du profil general ; car, comme il faut que les proportions de toutes les parties de chaque revêtement augmentent ou diminuent dans la même raison , selon que l’élévation est plus grande ou plus petite ^ afin que la

(1) La conclusion à laquelle DéliJor est conduit en comparant la résistance du proHl de M. de Vaidun à la force de la poussée des terres , telle quelle est indiquée datis sa ubie, est très-juste ; elle l'est d'autant plus, ainsi qu'on le verra dans la note à la fin du livre, que cette table indique des valeurs trop faibles pour cette force, et d'autant plus faibles que la baitteur du revêtement est plus grande (fV).

l’ic. I

l'io. I

resiàtanco soit toujours proportionnée à la poussée , il n’y a point de doute que, si une des dimensions du profil demeure constante comme est ici relie du sommet; In poussée des terres ne soit au-dessous de la résistance des petits revêtements , et ne devienne au-dessus dé celle des plus grands. Il faut donc que le brus de levier LE augmente dans la ^ raison de la hauteur AB, pour que la proportion ne soit point interrompue, au lieu qu'elle ne peut manquer de l’être, tant que les lignes Bl), AC, demeureront toujours de 5 pieds, et que les trois antres AB , BG, D E , augmenteront ou diminueront.

Or, pour savoir de combien il faudrait augmenter l’épaisseur du sommet des grands revêtements, et diminuer celle des petits, pour les bien proportionner à la poussée des terres et rendre régulier le profil général, noas prendrons pour exemple celui de la figure i3, et nous nommerons GB,A; KB,g’,BD,j': l’on aura KE=^-»- / + et

scia la valeur des contreforts réunie autour du centre de gravité K , laquelle étant multipliée par le bras de levier K E donnera pchg -h- pchy pehd produit. De même, si l’on multiplie le

poids Q = cjpar LE=-7 r rf, et le poids R = -j- crf par ME = f rf, et qu’on ajoute ces trois produits ensemble , la somme sera égale au produit de la puissance A^par son bras de levier; ce qui donne, en

effaçant c de part et d'autre -\-phy phd ^ ^ ^ ^

f>/. Or, si l’on suppose n = ^ l’on aura — ^ + dy, et mettant ny à la place de sa valeur dans l’équation précédente , l'on aura phg+p^ ny=bf\ d’où faisant passer du premier

membre dans le second les termes où / ne se trouve point, et multipliant le tout par a ; il vient/ + a n/ = a b/ — -j- ^ (g — d),

ou /’, + arty J- n' = 0:bf+ n' rd' ^ (g- — rf), en ajoutant /?’

de part et d’autre , qui donne/ = — «-t-l/[aA/-»-n* — -rd" —

g rf)], qui est une équation qui conviendra à tel revêtement que

l'on voudra du profil général, puisqu’il n’y aura que la valeur des lettres qui en fera la différence.

MVRE l. DE I.A THÉORIE DE LA MAÇONNERIE. 89 Nous servant de cette équation pour savoir quelle épaisseur il faut donner au sommet d’un revêtement de 4<> pieds de hauteur, tiré du profil général, afin que ce revêtement soit au-dessus de la poussée des terres , de telle quantité que l’on voudra , par exemple d’un sixième de la même poussée, ce qui doit suffire , comme j’en ferai voir la raison dans la suite : il faut chercher dans la troisième colonne des puissances quelle est la valeur de celle qui exprime la poussée des terres du parapet et du rempart de 4o pietls ; l’on trouvera qu’elle est de 1 17 pieds 8 pouc. dont il faut prendre le sixième qui est 1^ pieds 7 pouces 4 lignes, lesquels étant ajoutés avec la valeur de la puissance même, on aura 137 pieds 3 ponces 4 lignes pour la valeur de bf, qui étant multipliée par a, afin de suivre ce qui est marqué dans l'équation , donne 1:74 pieds G pouces 8 lignes pour a bf; et , pour avoir de suite la valeur des quantités positives, remarquez que les contreforts pour 4» pieds, dans la table du profil général, ont 6 pieds de racine et 4 de queue, et que par conséquent l’épaisseur moyenne est 5, qui est la valeur de p ; comme la distance du milieu d'un contrefort à l’autre est toujours 18 pieds, l’on

aura dans ce cas-là — = , et comme nous avons n — — 4- d, ra vau-

dradonc 10 pieds 9 pouces 4 lignes, dont le carré est 116 pieds i pouce £ t lignes, qui étant ajoutés avec la valeur de aiy, donnent 3qo pieds 8 pouc. 7 lign. pour les deux grandeurs positives %bf n' ; et cherchant

la valeur des négatives — -^d' — — (l), on trouvera que leur somme est ii3 pieds 4 lignes qui, retranchée du nombre précédent, donne pour différence 277 pieds 8 ponces 3 lignes , dont la racine carrée est 16 pieds 8 pouces 9 lignes, d’où il faut retrancher la valeur de /i, c’est-à-dire 10 pieds 9 pouces 4 lignes, et il restera 5 pieds ii pouces 5 lignes, qui est l'épaisseur qu'il faut donner au sommet du revêtement de 4o pieds du profil gétiéral , pour que sa résistance sôit audessus de la pou.ssée des terres de la sixième partie de la force de cette poussée.

Cest en faisant les mêmes opérations relativement à la valeur des termes de la formule générale, qu’on trouvera que l’épaisseur au sommet pour le revêtement de 10 pieds doit être de 3 pieds 5 pojic. 4 lignes; pour celui de vingt , de 4 pieds 8 pouces 9 lignes ; pour celui de 3o, de

5 pieds 5 ponces g lignes; pour celui de 5o, de G pieds a pouces lo lignes; et pour celui de 6o, de 6 pieds 8 pouces lo lignes.

Convaincu, comme je viens de le prouver, que la plupart des revêtements du profil général n’étaient pas capables de toute la résistance I qui parait leur être nécessaire pour soutenir lu poussée des terres et

tous les ébranlements qui peuvent survenir, on sera sans doute surpris que tous ceux que l'on a construits se soutiennent en bon état depuis long-temps, sans qu’il leur soit arrivé aucun accident, ce qui semble détruire mes raisonnements, tout démontrés qu’ils soient. Cependant l’on verra que cela ne peut guère arriver autrement, si l’on fait attention que trois raisons en sont la cause; la première, c’est que les revêtements que l’on fait d'ordinaire aux fortifications passent rarement 35 à 4o pieds, et qu’à cette hauteur la résistance ne laisse pas d’être encore beaucoup au-dessus de la poussée, comme nous venons de le voir; la seconde, <|iie les terres n’ont jamais toute la poussée dont elles sont capables, parce que , quand on élève les remparts, on les entretient avec des lits de fascinage qui font quelles se soutiennent prestjue d’ellesniémes ; la troisième, c’est que le pied du revêtement est bien lié avec les fondements , lesquels étant enterrés ne peuvent pas facilement incliner du côté du fossé , quand même la résistance du revêtement serait au-dessous de l’équilibre. Joignons à cela que le sommet des contreforts étant couvert par 5 ou G pieds de terres qui composent le parapet , ces terres font l’effet d’une puissance qui contrebalance en partie l’effort de plusieurs autres puissances qui agiraient pour renverser le revêtement. C’est pourquoi j’ai dit ci-devant qu’il suffirait de rendre les revêtements capables de soutenir une (toussée qui ne fût que de la sixième partie au-dessus de celle que causent naturellement les terres qui sont élevées derrière. Car enfin les terres du para|tet agiront d’autant plus puissamment sur les contreforts pour les retenir, que ces contreforts seront plus longs : ainsi plus les revêtements seront élevés , et plus dans ce sens ils trouveront d’obstacles à incliner. Il n'y a que le cas où les terres du parapet seraient éboulées quand on bat en brèche , où il y aurait quelque chose à craindre, parce que le dessus des contreforts n’étant plus retenu, le revêtement pourrait culbuter si la résistance était audessous de l’équilibre. Quand je dis que cela pourrait arriver ici , si les terres du parapet cessaient d’appuyer sur les contreforts, je veux parler

LIVRE I. DE LA THÉORIE DE LA MAÇONNERIE. 91 de» revêtements qui sont fort enterrés, et dont l’assiégeant est un temps à ne battre que le sommet des ouvrages , sans pouvoir découvrir le reste : ainsi ou aura toujours sujet de rendre les revêtements plutôt forts que faibles.

Comme on s’est toujours bien trouvé des revêtements de 3o à 35 pieds de hauteur, en ne leur donnant que 5 pieds d’épaisseur au .sommet, il semble que ce que l’ou peut faire de mieux pour se servir en toute sûreté du profil général sans être obligé de faire tous les calculs que je viens de rapporter, c’est de donner 4 pieds d 'é|>ais.seur au sommet du revêtemeot de 10 pieds, 4 *-‘t demi à celui de 20, 5 à celui de 3o, 5 et demi à celui de 4<>, et ainsi des autres, dont on augmentera toujours l’épaisseur de 6 pouces, à mesure que la hauteur augmentera de 10 pieds : et à l’égard des autres dimensions, on les déterminera comme elles sont marquées dans la table du profil général. Pour lors tout sera bien proportionné et presque d’accord avec ce que peuvent fournir les règles les plus exactes. Il est vrai que l’épaisseur du sommet du revêtement de 10 pieds sera un peu plus grande qu'elle ne devrait l’êtrej mais ce revêtement en soutiendra plus long-temps l’effet du canon.

Tout ce que je viens de dire sert non seulement .à faire voir ce que l’on peut penser pour et contre le profil général, mais encore à mettre les gens du métier en état d’examiner les cho.ses avec précision , et par des voies qui mènent à la vérité, et dont les principes peuvent servir à quantité d’autres sujets qui auraient rapport à celui-ci. Ainsi’, quand même on resterait dans l'opinion de se servir du profil général tel qu'il est sans y faire aucun changement, cette dissertation n’en serait pas moins utile. C’est pourquoi il n’y a point d’apparence qu’on soit en droit de me reprocher d’écrire des choses superflues, puisque les mathématiques ont toujours cela d'heureux , que s’il leur arrive quelquefois d’être appliquées à des sujets qui paraissent de petite conséquence, elles s’y rendent au moins nécessaires par le tour qu’on leur a fait prendre ; rt c’est cette espèce de sagacité que je cherche sur toutes choses à insinuer à ceux qui veulent s’instruire sérieusement, et se mettre en état de juger avec des vues claires et distinctes de tout ce qui se présente (t).

(i) J'ai suivi dans le cours de ce livre l'exposition que fait Belidur de s.i théorie

9a LA SCIENCE DES INGÉNIEURS,

Taî pense plusieurs fois, en écrivant ce premier livre, que des personnes qui n'ont qu'une me'diocre connaissance de l’algèbre seraient peut-être embarrassées de savoir pourt|uoi , après avoir fait passer tous les termes ou se trouve l’inconnue dans le même membre, il fallait

lie la pouâiêe des terres, en remarquant les supposition» arbitraires et fautives sur lesquelles celte th(*orie est fondée. Je vais maintenant exposer en peu de mots la véritable analyse de ee problème, en indiquant le» ouvrages où on en pourra trouver le développement. Quant à son histoire, comme clic est exposée dans l’ouvrage de M. Mayniel , cité cî-dessus , je n'entrerai dans aucun détail à ce sujet, sur lequel on peut consulter aussi le Mémoire de M. de Prony , intitulé Recherches sur la poussée des terres , 1802 , page 38. J’observerai seulement que Coulomb est le premier qui, en lyyS, ait appliqué convenablement te calcul k cette question , mais que son travail parait avoir été négligé par toutes les personnes qui s’en sont occupées jusqu'en 1794» où M. de Prony relit l'analyse du problème dans sa Mécanique philosophique, en donnant à ce tralcul une forme qui , ainsi qu’on le verra plus bas, le conduisit à un nisultat d'une élégance et d’une simplîctté très-remarquables.

Bélidor s'étant occupé d'abord de la manière dont on devait évaluer la résistance d'un mur, j’observerai aussi en premier lieu que tous le» auteurs ont, comme lui, supposé que le mur ne faisait qu’une seule masse, dont les parties ne se séparaient point dan» le mouvement qu'il pouvait prendre en cédant à ta poussée des terres. Cependant, pour ne parler d’abord que des cas où le mur cède en tournant autour de farète extérieure de sa base, il est visible que dans ce mouvement il doit rester sur cette ba.se un prisme de maçonnerie qui ne sera point soulevé avec le reste du mur, ù moins que la force de cohésion de» mortiers ne soit plus considérable que l'elfct du poids de ce FIG. *7. prisme. Supposons que, dans le mur AC, DM soit la trace du plan qui sépare le prisme, et nommons m la tangente trigonométriqiie de l'angle A DM. Le moment de la force de cohésion sur DM (*), pris par rapport au point D , sera ; a* ( i -+* m* ) e,

(*) Le IbUmo d>de«M>iii centiem la boUIIoü eteployêe dtwê la coora de e«U« ooie.

l*’ gaaatUé* raUtiTo i l'action dea terra* «or 1* nar.

P = «me force boniOBtala qoi relicat 1« prun* d'éboutnaeBt dca terrea u>r 1« plan de raptor* g la ta potdi abaola de ce prUme.

isl'aofle qoe le plan d« roptorc fait arec la rertiealc. q s U force de cabéaioa de* terrai aar l'onité de sarfaea.

S S I4 Umgoaor de la ligaa aar Laquelle la eobéeion a lien.

/as la rapport de k preaMoa nort&ale aa froUanaBi daas lea tarrea-

T = l'angle dont 1a Uogeal* eat L,

» S= UBg. i T.

it s U peMDteur npccîGqar de» terres.

LIVRE 1. DE LA THÉORIE DE LA MAÇONNERIE. gî ajouter de part et d'autre le carré de la moitié du coelficient du second terme, pour faire de ce membre un carré parfait, et qu'un petit éclaircissement sur ce sujet pouvant leur faire plaisir, la remarque suivante ne serait point inutile pour l’intelligence des articles S3, s5, 26, etc.

et cxlui du poids du triangle ADM pris par rapport au iiictuc point , 7 n ma*. On aura donc pour lequation d'équilibre

7 ( I -(-««*) c = 7 n ma* y

d'où on déduit

En égalant à zéro le coefficient difîérentiel de cette expression , on en tire pour la taleur de m qui répond au mnj:ùnum , m = t j cl celle de c est alors > n a. Ainsi , l'angle ADM est la moitié d'un angle droit) cl la rupture se fem toutes les fuis qu'un aura c ^ 7 n Faisonsa = 5 met. et n = aaoo kil. : n a sera 4ooo kil. D'après les

expériences de M. Rondelet (*)) il parait que six mois apK*s la cun»truction la force v est environ i4ooo kil. Si on observe que ces expériences ont été faites sur de pi^ts cubes de pierre isolés, et que les mortiers sèchent très-lentement <lans rintérieur des massifs » on jugera qu'il doit s’écouler plusieurs mois avant que la valeur de c surpasse 4ouo kil. , et par conséquent qu’en évaluant dans cet intervalle la résistance du mur, U ne faudrait point tenir compte de celle du triangle AM D, qui est assez considérable pour influer sensiblement sur les dimensions de ce mur. Supposons , en effet , que A = la met.) le moment de stabilité du mur sera 7 a* A=i5o met. carr. , en supposant que le triangle AMD fasse corps avec lui. Mais le moment de ce triangle est 7 ri: 4I)73 met. car. Donc, s'il demeure isole du reste du mur, la résistance de ce dernier se trouve diminuée de plus d'un quart (*'). La dilTéreiice serait encore plus grande, si le mur avait des talus extérieurs ou intérieurs.

s* Qojoiiléi relatives 1 U réaîataoce do mor.

« » l’épaÛMor do mur (aH a dca talat, a’ut ré|)aJswor ao aonimet}.

S S la haotcPT do oiur.

d s U iBoitid dt ta dlaiaoce d'on eoalrefort à l'aolro.

« S U rap)>ort d« la btaa i U haotaor de ulua do pereoHOt estdiicor.

•* s U BStaa qoantité pose le partawol ialcrieer.

« ta Torec de cobéaion dca mortier» aar Vanité de aorface. rs U rcMalaace de la piètre é 1a praaioD eer Vuilé de aorfaee. n as U peaaDieor apéolfiqoe de U ma^ooncrie.

(*) jirt dâhéùr^ tome i, pa(t Si*.

(**} l^a raprricneee de M. Majoiel, et Vobavivatioe 4Q*il rappoite eo cr» tcinw» : Vu mer lU lo de

5a. Remarque sur la résolution des Problèmes du deuxième degçé.

Si l’on a (leux grandeurs liées ensemble par le signe + ou — comme r ± , je dis que le carré de ces deux grandeurs sera égal au carré de

la première, plus au carré de la seconde , plus ou moins le produit de la première par le double de la seconde ; ce qui est bien évident , puis-

Qluni au cas où le inur glisserait sur sa Ime, comme il n'a alors aucune tendance à se diviser, sa résistance est exprimée par une force horizontale égale au poids du mur , multiplié par le rapport du frottement à la pression , plus la valeur de la cohésion dans l’étendue de cette base. Le ras où le mur glisserait plutôt que de se renverser, ne peut se présenter dans la pratique que dans des circonstances très-rares , et qu'il vaut mieux chercher à prévenir par quelques procédés de cotistniction que de s'attacher à régler convenablement les dimensions de ce mur, qu’il serait d’ailleurs très-difâcile de fixer alors avec un peu d’exactitude.

Passons iiiainteiiant à l'évaluation de la poussée des terres.

Si on considère un massif de terres situé derrière un mur de revêtement , dont les molécules soient liées par une certaine force de cohésion, et qui, dans les mouvements qu elles peuvent prendre, éprouvent en glissant les unes sur les autres un certain frottement, et qu'on suppose qtie le rtinr vienne à céder un p«i , il se séparera un prisme de terre qui restera adhérent au mur, en ne formant qu'une seule masse jusqu’à l’entier déversement, et dont la pression contre le mur en occasionnera seule la chùtc. On }K>urra donc le considérer comme un corps solide, glissant sur Li surface de rupture (que notis supposerons être un plan, pour plus de simplicité), où il est retenu par la cohésion et par le frottement. Cela pose, on aura pour la valeur de P, dans le cas de l’équilibre ,

. P (J{cos.,—/sitt.()—ib

lin, ( ros -f- f cot. { ’

I)ui, en y subsiitiiant pour Q, i et/]es valeun qui cannennent à la question , et introduitant par Ica fomiulea de trigonométrie la tangente t — {, peut être mise aoua la forme,

P = ( .; a A* -J- Y A lang. t ) tang. , long. („ — j) — Y A tang. t.

En fai.aant varier dans cette équation l'angle ç, on trouve pour la valeur qui répond

rf.at la mafarntha. aa airma S. ,al , ta/cfmamt -a. lÿ»,

* niplara ,ai ,S, pa J.a, I, fn./ll On la Jiagaaal, J'a. wnf ,at ,S, n. paar oM tipahnar J. «.. ( Tr.llè de la pouiaee de* trm», pa^ . 9$ ) cuoCrmeni pleiueraeqt U thearie précédente.

LIVRE I. DE LA THÉORIE DE LA MAÇONNERIE. ç>5 qu'il vient yy àz 2 a y + aa , qui renferme les carrés de v et de a , et le produit de y et de aa.

De même, si la seconde des deux grandeurs étiit multipliée ou divisée comme dans cet exemple, 'y+^(i,y + -rft)y+-r(^ry — ~ 1 le

iiu maximtun de P* i = > r j et ]u râleur de P est alors

P = A tang, I T (7 it A tang. — f t — a y ).

On peut mettre cette équation sous une forme plus simple, eu obsenrant que si A est la hauteur à laquelle les terres se soutiennent d'clles^niémes parrefTct de leur cohésion, on doit aroir en même temps dans l’équatiuii précédente A = A,etP = o, ce qui <lrmne Y = >RfA,ct

Ai-(A — AJ.

Pour faire usage de cette valeur de P, il est nécessaire de savoir quelle est la hauteur de son pûnt d'application. Ou trouve facilement qu'elle est égale à

(A-A,) (A-4-^AJ

Ces valeurs sont très-générales, et embrassent toutes les circonstances de la question. Comme , dans le.s applications , les murs de revêtement doivent prcsqtie toVijours soutenir des terres fraîchement remuées pour lesquelles la valeur de cohésion est presque nulle, il est convenable de supposer A = o , ce qui donne pour la poussée

P = î ït A* f* ,

pour la hauteur de son point d’application «A, et { est alors la tangente d'un angle égal à la moitié de celui du talus naturel des terres.

Lorsque les terres que soutient un mur éprouvent une surcharge, il est facile de la faire entrer dans le calcul. En nommant G le poids porté par une unité de surface, les râleurs précédentes deviennent

(7»A-+-G) Ai*,

A(y*A+G) ir A -f- a G

formules qui s’appliquent à tous les angles de talus (*].

(*) Vojn poar les déuUt et le dêreloppemeat <U eette easfree lei AetketcAet sur la /tomsrt des ttrres^ de M. de pTQiijr , dr]* citèee , oo U Traité de U eoaurtietioM des pMU , de M. Geatbtj, tom. I. M. de Pruoy a poblié en ootre en 1 8oa , eona le Uire i' /ojtruttwt-pratijue tar «ne médtode pour Jêtermmrr Us dimeusiotu dos murs de rtv/iement , ose fofnole gc*pbi({ae par le iDujrca de Utfaellc oa evnatmit ivec la ploa fiasdc (adlllé lea valtOfi de a donorea par tea forDoIra.

Pi. 11