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g6 LA SCIENCE DES INGÉNIEURS,
carré donnera toujours )’ + f\ay + 4«'i 3a/ + 7-“*i/’ + 5«/
^ iL a\ y 4- , où l'on trouve encore le carré de la pie-
niière et de la seconde grandeur, et le produit de la première par le
Il ne sera pas inulile <lo comparer les rwuluis de celle analyse exacle avec ceiii de la méthode empirique contenue dans le texte. Sup|M>50ns < = /anÿ. aa“ îo'z=o. 4i4 , , I , comme l'a fait Bélidor, et h — lo pieds. On trouvera P = ao.y pieds carres, et en supposant cette force qui agit à la distance 4 A = 3,3 pieds , appliquée au sommet du mur, elle sera z= 6,9 pieds carrés au lieu de6,â pieds carrés indiqués dans la table de Bélidor. Si A = 100 pieds, on trouvera P= aoyo pieds carrés, et pour cette même force appliquée au sommet du mur, Ggo pieils carrés au lieu de 564 pieds que contient la table. .Ainsi , cette table offre des résultats sensiblement exacts pour les terres dont le talus est de 43° , lorsque la hauteur du revêtement ne passe pas to à 1 5 pieds j mais audelà, les valeurs de la poussée qu elle indique sont trop faibles.
la manière d'évaluer la résistance des revêtements et la poussée des terres étant connue par ce qui précèrle , les dimensions des murs se déduisent immédiatement de l’équation d'équilibre qu’on établit entre ces deux forces. En supposant que le mur forme un seul bloc , et négligeant les carrés de n et n' , on trouve pour l'épaisseur du mur.
qui it r^uit, 5i le mur est à plomb des deux cotés, à
11 ne reste plus maintenant qu‘à faire entrer en considération les contreforts dont les murs sont souvent accompagnes.
Soit un mur de revêtement dont l’épaisseur n’est pas assez grande pour qu’il puisse résister à U poussée des terres , et auquel on a adossé d’espace en espace des contreforts C I C'a Us présenteront des points d'appui immobiles sur lesquels Taction des terres dans l'iniervalle DD' se trainsmcUra , le mur DD'E'E faisant la fonction d’une vofite en plate-bande dont les contreforts seraient les culées. Cela posé , soit le point F milieu de 1) D' , la poussée «les terres dans l'interalle DD' a pour expression TT et cette force étant réjmrtic sur la longueur de cet intervalle, peut être
remplac<°e par une force moitié moindre , ou ^ « dA* r*, qui serait appliquée eu F. En décomposant cette dernière suivant les lignes F£', FK, puis remplaçaut chacune de ces deux forces par leurs composantes suivant FD et HF, FD' et FH, on aura pour
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MVRE 1. DF. I.A THÉORIE DE I.A MAÇONNERIE. 97 <Ioui)li: de la seconde : car multipliant a« , > v " > P»'' Joix , il
vient 5a, dont le produit par la première grandeur r
donne 3aj, 5ay,
la 'ralciïT des composantes suivant KD et FIV, — — , et reffet de celte demiérr
t'orre sera de faire oiiTrir une lézarde dans la inaçnnnerîe du mur, suivant la ligne DF., en agissant avec un liras de levier = a. Mais la coliésioit des mortiers s'oppose à cet cITet , et on a pour rê<|uation ii'é(|uilibrc
c(|iialion qui donnera la valeur de a quand d sera connu , et rédproquemriit. Elle donn
2 ^ c * t y Tl
La pi'emière êijuation paraîtrait indiquer que a doit augmenter inilélîniment avec d: mais il faut observer que le moment de stabilité du mur étant équivalent à celui de la
poussée des terres quand o = A ^ a ne doit jamais être au-dessus de cette der-
niérc valeur. En la substituant dans celle de </, on trouve
<e qui est une limite que la valeur de d ne doit- point passer, et au-delà de laquelle les contreforts seraient inutiles. On peut remarquer que cette valeur est indépendante de la nature des terres.
Pour faire une application de ce résultat , supposons « = iSoo lui. ^ czsz aouo kil. , d = a, 5 roél. , A =: la met. , / = o, 4^4 • trouvera o = 1,7 met. D'où il suit quun mur de la mètres de hauteur, fortifié par dea contreforts sufBsamnient épais, et distants les uns des autres de 5 mètres, serait en équilibre avec la poussée des terres, en lui donnant 1,7 mètre depats.seur.
On peut observer que, pour que le mur s’ouvre aux points D , H et D' , il est nécessaire que les matériaux se comprinicut aux points E, F et E' , et qu'on néglige dan» le calcul la résistance qu'ils opposent , ce qui donne pour a une trop grande valeur. Cependant , en .suppsisant cflectivement que cette compression eût lieu , les centres de rotation se trouveraient transportés en de nouveaux points «, f et e', de la position
98 SUKNCE HKS INfifcM lit ItS,
Puisque les coeflicients sont doubles des racines du second carre ^ on peut conclure que toutes les fois que l’on aura le carre d'une inconnue, plus ou moins cette inconnue multipliée par un roenicient
tlesqurls il résulter;»il unt* (l*^ompo»ition de* forer» |»lu» clr^avinl.'igetnie À U rt'sisiance, Pl 11 1**’ cirronstance» , pourrait compenser ce qui a etc négligé dans le caU
fio.8. ci-dessus. Pour en juger, considérons un solide A RD, composé de fibres roides, encastré suivant la ligne AB, et soumis à faction d'une force P, parallèle au plan de rupture : si C est le centre de rotation qui doit s’établir, on aura, en appelant toiijour-» la largeur A B , a , et faisant AC =: .r ,
fjr* — c (/I — jf )• a,
d‘où l'on tire
JT = n
ou X = <tun , en taisant pour abréger m zx
l^cr — t
Supposons luaintenarit le»
HG. 8. nouveaux centres de rotation des leviers hypothétiques e'y, teUemeiil situés, que le rapp«)rt de la distance Ee = Ey*=:Ee' à la largeur du mur soit = w , les force> « cf* A*
‘ it (P f* «levîemlront : , et féquaiion d’équilibre sera
-ha I — • a mÿ
d'où fou déduit
' = {-JT- -7"' ) + '
Dr, (jomme r est toujours plus grand que c, celte valeur de a est plus |>eme que la première , qui s'en déduirait en faisant w rs o : ainsi cette première valeur est eB'ectivenient un peu trop considérable. Mais elle ne diffère de la véritable que d iiiie quan* tité moindre que cxdle qu’il hiut Inl ajouter pour se mettre dans la pratique auHlessii<< de fcquilibre.
L’espacement des contreforts étant fixé d'avance, et l'épaisseur du nmr <lan.s leur» intervalles déterminée par ce qui précciJe, il ne restera plus qu’à régler ta largeur et la queue des conircfons ; elles seront données par la condition que le niomcnt de stabilité d un contrcfori et de fifilervalle voisin soit au-dessiis de celui de la |M»iissec des terres qui agisseut derrière. On pourra considérer le mur <*omn»e lié au œntrefort , mais il hiudra regarder comme ne faisant point partie de la mai'onnerid tout vc qui sera situé au-dessous d’un |>bn incliné de passant par l'ai'rtc extérieure de U Ime (iV).
DigitL' ;y Coot^le
I.IVUE I. DE r,A TIlÉORrE DE EA MAÇONNERIE. 99 i|Uflcoiiqiic , 011 pourra regarder ce coenicient comme le double de la racine du carré qui manque pour que l’inconnue se trouve comprise dans un carré parfait, et qu’ainsi ou aura toujours ta racine de ce carre , en prenant la moitié du coejficient du second terme.
Quand il arrive que le coefficient se trouve composé de plusieurs termes, il faut les supposer n'en valoir tous ensemble qu'un seul; par
I I. J b' IX
exemple, si Ion avait )' + , ay + arfr h — on supposera
Sbd , b' , . .
ÿrt 4- arf + — = n : et comme en multipliant cette équation
par r, l on a -3- a y ■) — ^ = « )-, on pourra mettre ni
à la place de sa valeur. Et au lieu de ce qui précède, on aura y + ny qu'on pourra changer en carré, en y ajoutant le carré de la moitié du coefficient, c’est-à-dire le carré de 4 « , alin d'avoir v' 4- ny + f n'. Et pour éviter les fractions, on peut encore supposer le coefficient complexe égal à un plutôt qu'à n seul , parce qu’alors ayant any au lieu de ny, le carré sera y' + uny 4- n'.
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LA SCILNCB: UES INGEMEURS
L 1 VRE SECON D,
QLt TRAITE DE I.A Ml^CAPflQUE DES VOUTES, POUR MONTRER l,A MANIERE DK DÉTERMINER l.’ÉPAISSEUR DE I.EURS PIEDROITS.
Si l'on R bivii conçu ce que je viens d’enseigner dans le livre precedent , on conviendra sans doute qu'il y a une méthode pour conside'rer les sujets qui se rapportent à l’architecture , par laquelle on est sûr de ne pas donner dans le (aux , dés qu’on saura se servir heureusement des çonnaissaiices acquises par l’étude des mathématiques Les principes qu’elles nous présentent sont d’une si grande fécondité, qu’il n’y a rien il quoi ils ne soient applicables, principalement ceux de la mécanique. C’est vainement qu’on voudra nous persuader que la pratique abantlonnée à elle-même peut arriver au point de perfection ; rexpéricnce prouve souvent le contraire, et j’en vais faire voir un exemple au sujet des voûtes, qui viendra fort à propos pour faire sentir combien il est de conséquence de ne pas suivre sans examen les principes qui ne sont autorisés que par l’usage, .Mais avant cela il faut que j'insinue de ipielle manière sê fait la poussée des voûtes , afin d’e.xarainer si le sentiment qu’on en doit avoir peut s’accorder avec les productions de la |iratique.
Comme je serai obligé d’employer encore l’algèbre en parlant des voûtes, bien des gens qui ne l’entendent point se mettront peut-être de mauvaise humeur de ce que , non content d’en avoir rempli tout le jireinier livre , je m’en sers encore dans le second : mais je les prie de m’excuser et de lire celui-ci tout de suite, afin de profiter des endroits qui sont faciles a entendre, tels que les applications et la plus grande partie des remarques. Kn récompense , dans le dessein de leur faire ma cour , ils trouveront dans le quatrième chapitre des méthodes générales pour avoir l’épaisseur des piédroits de toutes sortes de voûtes par le seul calcul des nombres , sans le mélange d’aucun caractère algébrique : moyennant cette condition , j’espère que nous vivrons bien ensemble.
