CN

&lon P =

expression p"

~ — Une autre partie est portée par le point C , et a pour

NK tt’ '

=p* La partie CK de la voûte rliargeant le pointC d'un poids

égal à ce dernier, ce point sc trouve cliai^ en totalité du poids ap* , lequel étant

décomposé dans le sens des deux lignes CK, cA, donne pour la valeur de ses composantes

En supposant cette dernière force appliquée en K , on peut la remplacer par deux autres, l'une horizontale, dont l'expression sera ^ » ** l'autre verticale, qui est

p" ' D'un autre coté , la partie tlu poids p’ suspendu en M , portée par le point K ,

est (t' = fl' Ainsi rextrémitë K du levier D K se trouve soumise k ht force

u’«* — a*") tt* «* U.' ti' ...

verticale -4- - ’ -f- -f- laquelle tend à raffermir «Un«

sa position, et à la force horizontale laquelle tend à le renverser. Le moment de

cette dernière force» pris par rapport au point D , est

celui de la première, prU par rapport au point, e>t

et U position des joints de rupture KL et Ici dépend du rapport des deux moments (A) et (B) : ces joints seront placés dans l'endroit de la voûte où le moment (A) sera le plus gi*and possible par rapport au moment (B). Ainsi, faisant diiférentes hjpo* thèses sur U position du point K , et calculant pour chacune la valeur de ces deux mo> » menti, on trouvera la position des joints de rupture en comparant ces deux valeurs, et choisissant le point où le rapport de la première à la seconde est le plus grand.

Pour que la voûte puisse se maintenir en équilibre, il faut que le moment (B) soit partout plus grand que (A).

La position du point de rupture est quelquefois donnée par la forme de la voûte. Par Pr.A>cas exemple, dans la voûte en arc de cercle ACa, les joints de rupture sont placés en KL, V ki, et on pourrait faire varier dans des limites assez étendues l'épaisseur des piédroits, celle de la voûte, et le surbaissement de l'arc K B^, sans que ces jûints de rupture changeassent de position.

Dans une voûte en plate-bande , le point de rupture est toujours à U jonction de la plate-bande et du piédroit

IJ. Une voûte étant donnée , déterminer la position des jointe de rupture , dans U cas on Us parties in/érieuree gUueraient sur Us pUdroits.

ll^faut remarquer, dans le cas où les parties inférieures doivent céder en glissant , pi 4acBi que la séparation doit se faire aux joints EF et ej y où sont placées les naissances; car, de tous les joints qui existent dans U hauteur dçs piédroits, ce sont eux qui se trouvent les moins chargés, et où conséquemment le frottement oppose le moins de résistance.

Cela posé, KL et il/ étant par hypothèse la position des joints de rupture, le système des leviers FK, KC,y‘A, A;C, susceptibles de tourner sur les points K, C, A y et de glisser sur les lignes horizontales EF, e/", représentera le système de la voûte. Nommant (S, le poids de la portion FK, celui de la portion KC, ar, distances ^

horizontales et verticales du point K au point F, x, et/,, les mêmes distances du point C

uu point K , et les disunces horizontales aux points F et K des points de rencontre M et N des Tcrticales passant par les centres de gravité de p, et STec les leriers F R et RC, on irourcra, comme dans le problème I'*, que la partie supérieure de la voiLte exerce au point K une pression dirigée dans le sens C R qui équivaut à une force horv

zontale représentée par , et à une force verticale représentée par D'un autre

' côté, le levier FR est chargé du poids p,. En décomposant ces trois forces dans U direction de ce levier , et les ajoutant on aura pour représenter la pression qui s'exerce dans le sens R F ,

Celte force , supposée appliquée au point F, s'y décompose en deux autres , l'une horizontale , dirigée dans le sens FE, qui tend à opérer le glissement , et dont la valeur est

l’autre verticale , dont la valeur est

et c*est le frottement que cette dernière force fait naître qui forme U résistance de la voûte. Nommant y le rapport de la pression normale au frottement, on aura pour l'expression de cette rcsisuuce

en sorte que la position des joints de rupture dépendra du rapport des deux forces (C) et (D) , et que les joints seront placés dans l'endroit où la première sera la plus grande |K>ssible par rapport à la seconde.

Si on veut avoir égard à la résistance au glissement provenant de l'adhérence produite par les mortiers, nommant g la force d'adhérence sur l'unité de surface et a l'aire du. joint FG , cette résistance sera représentée par ga , et en l’ajoutant à celle du frottement, on aura pour la résistance totale

Ce sera alors du rapport des expressions (C) et (£) que dépendra la position des joints de rupture. Ils seront placés dans l'endroit où la valeur de la force (C) sera la plus grande possible par rapport à celle de la force (E). Quant aux expressions numériques des constantes y et on peut employer dans la pratique les valeurs f = 0,76, ^=^6960 kilogrammes, le mètre carré étant Tunité de surface. (Voyez à ce sujet le Traité de la Con^tritrtion dei> ponts j liv. U, chap. III.)

note sur la théorie des VOUTES.

III. Une voûte étant donnée ^ déterminer i'épaùseur que ses piédroits doii^nt avoir pour résister à la poussée f dans le cas (hi ces piédroits seraient renversés.

Je suppose que rintmdos Je k voûte et son épaisseur DC sont donnés, ainsi que Plsxcsi les hauteurs de ses piédroits, et qu*il s’agit de fixer leur épaisseur A D, ad. ''I

En égalant les expressions ci-dessus des deux moments (A) et (B) , on a l’équation

|i'i' +(^i — Ip)!»* — O.

qui exprime les conditions nécessaires pour que l’équilibre ait lieu dans la voûte, en ' supposant que le point K soit le joint de rupture. Il est évident que {épaisseur AD du piédroit doit être déterminée de manière à ce que , dans cette supposition , cette équation se trouve satisfaite.

Pour faire cette détermination , on fera une hypothèse sur la position du point K ; les quantités y •>?''»/'» *"* dépendent de la position de ce point, se trou-

veront données. On exprimera les quantités restantes *' et p' en fonction de l’épaisseur AD, puis, subslitiunt toutes ces valeurs dans l'équation (F), on aura une équation entre AD et des quantités connues, qui montera au second degré, et d’où on tirera la valeur de cette quantité. Faisant ensuite une seconde hypothèse sur La position du point K , on obtiendra par le même moyen une seconde valeur pour AD , et ainsi de suite. La plus grande des valeurs de AD obtenues de cette manière sera l'épaisseur cherchée , et la position correspondante du point K sera celle des joints de rupture. (Voyez pour les applications numériques le Traité de la Construction des ponts.")

II est aisé de concevoir que ce procédé s'applique à toutes les voûtes , quelle que soit leur forme.

IV. Une voûte étant donnée, détermi/ter la résistance de ses parties iafcticurts , dans U cas ois elles glisseraient sur les piédroits.

Ce problème est analogue au précédent , et se résoudra d’une manière semblable. Égalant les forces (C) et (D) , ou les forces (C) et (E) si on a égard à l’adhérence des mortiers , on aura l'une ou l'autre de ces deux équations d’équilibre

qui devront être satisfaites pour que la voûte puisse subsister. Ainsi , faisant une hyputlièse sur U position du point K , ce qui donnera les valeurs des quantités , x,, , V] et a.,, , on exprimera les autres quantités , soit en fonction de l’épaisseur FG =r a, de Fie. 5. la voûte à la naissance , si on veut faire varier cette épaisseur , soit en fonction de ta

178 LA SCIENCE DES iNGENIELHS,

hauteur d’un massif de maçonnerie dont on pourrait charger le joint FG; l'équa- *tion (G) donnera lu valeur de cette épaisseur ou de cetu* hauteur qui convient à l'équilibre. En faisant tle la même manière diverses hyputUesrs sur I.1 position du poiiU K, on aura auunt de valeurs œrrespon<lantes pour la quantité dont dépend la résistance de la vm*ite. La plus grande de ces valeurs sera celle qu'îl faudra adopter pour mettre les parties inférieures dans le cas de résister à la poussée des parties supérieures.

V. Une noiUe étant donnée , déterminer sa plus grande et sa plus petite épaisseur.

La oompUcation des forniuics et les quantités transcendantes introduites par U nature du cercle ne permettant pas de résoudre directement ce problème , on emploiera un tUimueiiientÿ coiimie on l’a fait dans les problèmes préct'donts. Uepreiiant l’équation (!*'), on fera, en partant de zéro, dilTércnlcs hypothèses sur l’épaisseur BC de la TOitie, et on hxera pour cliacune l'épaisseur correspondante AD r[uc doivent avoir les piédroits ) au moyen du problème HL I^es épaisseurs des piédroits rormcrx>nt une suite de nombres qui , eu général , iront en diminuant depuis rinlini jusqu'à une ccrtaiuc valeur finie qui sera leur minimum , puis auginctitcront depuis ce minimum jusqu à l'infini. Si Je minimum de l’épaisseur des piédroits se trouvait plus grand que IVpaisseur donnée AD, il faudrait en conclure que la voûte ne peut subsister, quelle que soit la valeur qu'on donne à DC. Mais si le minimum des épaisseurs des piédroits est au-dessous de AD, U est évident que dans la suite des valeurs de ces épaisseurs il s’en trouvera deux qui seront égales à .AD. Les valeurs correspondantes de DC seront les deux limites cheiThées.

Dans le cas où la |>ous9ée de la voûte tendrait à faire glisser les parties inférieures, on emploierait un procédé absolument semblable , en faisant usage de l'équation d'équilibre (G) et du problème IV.

VI. Une tmùte étant donnée , déterminer si eiie. est capable ou non de porter tute charge donnée.

La solution de ce problème ne peut offrir aucune difficulté d'après ce qui précède. Il faut observer eu premier lieu que la position des joints de rupture dépendant des poids resptx'tifs dont sont chargés les quatre leviers dont le système représente la voûte, cette position varie en même temps que les rap|>orts de ces poids. Cela posé , on fera diverses bypitUèsts sur la position des joints de rupture, et calculant d'aprt-s ces hypothèses quels sont les poids portés |>ar les leviers , on vérifiera si ces pûd.s rendent le moment (B) \ (.A), condition sans laquelle la voûte ne pourrait subsister. hA.%UHE Eour en donner quelques exemples, soit la voûte ACa chargée d'une certaine VI épaisseur de matières, eu maqonuerie, terres, pave, etc. Les poids des parties supoi IG. 6. rieures augmentant dans un plus grand rapport que celui des p.irties inférieures , il est

TÛible que la poussée auj^roeotera. Supposant les joints de rupture pboés en KL^

U fauHm rériâer si le moment (D) est toujours > (A), en supposant que le poids |t' qui charge le levier DK est augmenté du poids de U charge £G qui répond au pié> droit, et que qui c-liarge le levier KG est augmenté du poids de la cluige LF qui répond à la partie supérieure. El comme l'erTet d'uiie semblable surcluirge est en général de faire reiiioiiier les joints de rupture vers la clef, il faudra faire particulièrement rette vérihcaliûii , en prenant le point K au«des.sus de la position qu'il aurait si la voûte n'était point chargée. On aura d'ailleurs égard «Uns cette operation au déplacement du («ntre de gravité des pniits portés par les leviers , résultant de l'addition des charges

EG, LF.

Si la charge, au lieu dètre ré|>artie sur toute la longueur de la voiUe, était seulement placée sur le sommet, son eflet serait encore d'augmenter la poussée. Mais ici U résisuncc des piédroits ne recevrait aucune augmentation. Il faudrait donc, plaçant les joints de rupture dans un endroit quelconque KL, examiner si , p représentant seulement le poids de la portion de voûte 1) L , le moment (B) se trouve toujours plus grand que (A), en supprimant que p représente le poids de la portion KG, augmenté de la moitié de celui de la charge G F , le centre de gravité de p.” étant rapprodié du sommet suivant que le demande le rapport du poids GK à celui de CF.

Dans la plupart des voûtes, et particulièrement dans celles des ponts, on charge les reins d'un massif de maçonnerie EFG, efc. Si la voûte est en plein cintre, ou peu surbaissée, ce massif augmentant très-peu le poids des parties su|>érieures , et étant porté presque eutièrement pur les parties inferieures , n augmente point lu poussée , en sorte que son addition n’exige aucune augmeiiUtion dans l'épaisseur des ptédroits, et quelquefois même permettrait de diminuer cette épaisseur s'il était construit avant que la voûte ne hit décintrée. Mais il n'en est pas de uiêine pour les voûtes très^urUaissées, et parlfculièrcmeiit pour c;ello5 en arc de cercle.

L'addition du massif KFC, «yc, augmentant proportionnellement beaucoup plus le poids des parties agissantes que <a.dui des parties résistantes, U poussée augmenterait. Il faudrait donc vérifier, de la manière indiquée ci-dessus , si l'augmentation de cette poussée ne rend pas le moment (A) > (B), et dans le cas où cela arriverait, augmenter ionvenablement l'épaisseur des piédroits.

Si la charge additionnelle ne portait que sur le.s piédroits, ü est évident quelle n'aurait d’autre effet que d'^rugmenter leur résistance ; ainsi , non seulement on n'aurait point à craindre que la poussée augmentât , mais encore on pourrait diminuer l’épaisseur de ces piédroits, dans lesquels rauginentalioii du poids suppléerait k la diminution de son bras de levier.

Mais St cette charge, quoique ne portant que sur les parties résistantes, cl conséquemment ne pouvant augmenter la poussée de la voûte , était telle que son centre de gravité tomliât en dedans des poiriLs A et a , elle pourrait en orcasioner In rupture par un effet dont je n’ai pas encore parlé, et qui txpendant ne doit pas être passé sous silence. Soient alors KL et kt les joints dans lesquels ta séparation des parties supé-

PuAvenr VI ln\.

Fie. 7.

Ptsacjir VI ÙU.

Fie. 8.

Plaxchk VI his.

Fic. 9.

Ih.&'tciti'

VI Atr.

Fie. 10.

Plaxcbb VI his.

Fig. 1 1.

i8o LA SCIENCE DES INGÉNIEURS,

Heure et infëneare doit se faire. Les parties A E, ue, tendant à tomber en dedans en tournant autour des points A et a , les points L et / tendront à se rapprocher. Si U portion de Toûte KC^ était d'une seule pièce, par l'effet de ce rapprochement elle se soulèverait verticalenient en glissant sur les arêtes L, /. En la supposant de deux pièces séparées par un joint placé en CB, ce glissement n’aurv |>bs lieu , et ces deux pièces se soulèveront en s'appuyant l'une contre l'autre en B , cl portant contre les parties inférieures en L, /. Ce mouvement continuera jusqu’à ce que les parties AE, acy aient pris une inclinaison telle que 1a chûte totale de la voûte ait lieu. En sorte que , si on joint les axes de rotation A, L, B, /, a , par des lignes droites , le système des quatre leviers A 1^, LD , al y /R , dont chacun serait chargé du poids de la portion de voûte correspondante , représentera le système de la voûte. La considération de ce système conduira a une t^tiation d'équilihre analogue à l'équatloo (F), et qui devra être vérifiée pour que la voûte puisse subsister. Il faudra donc s'assurer, dans le cas où les reins d*une voûte supporteraient une charge additionnelle très«considérable , si son épaisseur est assez gramle pour que cette voûte ne soit point rompue et son sommet soulevé par l'effet de cette charge. La position des points de rupture est donnée dans ce cas par la condition que le moment (B) y soit le plus grand possible par rapport au moment (A), et il sera nécessaire pour que le nouvel équilibre que je viens de considérer puisse subsister, et que le premier reste toujours plus petit que le second.

Enfin il pourrait se faire que la voûte portât un fluide dont la pression s'exerce perpendiculairement aux surfaces. Il faudrait alors, supposant le joint de rupture placé en KL, déterminer U pression que supporterait DL, et qui serait dirigée suivant une certaine ligtic telle que pq. On ciMiiposera ensuite celte force avec le poids p' de U (lortion DK , et le moment de la résultante de ces deux ibrees, pris par rapport au point D, remplacera celui qui a été représenté ci-dessus p.ir p' a’. On fera une ofw*ration semblable pour la partie supérieure KG, c’est-à-dire, qu'on cherchera la valeur de la pression qui a lieu sur LC, et qui sera dirigée suivant une ligne telle que st ; puis on prendra la résultante de cette force et du poids p'' de la portion de voûte K(<. Cette résultante, au point où elle rencontre le levier KC, pourra être décomposée en deux forces , l’une horizontale , qui sera détruite par une force égale fournie par l'autre moitié de la voûte, et l’autre vertic-ale, qui remplacera le poids p' , considéré dans le problème V^. On examinera donc si la poussée résultant d«* l'action île celte force vc|-ticale ne rend point le mouicnt (A) > (B) , ce qui empêcherait l'équilibre de subsister dans la voûte.

S'il y avait de l'eau non seulement en dehors de la voûte, mais en dedans, comme cela a lieu pour les voûtes des ponts, l'efTet de ce fluide étant de diminuer la pesanteur spécifique des parties de la voûte qui y sont plongées, il faudrait avoir égard à cette circuustance.

J'ai supposé dans ce qui précède que la poussée de la voûte tend à renverser les parties inférieures. Si elle tendait à les faire glisser, on emploierait, pour examiner l'effet

NOTE SUR LA THÉORIE DES VOUTES. ' iSF

ü’uDe cliarge additionnelle , des considérations analogues à celles que je viens d'exposer, et la seule différence serait qu'il faudrait avoir égard à d'autres conditions d'équilibre indiquées dans les problèmes il et IV. ''

Il est facile de juger, par ce qui précède, de la manière dont il faudrait s j prendre pour établir l'équilibre dans une voAte où il n'existerait point, sans rien clianger à scS dimensions. On j parviendrait en augmentant convenablement p.'tr des charges additionnelles le poids des parties qui tendent à se soulever ou à glisser.

Vil. L'intrados d'une voûte étant donnée déterminer Vextrados par ta condition que cette voûte n'ait aucune poussée.

Soit donné l'intrados ABa d’une voûte, et la direction des joiuts des voussoir» et u

^ ri.Awcna

supposons que le joint de rupture soit placé dans un endroit quelconque , tel que KL. Vl bis. Il est évident que le poids de la portion KC ne peut occasioner de poussée qu'autant que son centre de gravité tombe entre les points K et C. Donc, si la ligne CL a été tracée de manière à ce que le centre de gravité de la portion KC tombe toujours en dehors du point K, quel que soit le lieu du joint KL, la partie supérieure n'exercera aucun effort qui tende à renverser les pasties inférieures.

Si c'était l'extrados qui fût donné, et qu'il fallût déterminer la forme de l'intrados pour que la voûte ne produisît point de poussée , le problème se résoudrait encore de la nlème manière.

Ces problèmes sont peu susceptibles d'application, parce qu'il sera toujours plus convenable de s'opposer à la poussée d’une voûte en chargeant les piédroits, ou en les faisant plus épais, que de déterniiuer la forme de l'extrados , de manière que celle poussée soit nulle.

VIII. Une voûte étant donnée ^ déterminer la valeur des pressions que supportent les voussoirs dans ses différentes parties.

On voit par le problème 1" que la force horizontale avec laquelle les parties supéricure.s de la voûte repoussent les parties inférieures , a pour expression

celle force est évidemment celle avec laquelle les deux moitiés de la voûte appuient 1 une contre laiitre au sommet , et représente par conséquent ta pression supportée par la pierre qui s’y trouve placée.

Pour avoir la valeur de la pression qui a lieu dans les reins près les joints de rupture, il faut observer que le levier KC porte le poids p"; ce poids, décomposé dans le sens de ce levier, donne pour la pression qu'il occasione au point K,

(.-kr (,)

fSa LA SCIENCE DES INGÉNIEURS,

En&o , i l'égard de la pression qui «'exerce sur les pointa 0, tt; par l'effet du poids et de U poussée de la roùtc, et ipii est dirigée suirant les leviers D K , d A , on a déjà obtenu dans le problème U son expression , qui est , en cluuigeant les accents ,

Il est aisé fie concevoir que la plus grande valeur de oes forces a lieu dans les cas où les points K et 4: sont les joints de rupture, et que leurs expressions sont les tnèmes lorsque les pnrties inférieures de U voûte doivent glisser, en changeant seulement les accents des lettres.

VI Aw. pfmrrait proposer heauroup d'autres problèmes sur les voûtes; mais je finirai par

Fie. i'). oeJui«ci , qui peut être trùs>utile dans la pratique.

IX. Une votife étant donnée ^ déterminer la pression que supporte son ci>i/re en charpente (ûmr Us diverses époques de la constructionL.

(>n sait que les premières assises d'une voûte se soutiennent sans le secours du cintre , fie sorte qu'il n*en reçoit aucune ch.irgc jusqu'à ce que le plan <!e joint fasse avec l'horizon uo angle tel , que sa tangente trigonoinétnquc soit égale au rapport du frottement à U pression. Il parait que, quand les voussoirs sont posés sur cales, et quand ils sont mis û sec les uns sur les autres, ce rapport doit être également évalué à très-peu près à 0,8 (i); d’où il résulte que le voussoir qui commence à faire porter au cintre une partie de son poids, doit avoir son plan de joint incliné à Thonzon d’environ 4^ grades. Quant à la charge soutenue parle cintre, il est visilde que nommants l'angle d'inclinaison du plan de joint inférieur, m le poids du voussoir , et y* le rapport du fruttetnenl à la pression normale, cette charge est égale à une force qui agit perpendicubirement à U surface du cintre , et qui a pour expresssion

m («rt. * — X •)•

La charge du cintre s'évaluera en calcnlant la valeur de cette expression pour le» difîerentes assises qui seront posées successivement, jusqu a ce qu’on soit arrivé à un poussoir M tellement incliné, que b verticale passant par son centre de gravité tombe sur l'aréle II du voussoir immédiatement inférieur. Alors il arrivera de deux chose» l'une : si l’angle THE formé par 1a surface du cintre avec une ligne borixonule DK est plus petit que 4^ grades, le voussoir M se soutiendra sur le cintre sans porter sur les voussoirs inférieurs; mais si cet .ingle est plus grand, les voussoirs inférieurs por-

(*) U Miiaoir» lie Pironnef »ar te dnlrcmeoi et le 4éciotmi»fal de» poni» . et te Tnité de I»

CooflrvcttOQ d«e po«U, lone i", 34).

NOTE SUR LA THEORIE DES VOUTES. i83

trront une partie du poids du vouloir M. U est facile de s'assurer que le dernier de ces tieux ras n'arrivera presque jamais , et que le premier est le seul quil faille pretkdre en considération. A partir du voussoir M , la charge du cintre s'estUncra dune par le poids entier des voussoirs posés successivemenL La position du voussoir M dépend d'ailleurs de la cuuH>ure de la voAle et du rapport des dimensions des vousspirs.

Mais , si dans le premier motnent le voussoir M et les suivants n'exercent aucune action sur les voussoirs inférieurs, il lien est pas de même lorsque le tassement du cintre vient à faire des pro^’s sensibles. Comme ce tassement ne peut s’opérer sans que l'arc AS ne vienne à se raccourcir, cet arc résiste comme une p>rtion «le voCite à la pression qui s'exerce à son extrémité supérieure. Tant que cette pression nV.st pas assez forte, il etmserve sa forme et sa position, et ce sont les voussuirs situés au-dessus de I M qitt sont forcés de céder en se déversant un peu. .Mais dès qu'on a posé au-dessus de

M un assez grand nombre d'assises pour (pic leur stabiliié soit supérieure à la résistance de la portion de voAte AS, (Uitte deruière est forcée de su briser en deux parties qui s'écartent du cintre, et il s’établit deux points de rupture aux extrémités A D et US, et un troisième en un certain joint tel que K. L. laa position de ce dernier joint se determioera d’ailleurs évidemment par La condition que les moments de stabilité des deux pallies AL et KS, pris par rapport au point U, soient égaux.

li est visible maintenant que4a partie inférieure A R du cintre se trouvera entièrement df^gée , mais qne la partie RR, outre le poids des voussoirs RX, supportera encore une certaine pression résultante de la poussée de la voi'ite rampante AS. Il sera facile, connaissant le poids et la forme de la portion KS, d’avoir la valeur de cètt« pression, qu’on pourra concevoir dirigée suivant la ligne SF |>erpendiculairc an joint SR , Laquelle renconlrcra en F la verticale passant par le centre de gravité commun des voussoirs H X. Supposant ensuite la pression qui s'exerce suivant SF, et Le poids des voussoirs R X, appliqués au point de rencontre F de leurs directions , oo prendra la résultante de ces deux forces, qui sera dirigée suivant une ligne FH , et représentent la cliarge totale que .supporte le cintre. Une force égale sera fournie par l'autre moitié de la voi\te. • \

^ Les effets dont nous venons de parler se présentent également dans une voAte en

plein cintre , en anse de panier et en arc de cercle, à moins qne cette dernière ne soit formée par un arc tellement surbaissé, que le premier voussoir; à partir des naissances, commence à porter entièrement sur le cintre. Alors la charge du cintre est due au poids total des voussoirs, et le calcul de cette cliarge est plus simple.

- O'rco/i^tfi/icss physiques de lu Construction des iH>ûtes.

J’ai suppose dans les considérations précédentes que les voi\tes éuiieiit composées de voussoirs parfaitement durs , et j’ai fait abstraction tant du degré de consistance de la pierre qui ne lui permet que de supporter une jircssion dctermiiiée, que de la compressibilité des cales et des mortiers qui rempUsseot les joints. Je vais à présent exami-

Plancuz VI bss, Fig. i4'

ï84 LA SCIENCE DES INGÉNIEURS,

ner quelles modifications ces rirconsunces physiques pea?ent apporter aux résullat»

d>de&sus.

U fout distinguer en premier lieu deux manières de construire les votltcs , dont il résulte des elTets très-dilTérents. i** Ou on emploie des pierres qui ont exactement U forme qui convient à chaque voussoir d’après l’épure de la voAte, et qui sont posées les unes sur les autres, en se touchant sur toute la surface de leurs plans de joints j a** ou bien on emploie des pierres dont les joints n'ont pas été taillés avec lieaucoup d’exactitude, et qui ne portent les unes contre les autres que par l'intermédiaire de quelques cales et d’un lit de mortier, qui sont toujours plus ou moins compressibles.

Dans le premier cas, en supposant que les conditions d’équilibre de la voûte , telles qu'elles sont données dans les problèmes précédents, aient été remplies, tl ne pourra 5 J manifester aucun mouvement après la construction : il ny aura point de tassement, et auprès même des points de rupture les pierres porteront exactement l’une contre Vautre dans toute U longueur des joints. Mais il pourra arriver que les dimensions doo> nées à certaines parties de la voûte soient trop faibles pour que 1a pierre supporte U pression qui y a lieu. C'est ce qu’on vérifiera par le moyen des expressions (G) , (1) , (K) , du problème VIII , en comparant la force de la pierre d’après la siirfoce des joints è la pression qu'elle supporte , et dont ces expressions donnent les valeurs. On se convaincra facilement au surplus , par le calcul , que dans les cas ordinaires la force des pierres calcaires employées dans les constructions est toujours supérieure aux pressions aux* quelles elles se trouvent exposées dans les voûtes ; mais c’est d’après le rapport de ces pressions k cette force qu’on pourra déterminer les limites de l'ouverture et du surbaissement qu’il est possible de donner à une voûte (i).

Quand on emploie le second genre de construction, U arrive, à raison de la compressibilité des joints , et quoique les conditions de l'équilibre de la voûte aient été satisfaites , qu’il s’y manifeste des tassements. Le resserrement des joints dans les parties inférieures produit le même effet que si ces parties cédaient à la poitsséc , en sorte que les parties supérieures s’abaissent de la même manière que si la voûte se rompait , et ces mouvements ne s’arrêtent qu’après que les joints ont acquis toute leur compression. Il est aisé de juger, d’après ce qui précède, des circonstances qui accompagneront ces mouvements , et de prévoir t* qu'il s'établira de chaque coté dans les reins un point de rupture près duquel les voiissotrs ne porteront les uns contre les autres que par leur arête inférieure , et où les joints s’ouvriront à l’extrados ; a" qu’à la clé le joint s'ouvrira à l’intrados, les voussoirs ne s'appuyant l'un contre Vautre que sur leur arête supérieure ; 3^ que les piédroits ne porteront sur la fondation que par Varéte extérieure de leur base.

La connaissance de ces effets indique les précautions qu'on doit prendre dans l'exécution. On voit d'abord qu'il fout surliausser la voûte , afin qu’après le tassement

(i) Od ire«f«rt daa* U livrt «eiviDi 1m aorlo«u eiwMilrM tnr U fu#«« Sm pitrrM.

NOTE SUR LA THÉORIE DES VOUTES. i85

elle revienne à la furnie qui lui a été assignée d apres l'épure. Il faut aussi avoir égard aux divers resserrements ou ouvertures qui auront lieu dans les joints , et en faisant ces joints plus larges dans les endroits ou ils doivent se resserrer , et plus étroits dans ceux où ils doivent s'ouvrir , les obliger à offrir par-tout la meme épaisseur après que le tassement s'est opéré. On doit encore donner au derrière de la fondation des piédroits un large empattement, pour prévenir leffet de la poussée, dont l’effort sc reporte entièrement à cet endroit.

Les résultats du tassement d'une voûte obligent non seulement à prendre dans leur exécution certaines précautions dont je viens d'indiquer les principales , mais ils peuvent encore influer sur la détermination des dimensions des parties de la voûte , et particulièrt»mcnt de IVpaUseiir au sommet. Pour le faire concevoir , je reniarqueiai que, en raison du tassi*nienl , les voussoirs auprès des joints de rupture, qui devraient porter les uns contre les autres sur toute la surface de leurs plans de joint , ne portent plus que sur une portion de cette surface , d'autant plus |>etite que le tassement est plus grand , et qui se réduirait meme à une arête si ce tassement était trèseonsitlérabie. Il résulte de cette circonstance que la pression qui a lieu près de ces )K>in(5 , au lieu de se répartir sur toute la surface du joint , n'étant plus portée que par une petite portion de cette surface, tend à faire éclater les voussoirs, et c'est ce qui arrive effectivement dans les grandes vo(ites quand la pierre n'est pas très-bonne, cl que le tassement est considérable. Il y a donc , indépendamment même de la crainte de voir 1a forme de la voûte altérée, et les joints présenter des largeurs irrégulières , un motif très-puissant pour rendre le tassement d'une voûte le plus faible possible. Or, il est ai.vé de voir que , toutes choses égales d'ailleurs, ce tassement sera d’autant moins grand que l'épaisseur de la voûte au sommet sera plus considélablc. Car, soit la voûte KCK, le tassement dépendra du resserrement des joints PLivcar d'après lequel les longueurs des lignes KG, kc y diminuant d'une certaine quantité, leur point de jonction G s'abaissera. Mais plus l'angle KCJc sera petit, et moins, pour ***' une diminution donnée de la longueur de ses côtés KG , , le point G sera forcé

de s’abaisser. Donc , si on augmente l'épaisseur BC , le resserrement des joints restant le même , le tassement de la voûte diminuera. On voit par cette considération que, pour empêcher que par reffet d'un trop grand tassement la pression borixontalc qui a lieu sur B G ne soit uniquement supportée par l'arête G , ce qui pourrait faire i^later la pierre , on est obligé de donner à la voûte une certaine épaisseur, laquelle peut être plus grande que celle qui lui serait nécessaire pour l’équilibre. C'est par la même raison qu'on doit augmenter dans la pratique les épaisseurs des piédroits indiquées par le cakul , afin que 1a poussée de la voûte ne soit pas soutenue seulement sur l'arête extérieure de la base , où la pierre s’écraserait , mais puisse se répartir sur une certaine surface. Mallieurcusemenc ces elTeu , qui dépendent principalement de^ qualités tics matériaux , ne sont guère de nature ù être soumis au calcul , et il faut avoir recours , pour les apprécier , aux résultats de ^'expérience et aux observations faites dans la ronsiruclion des grandes voûtes.

i86 LA SCIENCE DES INGÉNIEURS,

On doit appliquer aux renversements des piédroits des voAtes l'obtervation faite , iUns U note à la fin du livre précédent, sur le renversement des murs de terrasse , en remarquant que si le piédroit AE vient à tourner sur l'aréte D, il ne sera pas soulevé en entier , i moins que son épaisseur ne soit très-peu considérable et que les pierres ne fassent parpain , ou que l'adhésion des mortiers ne suit suffisamment grande. Ce piédroit tendra à se partager suivant le plan D T , incliné de la moitié d'un angle droit , en sorte que la partie A D T ne sera point soulevée. Donc , oti ne doit point en tenir compte dans l'évaluation de la force du piédroit , ce qui est une nouvelle raison de lui donner une épaisseur plus grande que celle qui aurait été déterminée par le problème 11.

Ou trouvera de plus grands développements sur la construction des voûtes dans le Traité de la Construction des Ponts , livre II , chap. III et IV , livre 111 , chap. U' , et livre IV , chap. IV. (A).

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