CHAPITRE V L'Expérience et la Géométrie
1. Dans les lignes qui précèdent, j'ai déjà à diverses reprises cherché à montrer que les principes de la géométrie ne sont pas des faits expérimentaux et qu'en particulier le postulatum d'Euclide ne saurait être démontré par l'expérience.
Quelque péremptoires que me paraissent les raisons déjà données, je crois devoir insister parce qu'il y a là une idée fausse profondément enracinée dans bien des esprits.
2. Qu'on réalise un cercle matériel, qu'on en mesure le rayon et la circonférence, et qu'on cherche à voir si le rapport de ces deux longueurs est égal à iz, qu'aura-t-on fait ? On aura fait une expérience, non sur les propriétés de l'espace, mais sur celles de la matière avec laquelle on a réalisé ce rond, et de celle dont est fait le mètre qui a servi aux mesures.
l'expérience et la géométrie
3. La géométrie et l'astronomie. — On a également posé la question d'une autre manière. Si la géométrie de Lobatchevsky est vraie, la parallaxe d'une étoile très éloignée sera finie; si celle de Riemann est vraie, elle sera négative. Ce sont là des résultats qui semblent accessibles à l'expérience et on a espéré que les observations astronomiques pourraient permettre de décider entre les trois géométries.
Mais ce qu'on appelle ligne droile en astronomie, c'est simplement la trajectoire du rayon lumineux. Si donc, par impossible, on venait à découvrir des parallaxes négalives, ou à démontrer que toutes les parallaxes sont supérieures à une certaine limite, on aurait le choix entre deux conclusions : nous pourrions renoncer à la géométrie euclidienne ou bien modifier les lois de l'optique et admettre que la lumière ne se propage pas rigoureusement en ligne droite.
Inutile d'ajouter que tout le monde regarderait celte solution comme plus avantageuse.
La géométrie euclidienne n'a donc rien à craindre d'expériences nouvelles.
4. Peut-on soutenir que certains phénomènes, , possibles dans l'espace euclidien, seraient impossibles dans l'espace non euclidien, de sorte que l'expérience, en constatant ces phénomènes, contredirait directement l'hypothèse non euclidienne? Pour moi, une pareille question ne peut se poser. A mon sens elle équivaut tout à fait à la suivante, dont l'absurdité saute aux yeux de tous : y a-t-il
des longueurs que l'on peut exprimer en mètres et centimètres, mais que l'on ne saurait mesurer en toises, pieds et pouces, de sorte que l'expérience, en constatant l'existence de ces longueurs, contredirait directement cette hypothèse qu'il y a des toises partagées en six pieds ?
Examinons la question de plus près. Je suppose que la ligne droite possède dans l'espace euclidien deux propriétés quelconques que j'appellerai A etB; que dans l'espace non euclidien elle possède encore la propriété A, mais ne possède plus la propriété B; je suppose enfin que, tant dans l'espace euclidien que dans l'espace non euclidien, la ligne droite soit la seule ligne qui possède la propriété A.
S'il en était ainsi, l'expérience pourrait être apte à décider entre l'hypothèse d'Euclide et celle de Lobatchevsky. On constaterait que tel objet concret, accessible à l'expérience, par exemple un pinceau de rayons lummeux, possède la propriété A; on en conclurait qu'il est rectiligne et on chercherait ensuite s'il possède ou non la propriété B.
Mais il n'en est pas ainsi, il n'existe pas de propriété qui puisse, comme cette propriété A, être un critère absolu permettant de reconnaître la ligne droite et de la distinguer de toute autre ligne.
Dira-t-on par exemple : « cette propriété sera la suivante : la ligne droite est une ligne telle qu'une figure dont fait partie celte ligne ne peut se mouvoir sans que les distances mutuelles de
L'EXPÉRIENCE Et LA GÉOMÉTRIE
ses points varient et de telle sorte que tous les points de cette ligne restent fixes? »
Voilà en effet une propriété qui, dans l'espace euclidien ou non euclidien, appartient à la droite et n'appartient qu'à elle. Mais comment reconnaîtra-t-on par expérience si elle appartient à tel ou tel objet concret? Il faudra mesurer des distances, et comment saura-t-on que telle grandeur concrète que j'ai mesurée avec mon instrument matériel représente bien la distance abstraite?
On n'a fait que reculer la difficulté.
En réalité la propriété que je viens d'énoncer n'est pas une propriété de la ligne droite seule, c'est une propriété de la ligne droite et de la distance. Pour qu'elle pût servir de critère absolu, il faudrait que l'on pût établir non seulement qu'elle n'appartient pas aussi à une autre ligne que la ligne droite et à la distance, mais encore qu'elle n'appartient pas à une autre ligne que la ligne droite et à une autre grandeur que la distance. Or cela n'est pas vrai.
Il est donc impossible d'imaginer une expérience concrète qui puisse être interprétée dans le système euclidien et qui ne puisse pas l'être dans le système lobatchevskien, de sorte que je puis conclure :
Aucune expérience ne sera jamais en contradiction avec le postulatum d'Euclide ; en revanche aucune expérience ne sera jamais en contradiction avec le postulatum de Lobatchevsky.
