LIVRE II. DB LA MÉ.CAÎIIQUE DES VOUTES

de cercle BD en deux également par le rayon AF, ensuite mener la ligne M K parallèle à EA; en sorte qu'elle passe par le point L, milieu de l'épaisseur F G de Tarche^) et alors elle déterminera la hauteur la plus convenable à donner à la culée MPS^, Or, supposant le rayon ÀB de 36 pieds ,Tépaisseur FC ou GD de 6, et la hauteur BS de 12, on trouvera Tépaisseur PS de ta culée en faisant les quatre opérations suivantes.

Pour la première , il faut quarrer la ligne AL (de 3g pieds), prendre la moitié du produit et en extraire la racine ( qu'on trouvera de 27 pieds 7 pouces) , pour avoir la valeur de chaque côté LV ou VA du triangle rectangle LAV, et Ton aura en même temps la partie BV (de 8 pieds 5 pouces qu'il faut écrire à part^ parce qu'on en aura besoin dans la trpisième opération) : ensuite ajouter ensemble les lignes LV et BS^ pour avoir la hauteur M P de la culée de 3g pieds 7 pouces , qui sera le premier terme.

Pour la seconde, il faut chercher la valeur des deux cercles des rayons AD et A G (c'est-à-dire, de 36 et de 4^ pieds) , en prendre la différence et la huitième partie de cette différence ( qu'on trouvera de 184 pieds carrés), quMl faut diviser par le premier terme (j'entends par 39 pieds 7 pouces), et le quotient donnera 4 pieds 7 pouces 9 lignes pour le second terme.

Pour la troisième, il faut soustraire la partie BV (de 8 pieds 5 pouces qu'on a trouvée dans la première opération ) du premier terme (39 pieds 7 pouces) la différence (3i pieds 2 pouces), doubler, et Ton aura 62 pieds 4 pouces pour le troisième terme.

Enfin .pour la quatrième, il faut ajouter le second terme (4 pieds 7 pouces 9 lignes) au troisième (6a pieds 4. pouces, pour avoir 66 pieds i I pouces 9 lignes) , qu'on multipliera par le second terme, et extraire la racine carrée du produit (3ii pieds, qu'on trouvera de 17 pieds 7 pouces 9 lignes), de laquelle retranchant le second (4 pieds 7 pouces 9 lignes), la différence sera i3 pieds pour l'épaisseur de la culée ; et si on l'augmente d'un sixième , suivant la remarque précédente , il faudra lui donner 1 5 pieds 2. pouces , poux mieux soutenir le poids de la chaussée du pont et des voitures qui passeront dessus.

Remarque.

Quoique les calculs précédents soient bien aisés , j*en aurais volontiers dispensé ceux qui n'en ont pas l'habitude , si j'avais pu donner des tables pour trouver l'épaisseur des piédroits des voûtes dans toute sorte de cas ; mais c'est ce qui ne m'a pas paru possible , vu que les édifices où on les emploie sont sujets à une infinité de circonstances difîé rentes, ^oit par leur figure ou par leur solidité, selon les usages auxquels on les destine : et si l'on savait ce qu'il m'en a coûté pour réduire la théorie aux pratiques que je viens d'enseigner , l'on conviendrait que, tout bien considéré, on n'a pas lieu d'être mécontent de moi , puisque j'ai fait tout ce qui était en mon pouvoir pour m'accommoder aux différents génies de mes lecteurs, comme on s'en apercevra encore mieux dans la suite.

Xja théorie des voûtes développée par Bélidor dans ce 11^ livre , et dont la première idée y comme on Fa vu ci-dessus , est due à Lahire , a été généralement adoptée jusqu'à ces derniers temps. La véritable analyse du problème n a été publiée pour la première fois quen 1809, dans le Traité de la Construction des ponts, liv. II , chap. IV. Mab elle avait été indiquée, dès Tan VI (1797)9 dans. la Dissertation sur les dégradations du Panthéon français ^ de M. Gauthey, et confirmée quelques années après par des expériences très-curieuses, faites par M. Boistard. Ces expériences, citées comme manuscrites dans le Traité de la Construction des ponts , liv. II , chap. IV , ont été imprimées en 1810 , dans la 11^ part, du Recueil des Mémoires extraits de la bibliothèque des Ponts et Chaussées y par M. Lesage , v^ édition. On trouve également dans ce même Recueil des tables pour les épaisseurs des culées des voûtes , calculées par MM. Perronet et Cbézj , d'après Thypothèse de Labire, en admettant pour les voûtes en anse de panier que le point de rupture est situé, non au milieu de la demi*voûte, comme le suppose Bélidor, mais au point de jonction des arcs , cette voûte étant décrite par trois arcs de cercle du sixième de la circonférence. Ces mêmes tables sont aussi imprimées dans la seconde édition du Cours de construction de M. Sganzin. Quant A Thistoire des différentes

FiG. 1.

recherches auxquelles la théorie des voûtes "a donné lieu , je renyerrai au Traité de la Construction des ponts , à Tendroit cité ci-dessus. Mais je vais reprendre ici l'analyse du problême y en me bornant, comme la fait Bélidor, à considérer les v6ùtes en berceau j cfist*à-dire celles dont les surfaces de Tintrados et de Textrados sont cylindriques.

Soit une voûte exécutée telle -que ÂG a , et supposons qu'elle se maintienne en équilibre. La forme de l'intrados ABa étant donnée^ et supposant comme Bélidor que les Youssoirs sont posés à sec les uns sur les autres , ou faisant abstraction de l'adhérence des mortiers , les conditions de cet équilibre dépendent évidemment d'un certain rapport entre le poids de la partie supérieure et celui des parties inférieures , et c'est ce rapport qu'il s'agit de frouver, et qui donnera les relations qui doivent exister d'après la forme de la voûte entre son épaisseur au sommet , la hauteur et l'épaisseur de ses piédroits.

Supposons que, en menant de chaque côté les plans D'E', de' ^ on retranche une Planchb portion des piédroits, ce qui diminuera leur pesanteur, et par conséquent la résistance ^' ^^* dont ib sont capables. A mesure que les lignes DE', de! s'éloigneront de DE, de^ la force du piédroit diminuera , et ces lignes arriveront à une position telle , que cette force ne sera plus capable de faire équilibre au poids de la partie supérieure de la voûte , et que cette voûte s'écroulera. Supposons que les lignes D'E' et d'e' s'arrêtent dans la position qui convient à l'équilibre , et hors de laquelle les piédroits sont trop faibles ou plus forts qu'il n'est nécessaire ; alors la voûte sera prête à se rompre.

Cette disposition à la rupture , qui ne consiste que dans une disjonction ou un commencement de séparation entre les parties supérieures et les parties inférieures de la voûte, s'annoncera de chaque côté par l'ouverture d'un joint dans les reins, situé par exemple en KL et A:/; en sorte que la partie supérieure KC A exercera de chaque côté une certaine pression contre KL et A:/. .Or, il est visible que cette pression, quelle qu'elle soit , ne peut tendre à partager les piédroits dans un point quelconque de leur hauteur^ elle ne peut avoir d'autre effet que de les fiiire tourner autour des arêtes extérieures D' et d de leur base, et c'est ce dont il est facile de se convaincre : car, en supposant le plan KL poussé par uiie certaine force , et comparant le moment de- cette force' et le moment de stabilité du piédroit, en admettant que ce piédroit soit rompu dans l'un quelconque des joints compris entre KL et AD', on s'assurera que le moment de la force augmente par rapport à celui du poids du piédroit, à mesure que ce joint de rupture est pris plus bas, et que le premier moment est le plus grand possible par rapport^au second, lorsque ce joint est placé en ÂD'. Donc, les parties inférieures D'L et d*l formeront une seule masse dans la rUpture de la voûte, en tournant autour de letu's arêtes extérieures D' et ^\

Admettons présentement que la voûte ayant commencé a se rompre , les parties Inférieures se soient un peu déversées, en sorte que les points K et ^ aient décrit de très-petits arcs de cercle autour des points D' et rf' comme centres , et voyons ce qui arrivera dans la paitie supérieure KG^. Si cette partie était faite d'une seule pierre, elle descendrait verticalement pendant le mouvement des parties inférieures, en glissant

sur les «rétes K et i(, €t le frotteniMt qm s'esercenit sur ees «rkes •'opposeniit à ce mouTement , et apporterait à la chftte de la ToAte une rMstanoe qui s'ajouterait à Is stabilité du piédroit. S la partie supérieure de la Toète est fidte de deux piètres , en sorte qu'il y ait un joint en BG , il n'en sera pas de même ; et quand les deux nrétes K et /t s'écarteront par l'effiet du mouyeraent de rotation des piédroits , les deux pierres , au lieu de glisser sur ces arêtes , suivront leur mouvement en s'appuyant l'une c^tre 1 autre en G , et ouvrant leur joint commun en B. Pour s'en convaincre , il suffit d'observer que, par ce genre de mouvement, le centre de gravité commun des deux parties KG j kc y descend beaucoup plus pour un écartement donné des parties inférieures , qu'il ne pourrait le faire dans le cas où ces deux pierres , n'en fiûsant qu'une seule , glisseraient sur les deux arêtes K et ^; et c'est évidemment par cette condition que la nature du mouvement de la partie supérieure de la voûte doit être déterminée^ On roit d'ailleurs que, comme il n'y aura aucun glissement, le frottement n'entrera pour rien dans la résistance du piédroit. Si on admet enfin que cette paitie supérieure soit divi* sée en un nombre quelconque de voussoirs , les choses s'y passeront encore comme dans le cas précédent ; car, dans le mouvement de chacune des deux parties KG et AC , les voussoirs qui les composent étant soumis à des pressions qui s'exerceront du point G aux points K et il*, tendront à demeurer appliqués les uns contre les autres conanie s'ils ne formaient qu un seul corps , dé k même manière que les assises des piédroits lorsqu'ils tournent autour des arêtes D et d.

Il résulte de cette analyse que, au moment où une voûte est prête à se rompre, elle se séjpare en quatre parties dont les deux infiérieures portent sur leurs bases par les arêtes D^ et flf' , et dont les deux supérieures portent sur les inférieures par les arêtes K et ^, en s'appuyant l'une contre Tautre par Farête G. Si la rupture a lien , ces quatre parties tournent autour de ces cinq arêtes comme sur des charnières , jusqu'à ce que les points K et A* se soient tellement écartés , que leur distance horitontale soit devenue égale à la somme des deux lignes KG et ^c. Alors la partie supérienre n*étant plus soutenue tombe verticalement, et la voûte s'écroule tout-à-fiaiit. Si on joint les arêtes qui servent d'axes à ces mouvements de rotation par les lignes D'K , KG , ifk^ ^G , on pourra considérer ces lignes comme des leviers mobiles k leurs extrémités sur des charnières , et chargés chacun du poids des portions de voûte qui leur cotrespondent , et il est évident que les conditions de l'équilibre de ces leviers sont absolument les mêmes que celles de la voûte , en sorte qu'il budra concevoir que le poids de la partie supérieure KGAr, décomposé dans le sens des lignes GK, r^, est une force appliquée aux extrémités K,^, des leviers D^K, d'k^ qui tend à ieâ faire tourner en dehors autour des points fixes D' et d^ , tandis que le poids des parties infiirieures D'E' , d'e' , tend à faire tourner ces mêmes leviers en dedans , et c'est de l'équilibre de ces forces que dépend la stabilité de la voûte. Quant aux joinU de rupture K et A ^ ils sont placés dans le lieu où la voûte est la plus faible, ou, pour s'exprimer avec plus de rigueur, dans le lieu où le moment des pressions exercées en K; Jt, qui tendent à renverser les piédroiu D'L', d'I'^ pris par rapport aux points fixes D% if ^ est le phis

FiG, 2.

gtmà pûâèiMd pâ» tiaip|»éM aU mômMt du poids de ceB piédtote j pris p*v rapport aux snâdi«8 points.

Supposons maintenant qu'au lieu de diminuer Tépaisseur des piédroits on diminue Planche cdle de là Toûte, en menant la courbe ponctuée UCT. Il résultera de cette dimi- VI bis. nution que Tangle des deux lignes CK, ck^ qui deviei^nent CK, c'A-, diminuera, en sorte que les pressions résultant du poids de la partie supérieure de la voûte ^ et exercées suivant ces lignes , augmenteront. De plus , ces mêmes lignes se trouvant former un angle plus grand avec la direction des leviers DK, dk, la force avec laquelle ces pressions tendent à faire tourner les parties inférieures autour des points D , </, augmentera, en sorte qull pourra arriver, quoique la valeur absolue du poids de la partie supérieure KG' k ait diminué proportionnellement davantage que la va-^ leur du poids des parties inférieures 1^1/ j dl/ ^ que cependant la poussée de la voûte ait augmenté , d'où il résulte qu'au-delà d'une certaine limite la voûte cesserait de se soutenir.

AdmettoAS ensuite qu'on ai^gmente répaisseuv de la voAte en pxolMgeant les vousùAn jusqu'à la Itgtie pcAictuée V G^ P. Les lignes C K , G it , devenant G'^K , Ck , iMr îaditiâdioti dimifiuera^ «ûm que Taiigle qs'^Ues forment avec les leviers D^, dk. Ces àwx caus«i tendiiMit à f«ire diminuer k poussée de k voûte ; m*ifl le poids absolu de k pàitie supérieiiré bugttMtflaat dàiM u» plus gruûd rapport que celui des piédroits , ce qui tend à augmenter cette pottBsée , «t fait teoinpensation , k forme de k voûte peut être telle que k poussée «ujglMtHite «m même temps que son épaisseur , et qu'auddà d'une œitaine liaûte , cette poussée devienne phu grande que k résistance des pwlrolu.

Ainsi , en général , l'épaissetU" d'une voûte étant donnée , la limite inférieure de répaisseur de ses piédroits est aussi donnée ; et réciproquement l'épaisseur des pié^ droits étant donnée , lëS limites supérieures et inférieures de l'épaisseur de k voûte sont aussi données.

Observons maintenant qu'il peut 7 avoir des circonstances où l'^et de k poussée ttt soit point de tenverMr lea partie» inférieures en les âûsant tourna autour de Taréte extérieure de kur base. En effet , la pression qui s'exerce suivant la ligne K D étant ifidinée Kur les joints de» as&is^es de k partie inférieure, elle se décompose à«leur rencontre en deux farces, l'une perpendicukire à ces joiiifs , détruite par k résistance de k pierre, et l'autre qid leur est parallèle, et tend à faire glisser les parties supérieui*es sur ces joints; en sorte que^ si ce glissement peut s'opérer, et que le frottement et l'adhérence des mortiers n'y opposent pas uiie résistance suffisante , k rupture de k voûte aura lieu. Il est évident que , dans l'équilibre de k voûte considéré sous ce nou*veau point de vue , k position des joints de rupture sera autre que dans le premier ois; mak ik se trouterèfit toiqours pkeés dans le lieu où l'effort des parties supérieures sera le plus grand possible par rapport à k résistance que les parties inférieures hii opposent.

On voit qu*en examinant avec attention la nature du système fonnë par une Toùte, on découvre facilement quels sont les mouvements qui peuvent s'y manifester, et comment on doit établir les conditions de son équilibre. Cependant l'erreur dans laquelle Lahire et Parent étaient tombés à ce sujet, avait tellement égaré les esprits, que ce n'est qu'après des observations multipliées et des expériences spéciales qu'on a reconnu que ces mouvements étaient tels que je viens de les décrire. Comme ces observations et ces expériences sont rapportées en détail dans les ouvrages cités ci-dessus , je me dispenserai de les donner ici , d'autant plus qu'elles ne font que confirmer les résultats que je viens d'obtenir , sur lesquels il ne reste présentement aucun doute. Je me bornerai donc à développer ces résuluts , en exposant la solution des principaux problèmes qui concernent les voûtes.

I. Une voûte étant donnée^ déterminer la position des joints de rupture dans le cas oii

les piédroits seraient renversés*

^ANCHx g^*^ ^^^ voûte quelconque, telle que ÂCa, dans laquelle on veut trouver les joints FiG. 3*. KL, >(-/, où la rupture se ferait dans les reins, si les piédroits étaient trop faibles. . Menons les lignes DK et CA: , <tt et C^^ qui seront la direction des quatre leviers assujettis à tourner autour (des points D, K , C , ^, </, et chargés respectivement des poids des portions de voûte correspondantes, et considérons seulement une des moitiés de la voûte. Nommons \l le poids de la partie DK , et pi' celui de la partie CK.

Soit x' et y 1^^ distances horizontales et verticales du point K au point fixe D; x* et x"" celles du point C au point K ^ M et N étant les points ou les verticales passant par les centres de gravité des portions de voûte DK et KC rencontrent les leviers, soient ol' la distance horizontale du point M au point D, et a' celle du point N au point K.

Une partie du poids \l^ suspendu en N est portée par le point K , et a pour exprès-

CN x^ — — a" sion ja' gi^mix" — — , Une autre partie est portée par le point C, et a pour

NK a*

expression p." —^ = jjt" — . La partie CK de la voûte chargeant le point C d'un poids

égal à ce dernier, ce point se trouve chargé en totalité du poids a[A.' — ; , lequel étant

décomposé dans le sens des deux Ugnes CK, eA:, donne pour la valeur de ses composantes

En supposant cette dernière force appliquée en K , on peut la remplacer par deux autres, l'une horizontale, dont l'expression sera (i*" -; , et l'autre verticale, qui est

Ja" —h" Dun autre côté , la partie du poids [x' suspendu en M, portée par le point K,

est \if -^^ = |ji' -7, Ainsi rextrémité K du leyier DK se trouve soumise à la force verticales--- + ^—^ — '- + »— 77- , ou «—7- + pt" , laquelle tend à l'afFermir dans

sa position, et à la force horizontale |a" —, laquelle tend à le renverser. Le moment de cette dernière force , pris par rapport au point D , est

celui de la première, pris par rapport au point, est

et la position des joints de. rupture KL et ^/ dépend du rapport des deux moments (A) et (B) : ces joints seront placés dans l'endroit de la voûte où le moment (A) sera le plus grand possible par rapport au moment (B). Ainsi, faisant différentes hypothèses sur la position du point K , et calculant pour chacune la valeur de ces deux moments , on trouvera la position des joints de rupture en comparant ces deux valeurs, et choisissant le point ou le rapport de la première à la seconde est le plus grand. .

Pour que la voûte puisse se maintenir en éqtdlibre, il faut que le moment (9) soit partout plus grand que (A).

La position du point de rupture est quelquefois donnée par la forme de la voûte. Par Planche exemple, dans la voûte en arc de cercle ACa, les joints de rupture sont placés en KL, Z, kl jet on pourrait faire varier dans des limités assez étendues l'épaisseur des piédroits , celle de la voûte, et le surbaissement de Tare KB^, sans que ces joints de rupture changeassent de position.

Dans une voûte en plate-bande , le point de rupture est toujours k la jonction de la plate-bande et du piédroit.

IL Une voûte étant donnée , déterminer la position des joints de rupture , dans le cas oh les parties inférieures glisseraient sur les piédroits.

Il[faut remarquer, dans le cas où les parties inférieures doivent céder en glissant, Planche que la séparation doit se faire aux joints EF et ^y , où sont placées les naissances \ car, VI àis» de tous les joints qui existent dans la hauteur des piédroits, ce sont eux qui se trouvent ^'

les moins chargés , et où conséquemnîent le frottement oppose le moins de résistance. Cela posé , KL et A/ étant par hypothèse la position des joints de rupture, le système des leviers FK, KC,yA:, ^C, susceptibles de tourner sur les points K, C, ^, et de glisser sur les lignes horizontales £F, ef, représentera le système de la voûte. Nommant \k^ le poids de la portion FK, (Ji,, celui de la portion 'R.C^x^ety^ les distances horizontales et verticales du point K au point F , x„ et 7,, les mêmes distances du point C

1^6 LÀ SCIEVCB DES IITGÉNIEURS,

au point K , a' et a^ les distances horixontales aux points F et K des points de reaoontre M et N des verticales passant par les centres de grayitë de \l, et |a^ avec les lerien FK et KG , on trouvera , comme dans le proUéme I* , ^e la partie supérieure de la voûte exerce au point K une pression dirigée dans le sens CK qui équivaut à une force horizontale représentée par ^" " , et à une force verticale représentée par (i.^. D un autre

côté, le levier FK est chargé du poids (&,. En décomposant ces trois forces dans la direction de ce levier , et les ajouUnt on aura pour représenter la pression qui s'exerce dans le sens KF^

Cette force , supposée appliquée au point F, s'y décompose en deux autres , Tune horizontale , dirigée dans le sens FE , qui tend à opérer le glissement , et dont la valeur est

lautre verticale , dont la valeur est

et c'est le frottement que cette dernière force feiit naître qui forme la résistance de la voûte. Nommanty le rapport de la pression normale au frottement » on aura pour Fexpressîon de cette résistance

/[ft», + ^(.+..i)]^. (D)

en sorte que k position des joints de rupture clépendra du mpport des deux forces

(C) et (D) , et que les joinU seront placés dans Tendroit où la première sera la pliis|;caiHle possible par rapport à la seconde.

Si on veut avoir égard à la résistance au glissement provenant de Tadhérence produite par les mortiers , nommant g la force d adhérence sur l'unité de sur&ce et a Taire du joint FG, cette résistance sera représentée par ga^ et en l'ajoutant à celle du frottement, on aura pour la résistance totale

Ce sera alors du rapport des expressions (C) et (E) que dépendra la position des joints de rupture. Ils seront placés dans l'endroit où la valeur de la force (C) sera la plus grande possible par rapport à celle de la force (E). Quant aux expressions numériques des conslantesy et^, on peut employer daps la pratique les valeursy= 0,76, ^=6960 kilogrammes 9 le mètre carré étant l'unité de surface., (Voyez à ce sujet le Traki de la Construction des ponts , liv. II , chap. Ilf . )

III. Une voûte étant donnée , déterminer VépcUsseur que ses piédroits doiuetU at^oir pour

résister à la poussée , dans le cas où ces piédroits seraient rem^ersés.

Je suppose que ^intrados de la voûte et son épaisseur B G sont donnés , ainsi que Plah chb tes hauteurs de. ses piédroits, et qu'il s*agit de fixer leur épaisseur AD, a^/. VI bis.

En égalant les expressions ci-dessus des deux moments (A) et (B) , on a 1 équation

qui exprime les conditions nécessaires pour que l'équilibre ait lieu dans la voûte , en supposant que le point K soit le joint de rupture. Il est évident que lepaisseur AD du piédroit doit être déterminée de manière à ce que , dans cette supposition , cette équation se trouve satisfaite.

Pour faire cette détermination , on fera une hypothèse sur la position du point K : les quantités ^' , 7% x*' , 7", a" et p.", qui dépendent de la- position de ce point , se trouveront données. On exprimera les quantités restantes (xf et \f/ en fonction de l'épaisseur A D y puis y substituant toutes ces valeurs dans 1 équation (F) , on aura une équation entre AD et des quantités connues, qui montera au second degré , et d'on on tirera la valeur de cette quantité. Faisant ensuite une seconde hypothèse sur la position du point R , on obtiendra par le même moyen une seconde valeur pour AD, et ainsi de suite. La plus grande des valeurs de AD obtenues de cette manière sera lepaisseur cherchée , et la position correspondante du point K sera celle des joints de rupture. ( Voyez pour les applications numériques le Traité de la Construction des ponts, )

n est aisé de concevoir que ce procédé s'applique à toutes les voûtes , quelle que soit leur forme.

IV. Une voûte étant donnée , déterminer la résistance de ses parties inférieures y dans le

cas -où elles glisseraient sur les piédroits.

Ce problème est analogue au précédent , et se résoudra d'une manière semblable. Égalant les forces (C) et (D) , ou les forces (C) et (E) si on a égard à l'adhérence des mortiers ,' on aura 1-une ou Fautre de ces deux équations d'équilibre

qui devront être satisfaites pour que la voûte puisse subsister. Ainsi , faisant une hypo- p thèse sur la position du point K , ce qui donnera les valeurs des quantités (a^^ , x,, , jr^, VI Us. et a^ y on exprimera les autres quantités , soit en fonction de l'épaisseur F6 = «, de Fie* 5. la voûte à la jiaissance , si on veut faire varier cette épaisseur , soit en fonction de la

hauteur dun massif de maçonnerie dont on pourrait charger le joint F6; Tëquation (6) donnera la valeur de cette épaisseur ou de cette hauteur qui convient à l'équilibre. En faisant de la même manière diverses hypothèses sur la position du point K, on aura autant de valeurs correspondantes pour la quantité dont dépend la résistance de la voûte, La plus grande de ces valeurs sera celle quil faudra adopter pour mettre les parties inférieures dans le cas de résister à la poussée des parties supérieures.

y. Une voiUé étant donnée ^ déterminer sa plus grande et sa plus petite épaisseur,

La complication des formules et les quantités transcendantes introduites par h nature du cercle ne permettant pas de résoudre directement ce problème , on emploiera un tâtonnement , comme on la fait dans les problèmes précédents. Reprenant Téquation (F), on fera, en partant de zéro, différentes hypothèses sur Tépa^isseur BG de la voAte, et on fixera pour chacune l'épaisseur correspondante AD que doivent avoir les piédroits , au moyen du problème III. Les épaisseurs des piédroits formeront une suite de nombres qui , en général , iront en diminuant deppis Tinfini jusqu'à une cer* taine valeur finie qui sera leur minimum , puis augmenteront depuis ce minimum, jusqua rinfini. Si le minimum de Tépaisseur des piédroits se trouvait plus grand que l'épaisseur donnée ÂD, il faudrait en conclure que la voûte ne peut subsister, quelle que soit la valeur qu on donne à BC. Mais si le minimum des épaisseurs des piédroits est au-dessous de AD, il est évident que dans la suite des valeurs de ces épaisseurs il s'en trouvera deux qui seront égales à AD. Les valeurs correspondantes de BC seront les deux limites cherchées.

Dans le cas où la poussée de la voûte tendrait à faire glisser les parties inférieures , on emploierait un procédé absolument semblable , en faisant usage de l'équation d'équi* libre (G) et du problème IV.

VI. -Une voûte étant donnée , déterminer si elle est capable ou non dp porter une

charge donnée.

La solution de ce problème ne peut offrir aucune difficulté d'après ce qui précède. 11 faut observer en premier lieu que la position des joints de rupture dépendant des poids respectifs dont sont chargés les quatre leviers dont le système représente la voûte , cette position varie en même temps que les rapports de ces poids. Cela posé , on fera diverses hypothèses sur la position des joints de rupture, et calculant d'après ces hypothèses quels sont les poids portés par les leviers , on vérifiera si ces poids rendent le moment (B) \ (A), condition sans laquelle la voûte ne pourrait subsister.

Planchb Pour en donner quelques exemples, soit la voûte AGa chargée d'tme certûne VIiij;« épaisseur de matières , en maço^nnerie, terres, pavé, etc. Les poids des parties supé- F16. 6. rieui>es augmentant dans un plus grand rapport que celui des parties in£érieuicés ^ il est

NOTg SUR LA THÉORIE DES VOUTES. '79

visible que la pousaée augmentera. Supposant les joints de rupture pheésen KL ^ii, il faudra vériSw si le moment (B) est jtoijgours > (A) y en supposant ({ne le poids (&' qui chaîne le levier DK est augmente du poids de la charge EG qui répond au pîé* droit, et que (t" qui chai|[e le levier KG est augmenté du poids de la charge. LF. qui répond à la partie supérieure. Et comme l'effet d une serahUblo surcharge est en général ^ de faire remonter les joints de rupture vers la clef , il faudra faire particulièrement cette vérification , en prenant le point K au-deasus de la position qu-il aurait si la voûte n était point chargée. On aura d ailleurs égard dans. cette opération au déplacement du centre de gravité des poids portés par les leviers , résultant de FadditicKn des -charges EG, LF.

Si la charge , au heu d'être répartie sur toute la longueur de la voàte , était seule-» p ment placée sur le sommet, son effet serait encore d'augmenter la poussée. Mais ici la yi Us. résistance des piédroits ne recevrait aucime augmentation. Il faudrait donc , plaçant les Fig. 7. joints de rupture dans un endroit quefconque KL , examiner si , |a' .représentant seule* ment le poids de la portion de voàte D L , le moment (B) se trouve toujours plus grand que (A) , en supposant que pL représente le poids de la portion KG ^ augmenté de la moitié de celui de la charge CF , le centre de gravité de (&" étant rapproché du sommet suivant ^e le demande le, rapport du poids CK à celui de CF,

Dans la plupart des voûtes , et particulièrement dans celles 4es ponts , on chaire les reins dun massif de maçonnerie EFC, efc. Si la voûte est en plein, cintre, , ou peu Planche surbaissée, ce massif augmentant très«peu le poids des parties supérieures^ et étant VI bis. porté pi^qua entièrement par les parties inférieures , n'augmente point la poussée > en ^'^* ^' sorte >que son addition n'exige aucune augmentation dans l'épaisseur des piédroits,, et quelquefois même permettrait de dimii^uer cette épaisseur s'il était construit avant que la voûte ne fût dédntrée. Mais il n'en est pas de même pour les voûtes très-surbaissées , et particulièrement pour celles en arc de cercle.

L'addition du massif EFC, tf/c, augmentant proportionnellement beaucoup plus le Planche poids des parties agissantes que celui des parties résistantes , la poussée augmenterait. VI bis. Il faudrait donc vérifier ,' de la manière indiquée ci*dessus , si l'augmentation de cette ^'^* 9* poussée ne rend pas le moment (A) > (B)> et dans le cas où cela arriverait, augmenter convenablement l'épaisseur des piédroits.

Si la charge additionnelle ne portait que sur les piédroits, il est évident quelle n'aurait d'autre effet que d'augmenter leur résistance ; ainsi , non seulement on n'aurait point' à craindre que la poussée augmentât , mais encore on pourrait diminuer l'épaisseur de ces piédroits, dans lesquels l'augmentation du poids suppléerait à la diminution de son bras de levier.

jMais si celte charge, quoique ne portant que sur les -parties résistantes, et conséquemment ne pouvant augmenter la poussée de la voûte , était teUe que son centre de gravité tombât. en dedans des points A. et â , elle pourrait en occasioner la rupture par yi Us un effet dont je n'ai pas encore parlé, et qui cepen4sint ne doit pas être paseé sous Fig. 10. silence. Soient alors KL et kl les joints dans lesc|uels la séparation des parties supé-

i8o LA SCIENCE DES INGÉNIEURS,

rieure et inférieure doit se faire. Les parties AE, ae^ tendant à tomber en dedans en tournant autour des points A et a , les points L et / tendront à se rapprocher. Si la portion de Toùte KGk était dune seule pièce, par l'effet de ce rapprochement die se soulèverait Terticalement en glissant sur les arêtes L, /. En la supposant de deux * pièces séparées par un joint placé en G B , ce glissement naura pas lieu , et ces deux pièces se soulèyeront en s'appuyant lune contre l'autre en B , et portant contre les parties inférieures en L, /. Ce mouyement continuera jusqu'à ce que les parties AE, ae^ aient pris une inclinaison telle que la chute totale de la voûte ait lieu. En sorte quç , si on joint les axes de rotation A, L, B, /, a , par des lignes droites , le système des quatre leviers AL« LE, a/, /B, dont chacun serait chargé du poids de la portion de voûte correspondante , représentera le système de la voûte. La considération de ce système conduira à une équation d'équilibre analogue à l'équation (F) , et qui devra être vérifiée pour que la voûte puisse subsister. Il faudra donc s'assurer , dans le cas où les reins d'une voûte supporteraient une charge additionnelle trè$*considérable , si son épaisseur est assez grande pour, que cette voûte ne soit point rompue et son sommet soulevé par l'effet de cette charge. La position des points de rupture est donnée dans ce cas par la condition que le moment (B) y soit le plus grand possible par rapport au moment (A) , et il sera nécessaire pour que le nouvel équilibre que je viens de considérer puisse subsister, et que le premier reste toujours plus petit que le second.

Enfin il pourrait se faire que la voûte portât un fluide dont la pression s'exerce perpendiculairement aux surfaces. Il faudrait alors, supposant le joint de rupture placé Planche en KL, déterminer la pression que supporterait DL, et qui serait dirigée suivant une VI ùis. certaine ligne telle que pq. On composera ensuite cette force avec le poids (a' de la portion DK , et le moment de la résultante de ces deux forces, pris par rapport au point D , remplacera celui qui a été représenté ci-dessus par (jl' a'. On fera une opé- . ration semblable pour la partie supérieure KG, c'est-à-dire, qu'on cherchera la valeur de la pression qui a lieu sur LG, et qui sera dirigée suivant une ligne telle que st; puis on prendra la résultante de cette force et du poids (a'' de la portion de voûte KG. GeUe résultante, au point où elle rencontre le levier KG, pourra être décomposée en deux forces , l'une horizontale , qui sera détruite par une force égale fournie par l'autre moitié de là voûte , et l'autre verticale , qui remplacera le poids |i.' , considéré dans le problème I"". On examinera donc si la poussée résultant de Faction de cette force verticale ne rend point le moment (A) > (B), ce qui empêcherait l'équilibre de subsister dans la voûtç.

S'il y avait de l'eau non seulement en dehors de la voûte , mais en dedans , comme cela a lieu pour les voûtes des ponts, l'effet de ce fluide étant de diminuer la pesanteiu' spécifique des parties de la voûte qui y sont plongées ^ il faudrait avoir égard à cette circonstance.

J'ai supposé dans ce qui précède que la poussée de la voûte tend à renverser les parties inférieures. Si elle tendait à les faire glisser, on emploierait, pour examiner l'effet

NOTE SUR LA THÉORIE DES VOUTES. i8i

d'une chaîne additk>nneUe , des considérations analogues à celles que je viens d'exposer, et la seule difFérence serait qu'il faudrait avoir égard à d'autres conditions d'équilibre indiquées dans les problèmes II et lY.

Il est facile de juger , par ce qui précède , de la manière dont il faudrait s'y prendre pour établir l'équilibre dans une voûte où il n'existerait point y sans rien changer à ses dimensions. On y parviendrait en augmentant convenablement par des charges additionnelles le poids des parties qui tendent à se soulever ou à glisser.

VU. LHntrados d*une voûte' étant donnée déterminer Vextrados par la condition que

cette voiUe n'ait aucune poussée.

Soit donné l'intrados ABa d'une voftte, et la direction des joints des vousseirs, et Planche supposons que le joint de rupture soit placé dans un endroit quelconque , tel que KL. VI bis. Il est évident que le poids de la portion KG ne peut occasioner de poussée quau- ^'®' '^' tant que son centre de gravité tombe entre les points K et C. Donc, si la ligne CL a été tracée de manière à ce que le centre de gravité de la pojrtion KG tombe toujours en dehors du point K, quel que soit le lieu du joint KL y la partie supérieure n'exercera aucun effort qui tende à renverser les parties inférieures.

Si c'était lextrados qui fût donné y et qu'il fallût déterminer la forme de Tintràdos pour que la voûte ne produisît point de poussée , le problème se résoudrait encore de la même manière.

Ces problèmes sont peu susceptibles d'application , parce qu'il sera toujours plus convenable de s'opposer à la poussée d'une voûte en chargeant les piédroits^ ou en les faisant plus épais y que de déterminer la forme de l'extrados , de manière que cette poussée soit nulle.

VIII. Une vouie étant donnée y déterminer la valeur des pressions que, supportent les vôussoirs dans ses différentes parties»

On voit par le problème I" que la force horizontale avec laquelle les parties supérieures de la voûte repoussent les parties inférieures , a pour expression

Kp. (H)

cette force est évidemment celle avec laquelle les deux moitiés de la voûte appuient Tune contre l'autre au sommet , et représente par conséquent la pression supportée par la pierre qui s'y trouve placée.

Pour avoir la valeur de la pression qui a lieu dans les reins près les joints de rupture y il faut observer que le levier KG porte le poids \f!' ; ce poids , décomposé dans le sens de ce levier, donne pour la pression qu'il occasione au point K,

iSa LA SCIENCE DES INGÉNIEURS,

Enfin , à r^ganl de la pMSsion ^ s €swc6 iur las pointt D , ^; par refiCet du poids etde la poussée de la Yoùle, et qui es( dirigée suiTaat les leviers DK, dA^ onm déjà obtenu dans le problème II son expression , qui est, en cliangeant les aceents ,

,. [v.^.,"(. + .'i)]l^pZ. (le)

Il est aisé de concevoir que la plus |[rande valeur de ces forces a lieu dans les cas où les points K et A: sont les joints de rupture , et que leurs expressions sont les mêmes lorsque les parties inférieures de la voûte doivent glisser, en changeant seulement les accents des lettres.

YI bis. ^^ pourrait proposer beaucoup d'autres problèmes sur les voûtes ; maïs je finirai par

FiG» i3, oelui«ci i qui peut être très»ntile dans la pratique.

IX. Une vo&te étant donnée y déterminer la pression que supporte son cintre en charpente dans les diiferses époques de la constructiom.

On sait que les premières assises d'une voûte se soutiennent sans le secours du cintre , de sorte qu'il n'en reçoit aucune charge jusqu'à ce que le plan de joint fasse avec l'horizon un angle tel^ que sa tangente trigonométrique soit égale au rapport du frottement à la pression^ Il parait que ^ quand les vosissoirs sont posés sur cales , et quand ils sont mis à sec les uns sur les autres , ce rapport doit être également évalué à très*pen près à 0)8 (i); d'où il résulte que le voussoir qui commence à faire porter au cintre une partie de son poids , doit avoir son plan de joint incliné à l'horizon d environ 4> grades. Quant à la charge soutenue par le cintre , il est visible que nommant s l'angle d'inclinaison du plan de joint inférieur, m le poids du voussoir, ety*le rapport du frottement à la pression normale , cette charge est égale à une force qui agit perpendiculairement à la surfGK^ du cintre , et qui a pour expresssion

m {sin. 9 — fcos, 6).

La charge du cintre s'évaluera en calculant la Talenr de cette expression pour les différentes assises qui seront posées successivement , jusqu'à ce qu'on soit arrivé à un voussoir M tellement incliné , que la verticale passant par son centre de gravité tombe sur l'arête R du voussoir immédiatement inférieur. Alors il arrivera de deux choses l'une : si l'angle TRE formé par la surface du cintre avec une ligne horizontale DE est plus petit que 4^ grades , le voussoir M se soutiendra sur le cintre sans porter sur les voussoirs inférieurs ; mais si cet angle est plus grand , les voussoirs inférieurs por-

(i) Voye» le M^moife de Peronoet sur le cintreipeQt et le ^écintrenieiit des ponts , et ie Trtîté de U CoDstniction des ponts, tome i*', page 343.

NOTE SUR LA THÉORIE DES VOUTES. i83

teroot^ne partie du poids du Toustoir M. U est facile de s'assareripiele dernier decei deux cas n'arrivera presque jamais , et que le premier est le seul qu'il faille preadm «n considëf*atioiu A partir du vaussoir M ^ la charge du cintre s espi&era donc par le poids entier des voussoirs posés «uccessivemeat* La position du vouasoir M dépend d'aiikurs dé la courbure de la vo&te et du rapport des dimensions des voussoirs.

Mais, si dans le premier moment le vouscoir M ,et les suivants n'exereeat aucune action sur les vonswnrs inférieurs, il n'en est pas de même lorsque le tassement dti cintre vient i faire des progrès sensibles. Ck>mme ce tassement ne peut s'opéi«r sans que l'arc AS ne vienne à se raccourcir, cet arc résiste comme une portion de voûte à k pression qui s'exerce à son extrémité supérieure. Tant que cette pression n'est pas assez forte , il conserve sa forme et sa position , et ce sont les voussoirs situés au «dessus de M qui sont forcés de céder en se déversant un peu. Mais dès qu'on a posé au-dessus de M ua assez grand nombre d'assises pour que leur stabilité soit supérieure à la résistance de la portion de voûte AS, cette dernière est forcée de se briser en deux parties qui s'écartent du cintre, et il s'établit deux p<Mntsde rupture aux extrémités AD et R S, et un troisième en un certain joint tel que KrL» La position de ce dernier ioint se détef" p minera d'ailleurs évidemment par la condition que les moments de stabilité des deux yj ^^^ panies AL et KS,,pris par rapport au point B , soient égaux. Fig. i4<

Il est visible maintenant que la partie inférieure AR du cintre se trouvera entière* ment dégagée ,- mais que la partie RB, outre le poids des Toussoirs RX, supporlara encore une certaine pression résultante de la jioussée de la voûte rampante AS. Il sem facile, connaissant le poids et la forme de la portion KS, d'arvoir la valeur de cette pression, qu'on pourra Concevoir dirigée suivant la ligne S F perpendiculaire an joint SR , laquelle rencontrera en F la verticale passant par le centre de gravité commun des youssoîrs RX. Supposant ensuite la pression qui s'exerce suivant S F, et le poids des voussoirs RX, appliqués au point de rencontre F de leurs. directions, on prendra la résultante de ces deux £Drces, qui sera dirigée suivant une ligne F H, et représenieiala charge totale que supporte le cintre. Une force égale sera fournie par l'autre moitié de la voûte.

Les effets dont nous venons de parler se présentent également dans une voûte en plein cintre , en anse de panier et en arc de cercle , à moins que cette dernière ne soit formée par un arc tellement surbaissé, -que le premier youssoir^ à partir des naissances ,~ commence à porter entièrement sur le cintre. Alors la charge du cintre est due au poids total des voussoirs, et le calcul de cette charge est plus simple.

Circonstances phjrsiques de la Construction des "voûtes.

J'ai supposé dans les considérations précédentes que les voûtes étaient composées de voussoirs 'par£aiitément durs y et j'ai fait abstraction tant du degré de consistance de la pierre qui ne lui permet que de supporter une pression déterminée , que de la com- ' pressibilité des cales et des mortiers qui remplissent les joints. Je vais à présent exami*

i84 LA SCIENCE DES INGÉNIEURS,

na: quelles modificatioiis ces circonstances physiques peuvent apporter aui résultats

ci-dessus.

Il faut distinguer en premier lieu deux manières de construire les voûtes , dont il résulte des effets très-différents, i^ Ou on emploie des pierres qui ont exactement la forme qui convient à chaque voussoir d*après l'épure de la voûte , et qui sont posées les unes sur les autres , en se touchant sur toute la surface de leurs plans de joints ; 2^ ou bien on emploie des pierres dont les joints nont pas été taillés avec beaucoup d'exactitude y et qui ne portent les unes contre les autres que par l'intermédiaire de quelques cales et d'un lit de mortier, qui sont toujours plus ou moins compressibles.

Dans le premier cas, en supposant que les conditions d'équilibre de la voûte , telles qu'elles sont données dans les problèmes précédents , aient été remplies , il ne pourra s'y manifester aucun mouvement après la construction : il n'y aura point de tassement, et auprès même des points de rupture les pierres porteront exactement l'une contre l'autre dans toute la longueur des joints. Biais il pourra arriver que les dimensions données à certaines parties de la voûte soient trop faibles pour que la pierre supporte k pression qui y a lieu. C'est ce qu'on vérifiera par le moyen des expressions (G) ^ (I) , (K) , ' du problème VIII , en comparant la force de la pierre d'après la surface des joints à la pression qu'elle supporte , et dont ces expressions donnent les valeurs. On se convaincra facilement au surplus , par le calcul , que dans les cas ordinaires la force des pierres .

calcaires employées dans les constructions est toujours supérieure aux pressions aux- ;

quelles elles se trouvent exposées dans les voûtes ; mais c'est d'après le rapport de ces '

pressions à cette force qu'on pourra déterminer les limites de l'ouverture et du surbaissement qu'il est possible de donner à une voûte (f).

Quand on emploie le second genre de construction , il arrive , à raison de la compressibilité des joints , et quoique les conditions de l'équilibre de la voûte aient été satisfaites , qu'il s'y manifeste des tassements. Le resserrement des joints dans les parties inférieures produit le même effet que si ces parties cédaient à la poussée , en sorte que les parties supérieures s'abaissent de la même manière que si la voûte se rompait , et ces mouvements ne s'arrêtent qu'après que les joints ont acquis toute leur compression. U est aisé de juger , d'après ce qui précède , des circonstances qui accompagneront ces mouvements , et de prévoir i^ qu'il s'établira de chaque côté dans les reins un point de rupture près duquel les voussoirs ne porteront les uns contre les autres que par leur arête intérieure , et où les joints s'ouvriront à l'extrados ; 2^ qu'à la dé le joint s'ouvrira à l'intrados, les voussoirs ne s'appuyant l'un contre l'autre que sur leur arête supérieure ; 3^ que les piédroits ne porteront sur la fondation que par l'arête extérieure de leur base. ,

La connaissance de ces effets indique les précautions qu'on doit prendre dans l'exécution. On voit d'abord ^u'il faut surhausser la voûte , afin qu'après le tassement

(i) Ob tfOOTen dans le livre saiTtnt les norioiu nécesaairet tiir U force dea pierres.

NOTE SUR LA THÉORIE DES VOUTES. i85

eHe reyienne à la forme qui lui a été assignée d après Tépure. Il faut aussi avoir ^rd aux divers resserrements ou ouvertures qui auront lieu dans les joints , et en faisant ces joints plus larges dans les endroits où ils doivent se resserrer , et plus étroits dans ceux où ils doivent s'ouvrir , les obliger à offrir par-tout la même épaisseur après que le tassement s est opéré. On doit encore donner au derrière de la fondation des .piédroits un large empattement, pour prévenir leffet de la poussée, dont.Teffort s^ reporte entièrement à cet endroit.

Les résultats du tassement d'une voûte obligent non seulement à prendre dans leur exécution certaines précautions dont je viens' d'indiquer les principales, mais ils peuvent encore influer sur la déternlination des dimensions des parties de la voûte , et particulièrement de l'épaisseur au sommet. Pour le faire concevoir , je remarquei-ai que, en raison du tassement , les voussoirs auprès des joints de rupture, qui devraient porter les uns contre les autres sur toute la surface de leurs plans de joint , ne portent plus que sur une portion de cette surface , d'autant plus petite que le tassement est plus grand , et qui se réduirait même à une arête si ce tassement était très- , considérable. 11 résulte de cette circonstance que la pression qui a lieu près de ces points , au lieii de se répartir sur toute la surface du joint , n'étant plus portée que par une petite portion de cette surface , tend à faire éclater les voussoirs , et c'est ce qui arrive effectivement dans les grandes voûtes quand la pierre n'est pas très-bonne , et que le tassement est considérable. II j a donc , indépendamment même de la crainte de voir la forme de la voûte altérée, et les joints présenter des largeurs irrégulières , un motif très-puissant pour rendre le tassement d'une voûte le plus faible possible. Or , il est aisé de voir que , toutes choses égales d'ailleurs , ce tassement sera d'autant moins grand que l'épaisseur de la voûte au sommet sera plus considérable. Car, soit la voûte KG K, le tassement dépendra du resserrement des joints Pla.nche d'après lequel les longueurs des lignes KG, kc ^ diminuant d'une certain^ quantité , ^I ^''^• leur point de jonction G s'abaissera. Mais plus l'angle KG it sera petit , et moins, pour * ' '

une diminution donnée de la longueur de ses côtés KG , A* c ^ le point G sera forcé de s'abaisser. Donc , si on augmente l'épaisseur BC , le resserrement des joints restant le même , le tassement de la voûte diminuera. On voit par cette considération que,' pour empêcher que par l'effet d'un trop grand tassement la pression horizontale qui a liçu sur B G ne soit uniquement supportée par l'arête G , ce qui pourrait faire éclater la pierre , on est obligé de donner à la voûte une certaine épaisseur, laquelle peut être plus grande que celle qui lui serait nécessaire pour- l'équilibre. G'est par la même raison qu'on doit augmenter dans la pratique les épaisseurs des piédroits indiquées par le calcul , afin que la poussée de la voûte ne soit pas soutenue seulement sur l'arête extérieure de la base , où la pierre s'écraserait , mais puisse se répartir sur une certaine surface. Malheureusement ces effets , qui dépendent principalement des qualités des matériaux ', ne sont guère de nature à être soumis au calcul , et il faut ^ avoir recours , pour les apprécier , aux résultats de l'expérience et aux observations faites dans la construction des grande^ voûtes.

i86 LA SCIENCE DES INGÉNIEURS,

On doit appliquer aux renTorsements des piédroits des voftles rd>«erTation faite , dans la note à la fin du livre précédent, sur le renversement des murs de terrasse , en remarquant que si le piédroit A E ^îent à tourner sur Tarète D , il ne sera pas soulevé en entier , à moins que son épaisseur ne soit très-peu considérable et que les pierres ne fassent patpain , ou que l'adhésion des mortiers ne soit suffisamment grande. Ce piédroit tendra à se partager suivant le plan D T , incliné de la moitié dun angle droit , en sorte que la partie ADT ne sera point soulevée. Donc , on ne doit point en tenir compte dans l'évaluation de la force du piédroit , ce qui est une nouvelle raison de. lui donner une épaisseur plus grande que celle qui aurait été déterminée par le problème II.

On trouvera de plus grands développements sur la construction des voûtes dans le Traite de la Construction des Ponts , livre II , chap. III et IV , livre III , chap. I^ y et livre IV, chap. IV. (iV).

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