CHAPITRE QUATRIÈME

Qui comprend des règles pour trouver l' épaisseur des piédroits des -voûtes de toute sorte (f espèces , par le seul calcul des nombres , pour l’intelli- ^ gence de ceux qui ne savent pas F algèbre.

48. Je me suis engagé au commencement de ce second livre à donner des règles pour trouver l'épaisseur des piédroits des voûtes, afin de se passer du calcul algébrique, et contribuer à la satisfaction des personnes qui, quoique très-habiles d'ailleurs dans l'architecture militaire ou civile, ne s'y sont point appliquées, Quatid on écrit pour le public, et qu'il s’agit d’un ouvrage comme celui-ci , il faut autant qu'il est possible faire en sorte d'être entendu de tout le monde , principalement de ceux qui se contentent de savoir la pratique des choses , et qui veulent bien s'en rapporter à la bonne foi d'un auteur : soumission qu'il faut avoir nécessairement quand on ne peut en juger par soi-même. Car, comme il est une infinité de sujets qu’on ne peut comprendre sans des connaissances préliminaires, il ne dépend pas toujours de lui de se rendre intelligible à ceux qui ignorent le langage dont il est obligé de se servir, ce qui fait qu’avec les expressions les plus claires il n’en paraît pas moins obscur. Mais j’espère qu’il viendra un temps ou les géomètres, les physiciens, les ingénieurs et les architectes penseront àpeu-près de même. II y a quatre-vingts ans qu’on savait à peine ce que c’était que l’algèbre ; aujourd'hui il y a peu de personnes qui se mêlent de science, qui n’en sachent assez pour s’en .servir utilement, et je ne doute |K>int qu'à l'avenir on ne l'apprenne aussi communément que l’arithmétique.

Pour remplir parfaitement le dessein que je me suis proposé dans ce chapitre , je n’y supposerai rien de ce qui a été dit dans les précédents ; je ferai comme si je commençais seulement à parler des voûtes, ce qui m’obligera à des répétitions indispensables. Mais, comme je ne parle pas à ceux qui pourront se passer de ce que je vais dire , ils auraient

Vl. IV.

Fie. 7.

lüo LA SCIENCK DES INGÉNIEUR.S,

mauvaise grâce de s'en plaindre, d'autant plus qu’ils ne .seront peutêtre pas fâchés de faire usage des pratiques dont il va être question , pour se dispenser d’un calcul plus composé. Car il est à propos que l’on sache que les operations que l’on va faire m’ont été fournies par les formules algébriques que l’on a vues à la fin de chaque proposition des II* et III' chapitres, et que je n’aurais pu imaginer sans leur secours. Cependant les calculs en sont plus courts que ceux que l’on a vus dans les applications des mêmes chapitres , parce que j'en ai supprimé quelques circonstances dont on pouvait se passer, et en cela je me suis un peu relâché de cette grande précision que l’on exige en matière de géométrie, mais toujours en faveur de la pratique, c’est-à-dire en faveur de la solidité de l’édifice que l’on voudrait construire, puisque les épaisseurs des piédroits que nous allons trouver auront deux ou trois pouces de plus (|uc n’auraient donné les règles les plus exactes.

PROPOSITION PREMIÈRE

Problème.

Trouver t épaisteur des piédroits d’une voûte en plein cintre , pourpre en équilibre avec la poussée qu'ils ont à soutenir.

4q. Quand on veut connaître l'épaisseur qu’il faut donner aux piédroits d’une voûte , de quelque figure qu’elle puisse cire , soit en plein cintre, elliptique, en tiers-point, etc., il faut d’abord être prévenu de quatre choses essentielles : la première, la largeur et la hauteur de In voûte dans œuvre ; la seconde, l'épaisseur de cette voûte à l’endroit des reins; la troisième, .sa figure extérieure, et la quatrième, la hauteur des piédroits. Ensuite il sufTit de savoir un peu de géométrie pratique et la racine carrée, pour trouver le reste, comme on va le voir dans les exemples suivants.

Premier Exemple.

5o. On propose une voûte en plein cintre , dont l'extrados serait circulaire, comme dans la figure 7, qu’il faut considérer sans se mettre

LIVRE II. DE LA MECANIQUE DES VOUTES. itii en peine de la signification des lignes , dont nous ne ferons pas mention : on suppose que la hauteur BS des piédroits est de i5 pieds, le rayon AB de la, et l'épaisseur de la voûte de 3 pietls/ par conséquent le rayon EA ou AF sera' de i5. Cela posé, pour trouver l'épaisseur PS des piédroits , il faut se proposer quatre opérations.

Pour la première, il faut chercher la superficie des deux cercles qui auraient pour rayon AC et AE( c'est-à-dire, la et i5 pieds), prendre le quart de leur différence ( et l'on aura 64 pieds (juarrés ) , qu'il faut diviser par la hauteur du piédroit ( c’est-à-dire pat i5), et le quotient donnera 4 pieds 3 pouces 4 lignes, que tious nommerons premier terme.

Pour la seconde, il faut ajouter au rayon AC la moitié de l’épaisseur de la voûte, pour avoir la ligne AL(tle i3 pieds et demi ), qu’il faut quarrerct prendre la moitié du produit ( c’est-à-dire qi pieds i pouce 6 lignes ) , et en extraire la racine quarrée ( qu'on trouvera de g pieds 10 pouces), qu’on ajoutera à la hauteur du piédroit, et l’on aura a4 pieds lo pouces, que nous nommerons deuxième terme.

Pour la troisième , il faut ajouter ensemble le premier et le second termes ( c’est-à-dire 4 pieds 3 pouces 4 lignes et •xl^ pieds lo pouces, pour avoir ag pieds ■ pouce 4 lignes ) , qu’on multipliera par le premier (4 pieds 3 pouces 4 lignes), et le produit donnera ia4 pieds ü pouces 4 lignes pour la valeur du troisième terme.

Enfin, pour la quatrième opération, il faut extraire la racine quarrée du troisième terme (j’entends de ia4 pieds 6 pouces 4 lignes), qui est à-peu-près 1 1 pieds i pouce 8 lignes ) , et en soustraire la valeur du premier (c'est-à-dire 4 pieds 3 pouces 4 lignes ) : la différence , qui est 6 pieds i o pouces 4 lignes , sera l’épaisseur qu’il faut donner aux piédroits.

Second exemple.

Pi. IV

5i. Si l’on avait une voûte en plein cintre, dont l’extrados, an lieu E‘«' d’être circulaire, lût terminé par deux plans GH et GI , comme dans la figure lo, l’on trouvera l’épaisseur de ses piédroits en faisant encore quatre opérations semblables aux précédentes , puisqu’il n'y aura que la première qui sera un peu différente, la voûte n’étant pas la même que ci-devant.

ai

Supposant le rayon AD de la pieds, la hauteur BS des piédroits de i5, l’épaisseur FC de 3 dans le milieu des reins, et que l'angle HGI soit droit, on aura lequarré AFGW, dont le côté AF sera de |5 pieds.

Cela posé, pour la première opération, il faut chercher la superficie du quarré GFAVV, et en retrancher le quart de cercle CA, etc. , diviser la différence ( qui sera 1 1 a pieds ) par la hauteur BS des piédroits ( c'està-dire par i5 pieds), et le quotient donnera 7 pieds 5 pouces 7 lignes pour la valeur du premier terme.

La seconde opération se fera en ajoutant la moitié de l'épaisseur de la voûte FC au rayon AB pour avoir la ligne LA (de i3 pieds et demi), qu’il faut quarrer, prendre la moitié du produit, dont on extraira la racine(qui sera de 9 pieds lo pouces), qu'on ajoutera à la hauteur du piédroit, pour avoir a4 pieds 10 pouces, valeur du second terme.

Pour la troisième opération , il faut ajouter le premier terme ( 7 pieds 5 pouces 7 lignes ) au second ( a4 pieds 10 pouces), multiplier leur somme ( qui est 3a pieds 3 pouces 7 lignes ) par le premier ( 7 pieds 5 pouces 7 lignes ), et le produit sera a.4l pieds 1 pouce 3 lignes pour le troisième terme.

• £niin , pour la quatrième opération , on extraira la racine quarrée du

troisième terme ( a4< pieds 1 pouce 3 lignes, et on trouvera qu’elle est de 1 5 pieds 6 ponces a lignes ) , d'où il faut soustraire la 'valeur du premier terme ( 7 pieds 5 pouces 7 lignes ) : la différence sera N pieds 7 lignes pour l'épaisseur qu’il faut donner aux piédroits.

Remarque.

5a. Je viens de supposer que l'angle HGI était droit ; mais s’il était obtus ou aigu, il faudrait encore chercher la superficie du quadrilatère AFGW , et en retrancher toujours le quart de cercle C.A, etc., car quel que puisse être ce quadrilatère, on aura sans doute l'épaisseur CD au sommet de la voûte, par conséquent la ligne GA, et l’autre AF, aussi bien que l’angle FAG, qui suBiront pour connaître le reste.

Troisième exemple.

l’i.. IV. Ô3. Si le dessus de la voûte était terminé par une plate-forme , comme tic. II. (Jons la figure 1 1 , il suffira de connaître l'épaisseur GD de cette voûte

LIVUE 11. DE I.A MÉCANIQUE DES VOUTES. i6!i

à l'endroit de la clef, le rayon .AB, et la hauteur BS des piédroits, pour avoir l’épaisseur PS , en fai.sant encore quatre opérations.

Pour la première, il faut quarrer la ligne GA composée du rayon et de l'épaisseur de la voûte , du produit en soustraire le quart du cercle CAY , et diviser la différence par la hauteur des piédroits , afin d’avoir le premier ternie ; à l'égard des trois autres opérations, comme clics sont toutes semblables à celles des deux exemples précédents, il e.st inutile de les répéter.

PROPOSITION SECONDE

P RO BLÉ. MK.

Trouver l'épaisseur qu’il faut donner aux piédroits des voûtes elliptiques ou surbaissées.

54. Pour avoir une parfaite intelligence de ce problème, je conseille à ceux qui ne se sont point appliqués au chapitre précédent, de lire avec attention l’article 3o , où il est parlé de la manière de tracer une ellipse , ce qui leur suffira pour me suivre.

Ayant une voûte elliptique , comme dans la figure 8, dont on connaît p,.. v. les demi-axes Bll et IID, on commencera par diviser le quart d'ellipse *''®' *• BD en deux également au point L, duquel on abaissera sur DU et IIB les perpendiculaires LK et LV , dont on cherchera la valeur avec le secours de l'échelle ; et supposant que BH soit de 12 pieds et HD de 8, on trouvera que LK ou VII est de 7 pieds 6 pouces, et l^V ou KH de G pieds 3 pouces ; et faisant la hauteur BS du piédroit de i5 pieds, comme à l'ordinaire , il faut , pour en avoir l'épaisseur, se proposer cinq opérations.

Pour la première, il faut dire : comme le quarré de DH (de 64 pieds) est au quarré de BH (de i44)» ainsi la ligne KH ( de 6 pieds 4 pouces) est à la ligne KA, qu'on trouvera de i4 pieds 9 lignes , qui est le premier terme dont nous avons besoin.

Pour la seconde opération , il faut chercher la superficie des deux ellipses, dont la première aurait pour demi-axe BH et HD (de la pieds et de 8), et la seconde pour demi-axe HE et HG(de i3 pieds et de 4 > parce qu'on suppose que la voûté a encore 3 pieds d’épaisseur) : on retranchera la petite ellipse de la grande, et on prendra le'quart de la

i64 LA SCIENCE DES INGÉNIEURS,

diiréi'ence ( que l’on trouvera de 54 pieds ), qu'il faut diviser par la hau* teur du piédroit : le quotient sera de 3 pieds a pouces 4 lignes pour le second terme.

Pour la troisième opération , il faut ajouter la ligne LV ( qu’on a trouvée de 6 pieds 3 pouces )à la hauteur du piédroit ( pour avoir ai pieds 3pouees), qu’il faut multiplier par le premier terme ( 1 4 pieds 9 pouces), et diviser le produit par la valeur de LK ( qui est de 7 pieds 6 pouces ) ; le quotient sera d’environ 4 ■ pieds 10 pouces pour le troisième terme.

A l'égard de la quatrième , il faut ajouter le second terme au troisième ( pour avoir 4i pieds lo pouces), qu’on multipliera par la valeur du second (c’est-à-dire par 3 pieds 2 pouces), et le produit sera â-peu-prè;; i44 pour le quatrième terme.

Enfin la quatrième opération se fera en extrayant la racine quarrée du quatrième terme (ce qui sera de 12 pieds), de laquelle il faut soustraire le second (3 pieds 2 pouces 4 lignes), et la différence donnera 8 pieds 9 pouces 8 lignes pour l’épaisseur des piédroits.

Remarque .

55. Si l'extrados de la voûte, au lieu d’être elliptique, était terminé par deux plans, 5, 6, et 5, 4, comme on le pratique aux magasins à poudre et aux souterrains, il faudrait, au lieu de suivre ce qui est dit dans la seconde opération , chercher la superficie du quadrilatère AF, 5,3, (formé par l’angle F, 5, 3, et les deux lignes AF et A 3, qui ont été tirées des points L et 2 milieux des quarts d’ellipses DB et D 7 , an point .A que l’on a trouvé par la première operation ), en soustraire la figure mixtiligne ALD 2, et diviser le restant par la hauteur du piédroit, afin d'avoir un quotient qui donnera le second terme : quant aux autres of>érations, elles sont les mêmes que celles dont nous venons de parler.

PROPOSITION TROISIÈ.ME.

PnOBLÊME.

l’i. VI Kic. I.

Ttmiver l épaisseur qu'il faut donner aux piédroits des voûtes en tiers-

point.

56. Ayant une voûte en tiers-point dont on veut connaître l'épaisseur des piédroits, il faut d’ahord savoir à quelle distance les centres G et H,

LIVRE II. DE LA MÉCANIQUE DES VOUTES. i65 qui ont servi à décrire les deux arcs de la voûte, sont du point A milieu de BI, leur position étant arbitraire et dépendant du plus ou moins d’élévation qu’on veut donner à la voûte , il faut savoir comme on les a déterminés et toujours dans la ligne BI ; car s’ils étaient au-dessus ou au-dessous, comme je l'ai vu dans quelque ouvrage assez mal conçu, la voûte serait très-défectueuse , parce que son imposte ferait un jarret avec le piédroit, et aurait beaucoup moins de force pour résister au choc des bombes, si on la construisait |K>ur couvrir un magasin à poudre ou quelque antre édifice militaire. Nous supposerons donc qu’ils sont dans le milieu des lignes BA et AI , qui étant chacune de i a pieds , HBou HO sera de i8, et HA de 6 : de l’autre côté, faisant la voûte de 3 pieds d’épaisseur , et donnant encore i5 pieds à la hauteur BS des piédroits, on trouvera le reste en suivant les cinq opérations que voici.

Pour la première opération, il faut chercher par la trigonométrie l’angle AHD du triangle rectangle DAH, duquel on connaît les deux côtés DH et HA ( et on trouvera qu’il est de 70 degrés 3o minutes ).

Pour la seconde, il faut chercher la superficie des deux cercles qui auraient pour rayon HB et HE (de 18 et de ai pieds), en prendre la différence ( qu'on trouvera de 368 pied quarrés ) , ensuite dire : Comme 36o degrés est à la valeur de l'angle DHB(dc 70 degrés 3o minutes, que l’on a trouvé dans l’opération précédente), ainsi la différence des deux cercles (368) est à un quatrième terme (qu'on trouvera de 71 pieds 6 pouces 8 lignes) , qu'il faut diviser par la hauteur (i5) des piédroits, et le quotient sera 4 pieds g pouces 3 lignes pour le premier terme.

Pour la troisième, on tirera la ligne HF par le milieu C de l'arc BD (qui donnera 35 degrés i5 minutes pour l’angle LVH, par la première opération ( et du point L, milieu de FC, on abaissera la perpendiculaire LV, on aura le triangle rectangle LVH, duquel on connaît les angles et le côté HL (de 19 pieds et demi) : ainsi, par les calculs ordinaires, on trouvera ti pieds 3 pouces pour le côté LV et 16 pieds pour l’autre VH ; et, pour ne pas confondre ces deux grandeurs dans les c.dculs suivants, nous nommerons ii pieds 3 pouces second terme, et 16 pieds troisième terme.

Pour la quatrième opération , il faut ajouter le second terme { 1 1 pieds 3 pouces) à la hauteur du piédroit ( et l’on aura a6 pieds 3 pouces J, qu’on multipliera par le second terme même ( c’est-à-dire par 1 1 pieds

i66 LA SCIENCE DES INGÉNIEURS,

3 pouces), diviser le produit (295 pieds 4 pouces) par le troisième (j’entends par 16 pieds ), ajouter le quotient ( 18 pieds 5 pouces 6 lignes) an premier terme (4 pieds 9 pouces 3 lignes), et multiplier la somme ( qui est a3 pieds a pouces a lignes) par le premier terme ( 4 pieds 9 pouces 3 lignes ) : le produit sera environ 1 10 pieds 9 ponces 9 lignes pour le quatrième terme.

Enfin , pour la cinquième operation , on extraira la racine quarrée du quatrième terme ( c’est-à-dire de iio pieds 9 pouces 9 lignes, qu'on trouvera d’environ 10 pieds 6 ponces a lignes), d’où il faut soustraire le premier terme ( 4 pieds 9 pouces 3 lignes ) : la diflèrence sera 5 pieds 8 pouces 1 1 lignes , qui est l’épaisseur qu'il faut donner aux piédroits.

Remarque.

5y. Si l'extrados de la voûte, au lieu d’être curviligne comme nous le venons de supposer, était terminé par deux plans , 5 , 4« et 5, 6, il faudrait, dans la seconde opération , chercher la valeur du quadrilatère QF 5, 3 (formé par l'angle F 5, 3, et les deux lignes QF et Q 3, qui ont été tirées des centres G et H , pour diviser les arcs DB et DI en deux également ) en retrancher la figure mixtiligne QCD a , et diviser le restant par la hauteur du piédroit, le quotient sera le premier terme. A l’égard des autres opérations , elles doivent être de même que les précédentes.

PROPOSITION QUATRIÈME

PaoBLÈME.

Trouver t épaisseur quil faut donner à des piédroits qui soutiendraient une plate-bande.

Pt, VI. 58. La plate-bande est une espèce de voûte qui a la figure d’un pla- *■ fond : son usage le plus ordinaire est d’être employée dans les grands édifices où il y a des péristyles, comme au vieux Louvre à Paris, ou, bien on s’en sert, aux portes cochères ; et alors , comme celte voûte a beaucoup de poussée, on peut, pour la soulager du poids qu’elle aurait à porter, faire un arc de décharge comme je l’ai dit ailleurs. M. Abeille,

LIVRE II. DE LA MÉCANIQUE DES VOUTES. 167 ingénieur du canal de Picardie, a imaginé une construction de platebande fort ingénieuse ; la coupe des clavaux en est singulière, et contribue beaucoup à diminuer la poussée que les piédroits auraient à soutenir. J'en aurais volontiers fait la description , si elle était venue à ma connaissance avant que les planches de ce second livre fussent gravées.

Quand on veut construire une plate-bande LDKF, on décrit sur la ligne LF qui en doit déterminer l'étendue , un triangle équilatéral LAF, dont le point A sert de centre pour trouver la coupe des clavaux : ainsi les lignes LD et FF ( qui ne sont autre chose que les cotés du triangle prolongé), marquent les joints des deux derniers clavaux qui s'appuient sur les coussinets, de sorte que c'est le trapèze LDEF qui cause la poussée que les piédroits ont à soutenir ; or, si l'on suppose la ligue LF de a4 pieds, l'épaisseur CK de 3, et la hauteur LS des piédroits de i5, il faut, pour en trouver l'épaisseur, se proposer quatre opérations.

La première est de chercher la valeur de la perpendiculaire AK par le moyen du .triangle LAK , dont le côté LA étant double de LK, l'un sera de ta, et l'autre de o4, qui donneront 30 pieds q pouces 4 lignes pour KA , que nous nommerons premier terme.

La deuxième est de chercher la superficie du trapèze LDCK ( que l'on trouvera d'environ 38 pieds 3 pouces), qu'il faut diviser par la hauteur du piédroit (qui est de i5), et l'on aura a pieds 6 pouces 7 lignes pour le second terme.

Pour la troisième, il faut diviser la valeur de la ligne AK ( c'est-à-dire ao pieds g pouces 4 lignes ) par le quart de la largeur LF de la platebande (qui est 6), multiplier le quotient (3 pieds 5 pouces 6 lignes) par la superficie du trapèze LDCK ( que l'on a trouvé, dans la seconde opération , de 38 pieds 3 pouces ) , et le produit sera de a pieds 3 pouces 4 lignes pour le troisième terme.

Enfin , pour l.-» quatrième opération , il faut quarrer le deuxième terme ( a pieds 6 pouces 7 lignes ) , et ajouter le produit ( 6 pieds 5 pouces g lignes) au troisième ( a pieds 3 pouces 4 lignes ) de la somme ( qui est i38 pieds 9 pouces i ligne), extraire la racine quarrée ( qui sera de 1 1 pieds g pouces 4 lignes ) , de laquelle retranchant la valeur du second terme ( j'entends a pieds 6 pouces 7 lignes ) : la différence 9 pieds a pouces 9 lignes sera l'épaisseur qu'il faut donner aux piédroits pour soutenir la poussée de la plate-bande dans l’état d'équilibre.

l.fi SCIENCE DES INGÉNIEURS, Remarque.

Pi. \ Fig.

58. Quoique les règles que nous venons d’enseigner dans les quatre problèmes précédents , aient donné un peu plus d’épaisseur qu'il ne fallait aux piédroits pour être en équilibre avec la poussée qu’ils avaient k soutenir, on prendra garde que cette petite augmentation ne suffit pas dans la pratique , où il faut que la puissance résistante soit toujours beaucoup au-dessus de celle qui agit, afin que l’ouvrage en soit plus solide : c’est pourquoi il est à propos d’en augmenter l'épaisseur d’un sixième de ce qu’on aura trouvé par le calcul ; ou bien , si on l’aime mieux, on pourra, sans y faire aucune augmentation, fortifier les piédroits par les contreforts , ce qui est le parti le plus convenable et le plus conforme à l’usage, du moins quand il s’agit des ouvrages qui ont rapport à la fortification , étant les seuls que j'ai envisagés. Car j’aurais pu dans les chapitres précédents , aussi bien qne dans celui-ci , parler de la construction des voûtes des églises et de celles des autres édifices qui demandent de la légèreté et une certaine hardiesse : peut-être même que les idées que j’ai là-dessus pourraient mériter l’attention des curieux, principalement des architectes ; mais je n’ai pas voulu m’écarter de mon sujet, ni trop m'étendre sur ce qui aurait pu me distraire des autres parties qui doivent compo.ser la suite de mon ouvrage.

Je ne dirai rien non plus de la manière de déterminer la longueur des contreforts par rapport à leur épaisseur et leur distance, parce que je n’aurais pu le faire que par des opérations très-composées ; mais comme on peut s’en passer, puisque les personnes qui sont dans l’usage de faire travailler ont ordinairement assez de connaissances pour prendre d’euxmémes de justes mesures, les quatre propositions précédentes leur suffiront.

PROPOSITION CINQUIÈME

Problème.

Trouver tépaisteur qu’il faut donner aux culées des ponts de maçonnerie pour soutenir en équilibre la poussée des arches.

I. 5q. Voulantfaire un pont composéd’une arche en plein cintre RDI, ■' il faut élever sur le cintre A la perpendiculaire AG, et diviser le quart

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LIVRE II. DE LA MÉ.CANIQL’F, DES VOUTES. iCo de cercle BD en deux également par le rayon AF, ensuite mener la ligne MK parallèle à EA; en sorte qu'elle passe par le point L, milieu de l’épaisseur FC de rarclie, et alors elle déterminera la hauteur la plus convenable à donner à la eulée MPSQ. Or, supposant le rayon AB de 3G pieds, l'épaisseur FC ou GD de 6, et la hauteur BS de 12, on trouvera l'épaisseur PS de la culée en faisant les quatre opérations suivantes.

Pour la première , il faut quarrer la ligne AL (de 3<) pieds), prendre la moitié du produit et en extraire la racine (qu’on trouvera de 27 pied.s 7 pouces) , pour avoir la valeur de chaque côté LV ou VA du triangle rectangle LAV, et l’on aura en même temps la partie BV (de 8 pieds 5 pouees qu’il faut écrire à part, parce qu’on en aura besoin dans la troisième opération): ensuite ajouter ensemble les lignes LV et BS, pour avoir la hauteur M P de la culée de 3g pieds 7 pouces , qui sera le premier terme.

Pour la seconde , il faut chercher la valeur des deu.x cercles des rayons AD et AG (c’est-à-dire, de 36 et de 4a pieds), en prendre la différence et la huitième partie de cette différence (qu’on trouvera de 184 pieds carrés), qu’il faut diviser par le premier terme (j’entends par 3q pieds 7 pouces), et le quotient donnera 4 pieds 7 pouces 9 ligne.s pour le second terme.

Pour la troisième, il faut soustraire la partie BV (de 8 pieds 5 pouces qu’on a trouvée dans la première opération ) du premier terme (3g pieds 7 pouees) la différence (3i pieds 2 pouces), doubler, et l’on aura 62 pieds 4 pouces pour le troisième terme.

Enfin pour la quatrième,- il faut ajouter le second terme (4 pieds 7 pouces 9 lignes) au troisième (62 pieds 4 pouces, pour avoir 66 pieds 1 1 pouces 9 lignes), qu’on multipliera par le second terme, et extraire la racine carrée du produit (3ii pieds, qu’on trouvera de 17 pieds 7 pouces 9 lignes), de laquelle retranchant le second (4 pieds 7 pouces 9 lignes), la différence sera i3 pieds pour l'épaisseur de la culée; et si on l’augmente d’un sixième , suivant la remarque précédente , il faudra lui donner i5 pieds 2 pouces, pour mieux soutenir le poids de la chaussée du pont et des voitures qui passeront dessus.

Remarque.

Quoique les calculs précédents soient bien aisés , j'en aurais volontiers dispensé ccus qui n’en ont pas l’habitude , si j’avais pu donner des tables pour trouver l’épaisseur des piédroits des voûtes dans toute sorte de cas ; mais c’est ce qui ne m’a pas paru possible , vu que les édifices où on les emjiloie sont sujets à une infinité de circonstances dilTércntcs , soit par leur figure on par leur solidité , selon les usages auxquels on les destine : et si l’on savait ce qu’il m’en a coûté pour réduire la théorie aux pratiques que je viens d’enseigner, l’on conviendrait que, tout bien considéré, on n’a pas lieu d’étre mécontent de moi , puisque j’ai fait tout ce qui était en mon pouvoir pour m’accommoder aux différents génies de mes lecteurs , comme on s'en apercevra encore mieux dans la suite.

Là ilicorie îles votUes développée par Bélidor dans ce II* livre , et dont 1a première idée , comme on l'a vu ci-dessus , est due à Laliire , a été généralement adoptée jusqu'à ces derniers temps. La véritable analyse du problème n’a été publiée pour la première fois qu'en 1809, dans le Traité de la Construction des ponts, liv. II , chap. IV. Mais elle avait été indiquée , dès l'an VI (1797) , dans la Dissertation sur tes dégradations du Panthéon français , de M. Gautbey, et confirmée quelques années après par des expériences très-curieuses, faites par M. Boistard. Ces expériences, citées comme manuscrites dans le Traité de la Cortstruction des ponts, liv. II, chap. IV, ont été imprimées en 1810 , dans la H* part, du Recueil des Mémoires extraits de la hihliothique des Ponts et Chaussées, par M. Lesage , a* édition. On trouve également dans ce même Recueil des tables pour les épaisseurs des culées des voûtes , calculées par MM. Perronet et Cbézy , d'après l'hypntbèse de Lahire , en admettant pour les voûtes en anse de panier que le point de rupture est situé , non au milieu de la demi-voûte , comme le suppose Bélidor, mais au point de jonction des arcs, cette voûte étant décrite par trois arcs de cercle du sixième de la circonférence. Ces mêmes tables sont aussi imprimées dans la seconde édition du Cotsrs de construction de M. Sganxin. Quant à rhistoiie des différentes

rechercliM auxquelles la théorie des ToAtes a douné lieu, je renverrai au Traité de ia Construction des ponts , à l'endroit cité ci>dessus. Mais je vais reprendre ici l'aoaljse du problème, en me bornant, comme l'a fait Belidor, à considérer les voûtes en berceau , c'est'à'dire celles dont les surfaces de l'intrados et de l'extrados sont cylindriques.

Suit une voûte exécutée telle que ACn, et supposons qu'elle se maintienne en équi* libre. I.a forme de l'intrados ABa étant donnée, et supposant comme Bélidor que les voussoirs sont posés à sec les uns sur les autres, ou faisant abstraction de Vadbérencc des mortiers, les conditions de cet équilibre dépendent évidemment d'un certain rapport entre le poids de la partie supérieure et celui des parties inférieures , et c* est ce rapport qu'il s'agit de trouver, et qui donnera les relations qui doivent exister d'apré.\ la forme de 1a voûte entre son épaisseur au sommet, la hauteur et l’épaisseur de se» piédroits.

Supposons que, en menant de cluique coté les plans D'E', dd, on retranche une Pi.üticmk portion des piédroits, ce qui diminuera leur pesanteur, et par conséquent la résistance ^ I dont ils sont capables. A mesure que les lignes D E', dd s'éloigneront de DE, dcj la force du piédroit diminuera, et ces lignes arriveront à une position telle, que cette force ne sera plus capable de faire équilibre au poids de la partie supérieure de la voûte , et que cette voûte s'écroulera. Supposons que les lignes D'E' et d'd s'arrêtent dans la position qui convient à l'équilibre , et hors de laquelle les piédroits sont trop faibles ou plus forts qu'il n’est nécessaire ; alors la voûte sera prête à se rompre.

Celte disposition à la rupture , qui ue consiste que dans une disjonction ou un commencement de séparation entre les parties supérieures et les parties inférieures de la voûte, s'annoncera de chaque côté par l'ouverture d'un joint dans les reins, situé par exemple en K L et /I /; en sorte que la partie supérieure K C exercera de chaque coté une certaine pression contre KL et A/. Or, il est visible que cette pression , quelle qu'elle soit, ne peut tendre à partager les piédroits dans un point quelconque de leur liautcur; elle ne peut avoir d'autre elfct que de les faire tourner autour des arêtes extérieures D et de leur hase, et c'est ce dont U est facile de se convaincre : car, en supposant le plan KL poussé par une certaine force, et comparant le moment de celle force et le moment de stabilité du piédroit, en admettant que ce piédroit soit rompu dans l’un quelconque des joints compris entre KL et AD', on s’assurera que le moment de la force augmeulc par rapport à celui du poids du piédroit, à mesure que ce joint de rupture est pris plus bas , et que le premier moment est le plus grand possible par rapport au second, lorsque ce joint est placé en A D'. Donc, les parties inférieuies D'L et d'i formeront une seule masse dans la rupture de la voûte, en tournant autour de leurs arêtes extérieures D' et d\

Admettons présentement que la voûte ayant commencé à se rompre, tes parties inférieures se soient un peu déversées, en sorte que les points K et aient décrit de très-petits arcs de cercle autour des points D’ et d’ comme centres, et voyons ce qui arrivera dans la partie supérieure K CA. Si cette partie était faite d'une seule pierre, elle descendrait verticalement pendant le mouvement des parties inférieures, en glissant

da.

sui- les arêtes K et A:, et le frottement qui seiercerait sur ces arêtes s’opposerait à ce mouvement , et apporterait à la chfkte de la voi^te une résistance qui s’ajouterait à la stabilité du piédroit. Si 1a partie supérieure de la voûte est faite de deux pierres, en sorte qu'il y ait un joint en BC, il n’en sera pas de meme; et quand les deux arêtes K cl il s’écarteront par l'efTet du mouvement de rotation des piétlroits, les deux pierres, au lieu de glisser sur ces arêtes , suivront leur mouvement en s’appuyant l'une contre l'aHtre en C , et ouvrant leur joint commun en B. Pour s'en convaincre, il suffit dob* server que, par ce genre de mouvement, le centre de gravité commun des deux parties KC, descend beaucoup plus pour un écartement donné des parties inférieures, qu'il ne poumiit le faire dans le cas où ces deux pierres, n’en faisant qu'une seule, glisseraient sur les deux arêtes K et k; et c'est évidemment par cette condition que la nature du mouvement de la partie supérieure de la voûte doit être déterminée. On voit d'ailleurs que, comme il n’y aura aucun glissement, le frottement n'entrera pour rien dans la résistance du piédroit. Si on admet enfin que cette partie supérieure soit divisée en un nombre quelconque de voussoirs , les choses s'y passeront encore comme dans le cas précéileut ; car, dans le mouvement de chacune des deux parties KC et ê~C, les voussoirs qui les composent étant soumis à des pressions qui s'exerceront du point C sux points K et it*, tendront i demeurer appliqués les uns contre les autres comme s'ils ne formaient qu'un seul corps , de la même manière que les assises des piédroits lorsqu'ils tournent autour des arêtes D et d.

Il résulte de cette anal3rse que, au moment où une voûte est prête k se rompre, elle se sépare en quatre parties dont les deux inférieures portent sur leurs bases par les arêtes D' et rf' , et dont les deux supérieures portent sur les inférieures par les .irêtes K et A', en s'appuyant l'une contre l'autre par l'arête C. Si 1a rupture a lieu, ces quatre parties tournent autour de ces cinq arêtes comme sur des charnières , jusqu'à ce que les points K et A: se soient tellement écartés , que leur distance horizontale soit devenue égale à U somme des deux lignes KG et ke. Alors la partie supérieure n'étant plus soutenue tnml>e verticalement, et la voûte s’écroule tout-à-fait. Si on joint les arêtes qui servent d'axes à ces mouvements de rotation par les lignes D'K, KC, tflcy kC , on pourra considérer ces lignes comme des leviers mobiles à leurs extrémités sur des charnières, et chargés chacun du poids des portions de voûte qui leur correspondent, et il est évident que les conditions de l'équilibre de ces leviers sont absolument les mêmes que celles de la voûte, en sorte qu'il faudra concevoir que le poids de la |»artif supérieure K CA-, décomposé dans le sens des lignes CK,cA‘, est une force appliquée aux extrémités Kjê, des leviers D'K, (t’ky qui tend à les faire tourner en dehors autour des points fixes D' et </' , tandis que le poids des parties inférieures D'E', ^V, tend à faire tourner ces mêmes leviers en dedans, et c'est de l’équilibre de ces forces que dépend la stabilité de la voûte. Quant aux joints de rupture K et i , ils sont pbcés dans le heu où la voûte est la plus faible, ou, pour s'exprimer avec plus de rigueur, dans le lieu où le moment des pressions exercées en K, à:, qui tendent à renverser les piédroits D'L', cf/', pris par rapport aux points fixes D', d' , est le plus

NOTE SüB LA THÉORIE DES VOUTES. 173

grand powibln par rapport au moment da poids de cea piédroits , pris par rapport aux mdmes points.

Supposons maintenant qu’au lieu de diminuer lepaUsctir des piédroits on diminue celle de la TOÛte, en menant la courbe ponctuée VC V, Il résultera de cette diminution que Vangle des deux lignes CK, cky qui deviennent C'K, c'*, diminuera, en sorte que les pressions résultant du poids de la partie supérieure de la voûte , et exercées suivant ces lignes, augmenteront. De plus, ecs mêmes lignes se trouvant fortner un angle plus grand avec la direction des leviers DK, dk, la force avec laquelle ces pressions tendent à faire tourner les parties inférieures autour des points D, d, augmentera, en sorte qu’il pourra arriver, quoique la valeur absolue du poids de la partie supérieure KC'i’ ait diminue proportionnelleiiient davantage que la valeur du poids des parties inférieures DL', rfL' , que cependant la poussée de la voûte ait augmenté, d'où U résulte qu’au-delà d'une certaine limite la voûte cesserait de se soutenir.

Admettons ensuite qu’on augmente l’épeissetir de la voûte en prolongeant les voussoirs jusqu'à la ligne ponctuée L* C” /*. Les ligues CK, C é: , devenant CK , , leur

inclinaison diminuera, ainsi que l'angle qu’elles forment avec les leviers !)</, dk. Ces deux causes tendront à faire diminuer la poussée de la voûte \ mais le poids absolu de la partie supérieure augroenunt dans un plus grand rapport que celui des piédroits, ce qui tend à augmenter cette poussée , et fait compensation , la forme de la voûte peut être telle que U poussée augmente en même temps que son épaisseur , et qu audelà d'une certaine limite , cette poossée devienne plus grande que la résistance des piédroita.

Ainsi , CD général , l’épaissenr d'une voûte étant donnée , la limite inférieure de répaisseur de ses piédroits est aussi donnée ; et réciproquement l’épaisseur des pié* droits étant donnée, les limites supérieures et inférieures de l'épaisseur de la voûte sont aussi données.

Observons maintenant qu’il peut y avoir des circonstances où reffet de la poussée lie soit point de renverser les parties inférieures en les faisant tourner autour de l'arête extérieure de leur base. En effet, U pression qui s’exerce suivant la ligne K D étant inclinée sur les joints des assises de la partie inférieure , elle se décompose à leur rencontre en deux forces, l'une perpendiculaire à cea joints, détruite par la résistance de la pierre , et l'autre qui leur est parallèle , et tend à faire glisser les parties supérieures sur ces joints; eu sorte que, si ce pissement ^ut s'opérer, et que le frottement et l'adhérence des mortiers n'y opposent pas nne résistance suffisante, la rupture de la voûte aura lieu. 11 est évident que , dans l’équilibre de la voûte considéré sous ce nouveau point de vue , 1a position des joints de rupture sera autre que dans le premier cas; mais ils se trouveront tonjours placés dans le lieu où l’effort des parties supérieures sera le plus grand possible par rapport à la résistance que Ica parties inférieures lui opposent.

l^LAXCHF

VI bii.

Fig. a.

On voit qu'en examinanl avec attention U nature du ayatème formd par une Tot^te, on découvre facilement queU sont les mouvements qui peuvent s y manifester, et comment on doit établir les conditions de son équilibre. Cependant l'erreur dans laquelle Labire et Parent éuient tombés à ce sujet, avait tellement égaré les espriu , que ce n'est qu'après des observations multipliées et des expériences spéciales qu'on a reconnu que ces mouvements étaient tels que je viens de les décrire. Comme ces observations et ces expériences sont rapportées en détail dans les ouvrages cités ct-dessus , je me dispenserai de les donner ici , d'autant plus qu'elles ne font que confirmer les f résultats que je viens d'obtenir, sur lesquels il ne reste présentement aucun doute. Je me bornerai donc à développer ces résultats , en exposant la solution des principaux problèmes qtii concernent les voi\tes.

1. Une voûte étant donnée y déterminer la posuion des joints de rupture dans le cas où les piédroits seraient renversés^

pLAffCHX

VI hh.

Fie. 3.

Soit une voûte quelconque, telle que ACa, dans laquelle on veut trouver les joints KL, kl y où U rupture $c ferait dans les reins, si les piédroits étaient trop faibles. Menons les bgnes DK et CA, dk et CA, qui seront la direction des quatre leviers assujétis à tourner autour des points D, K , C, A, dy et chargés respectivement des pokls des portions de voûte correspondantes, et considérons seulement une des moitiés de U %oûte. Nommons p le poids de la partie DK , et p* celui de la partie CK.

Soit x' et y’ les distances horixontalcs et verticales du point K au point 6xe D; ar* et y" celles du point C au point K ; M et N étant les points où les verticales passant par les centres de gravité des portions de voûte DK et KC rencontrent les leviers, soient a! la distance horixonulc du point M au point D, et a* celle du point N au point K.

Une partie du poids p* suspendu en N est portée par le point K , et a pour expres-