Mais il ne suffit pas que la géométrie eucli

LA SCIENCE ET l'hïPOTHÈSE

dienne (ou non euclidienne) ne puisse jamais être directement contrcdile par l'expérience. Ne pourrait-il pas se faire qu'elle ne puisse s'accorder avec l'expérience qu'en violant le principe de raison suffisante. et celui de la relativité de l'espace?

Je m'explique : considérons un système matériel quelconque; nous aurons à envisager d'une part « l'état » des divers corps de ce système (par exemple leur température, leur potentiel électrique, etc.), et d'autre part leur position dans l'espace ; et parmi les données qui permettent de définir cctle position, nous distinguerons encore les dist mces mutuelles de ces corps qui définissent leurs posilions relatives, et les conditions qui définissent la position absolue du système et son orientation absolue dans l'espace.

Les lois des phénomènes qui se produiront dans ce système pourront dépendre de l'état de ces corps et de leurs distances mutuelles ; mais, à cause de la relativité et de la passivité de l'espace, elles ne dépendront pas de la position et de l'orientation absolues du système.

En d'autres termes, Tétat des corps et leurs distances mutuelles à un instant quelconque dépendront seulement de l'état de ces mêmes corps et de leurs distances mutuelles à l'instant initial, mais ne dépendront nullement de la position absolue initiale du système et de son orientation absolue initiale. C'est ce que je pourrai appeler, pour abréger le langage, la loi de relativité.

J'ai parlé jusqu'ici comme un géomètre eucli-

l'expérience ET LA GÉOMÉ'JBRIE

dien. Mais je l'ai dit, une expérience, quelle qu'elle soit, comporte une interprétation dans l'hypothèse euclidienne; mais elle en comporte une également dans l'hypothèse non euclidienne. Eh bien, nous avons fait une série d'expériences, nous les avons interprétées dans l'hypothèse euclidienne, et nous avons reconnu que ces expériences ainsi interprétées ne violent pas cette « loi de relativité » .

Nous les interprétons maintenant dans l'hypothèse non euclidienne : cela est toujours possible; seulement les distances non euclidiennes de nos différents corps dans cette interprétation nouvelle ne seront généralement pas les mêmes que les distances euclidiennes dans l'interprétation primitive.

Nos expériences, interprétées de cette manière nouvelle, seront-elles encore d'accord avec notre « loi de relativité »? Et si cet accord n'avait pas lieu, n'aurait-on pas encore le droit de dire que l'expérience a prouvé la fausseté de la géométrie non euclidienne.

Il est aisé de voir que cette crainte est vaine; en effet, pour qu'on puisse appliquer la loi de relativité en toute rigueur, il faut l'appliquer à l'univers entier. Car si on considérait seulement une partie de cet univers, et si la position absolue de cette partie venait à varier, les distances aux autres corps de l'univers varieraient également, leur influence sur la partie de l'univers envisagée pourrait par conséquent augmenter ou diminuer,

ce qui pourrait modifier les lois des phénomènes qui s'y passent.

Mais si notre système est l'univers entier, l'expérience est impuissante à nous renseigner sur sa position et son orientation absolues dans l'espace. Tout ce que nos instruments, si perfectionnés qu'ils soient, pourront nous faire connaître, ce sera l'état des diverses parties de l'univers et leurs distances mutuelles.

De sorte que notre loi de relativité pourra s'énoncer ainsi :

Les lectures que nous pourrons faire sur nos instruments, à un instant quelconque, dépendront seulement des lectures que nous aurions pu faire sur ces mêmes instruments à l'instant initial.

Or un pareil énoncé est indépendant de toute interprétation des expériences. Si la loi est vraie dans l'interprétation euclidienne, elle sera vraie aussi dans l'interprétation non euclidienne.

Qu'on me permette à ce sujet une petite digression. J'ai parlé plus haut des données qui définissent la position des divers corps de système; j'aurais dû parler également de celles qui définissent leurs vitesses ; j'aurais eu alors à distinguer la vitesse avec laquelle varient les distances mutuelles des divers corps; et d'autre part les vitesses de translation et de rotation du système, c'est-à-dire les vitesses avec lesquelles varient sa position et son orientation absolues.

Pour que l'esprit fût pleinement satisfait, il aurait fallu que la loi de relativité pût s'énoncer ainsi :

l'expérience et la géométrie

L'état des corps et leurs distances mutuelles à un instant quelconque, ainsi que les vitesses avec lesquelles varient ces distances à ce même instant, dépendront seulement de l'état de ces corps et de leurs distances mutuelles à l'instant initial, ainsi que des vitesses avec lesquelles variaient ces distances à cet instant initial, mais elles ne dépendront ni de la position absolue initiale du système, ni de son orientation absolue, ni des vitesses aveclesquelles variaient cette position et cette orientation absolues à l'instant initial.

Malheureusement la loi ainsi énoncée n'est pas d'accord avec les expériences, au moins telles qu'on les interprète d'ordinaire.

Qu'un homme soit transporté sur une planète dont le ciel serait constamment couvert d'un épais rideau de nuages, de telle façon qu'on ne puisse jamais apercevoir les autres astres; sur cette planète on vivra comme si elle était isolée dans l'espace. Cet homme pourra cependant s'apercevoir qu'elle tourne, soit en mesurant l'aplatissement (ce qu'on fait ordinairement en s'aidant d'observations astronomiques, mais ce qui pourrait se faire par des moyens purement géodésiques), soit en répétant l'expérience du pendule de Foucault. La rotation absolue de cette planète pourrait donc être mise en évidence.

Il y a là un fait qui choque le philosophe, mais que le physicien est bien forcé d'accepter.

On sait que, de ce fait, Newton a conclu à l'existence de l'espace absolu ; je ne puis en aucune

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façon adopter cette manière de voir, j'expliquerai pourquoi dans la troisième partie. Pour le moment ie n'ai pas voulu aborder cette difficulté.

J'ai donc dû me résigner, dans l'énoncé de la loi de relativité, à confondre les vitesses de toutes sortes parmi les données qui définissent l'état des corps.

Quoi qu'il en soit, cette difficulté est la même pour la géométrie d'Euclide et pour celle de Lobatchevsky; je n'ai donc pas à m'en inquiéter et ie n'en ai parlé qu'incidemment.

Ce qui importe, c'est la conclusion : l'expérience ne peut décider entre Euclide et Lobatchevsky .

En résumé, de quelque façon qu'on se retourne, il est impossible de découvrir à l'empirisme géométrique un sens raisonnable.

6. Les expériences ne Jnous font connaître que les rapports des corps entre eux; aucune d elles ne porte, ni ne peut porter, sur les rapports des corps avec l'espace, ou sur les rapports mutuels des diverses parties de l'espace.

« Oui, répondez-vous à cela, une expérience unique est insuffisante, parce qu'elle ne me donne qu une seule équation avec plusieurs inconnues ; mais quand j'aurai fait assez d'expériences, j'aurai assez d'équations pour calculer toutes mes inconnues. »

Connaître la hauteur du grand mât, cela ne suffit pas pour calculer l'âge du capitaine Quand vous au-" mesuré tous les morceaux de bois du navire, vous aurez beaucoup d'^Uons ma vous ne connaîtrez pas mieux cet âge. Toute vo mesures ayant porté sur vos morceaux de bois ne

l'expérience et la géométrie

peuvent rien vous révéler que ce qui concerne ces morceaux de bois. De même vos expériences, quelque nombreuses qu'elles soient, n'ayant porté que sur les rapports des corps entre eux, ne nous révéleront rien sur les rapports mutuels des diverses parties de l'espace.

7. Direz-vous que, si les expériences portent sur les corps, elles portent du moins sur les propriétés géométriques des corps?

Et d'abord, qu'entendez-vous par propriétés géométriques des corps? Je suppose qu'il s'agit des rapports des corps avec l'espace; ces propriétés sont donc inaccessibles à des expériences qui ne portent que sur les rapports des corps entre eux. Cela seul suffirait pour montrer que ce n'est pas d'elles qu'il peut être question.

Commençons toutefois par nous entendre sur le sens de ce mot : propriétés géométriques des corps. Quand je dis qu'un corps se compose de plusieurs parties, je suppose que je n'énonce pas là une propriété géométrique, et cela resterait vrai, même si je convenais de donner le nom impropre de points aux parties les plus petites que j'envisage.

Quand je dis que telle partie de tel corps est en contact avec telle partie de tel autre corps, j'énonce une proposition qui concerne les rapports mutuels de ces deux corps et non pas leurs rapports avec l'espace.

Je suppose que vous m'accorderez que ce ne sont pas là des propriétés géométriques; je suis sûr au moins que vous m'accorderez que ces pro-

LA SCIENCE ET 1,'lIYPOTHÈSE

priétés sont indépendantes de toute connaissance de la géométrie métrique.

Cela posé, j'imagine que l'on ait un corps solide formé de huit tiges minces de fer QA, OB, OC, OD, OE, QF, OG, OH, réunies par une de leurs extrémités 0. Nous aurons d'autre part un second corps solide, par exemple un morceau de bois sur lequel on remarquera trois petites taches d'encre que j'appellerai a, p, y- Je suppose ensuite que Ton constate que l'on peut amener en contact : a p 7 avec AGO (je veux dire par là a avec A, en même temps que p avec G et y avec 0), puisqu'on peut amener successivement en contact a |3 7 avec BGO, CGO, DGO, EGO, FGO, puis avec AHO, BHO, OHO, DHO, EHO, FHO, puis a y successivement avec AB, BC, CD, DE, EF, FA.

Voilà des constatations que l'on peut faire sans avoir d'avance aucune notion sur la forme ou sur les propriétés métriques de l'espace. Elles ne portent nullement sur les « propriétés géométriques des corps ». Et ces constatations ne seront pas possibles si les corps sur lesquels on a expérimenté se meuvent suivant un groupe ayant même structure que le groupe lobatchevskien (je veux dire d'après les mêmes lois que les corps solides dans la géométrie de Lobatchevsky). Elles suffisent donc pour prouver que ces corps se meuvent suivant le groupe euclidien, ou tout au moins qu'ils ne se meuvent pas suivant le groupe lobatchevskien.

Qu'elles soient compatibles avec le groupe euclidien, c'est ce qu'il est aisé de voir.

, 'expébience ET LA GÉOMÉTBIE

Car on pourrait les faire si le corps a. [3 y était un solide invariable de notre géométrie ordinaire présentant la 'iorme d'un triangle rectangle et si les points ABCDEFGH étaient les sommets d'un polyèdre formé de deux pyramides hexagonales régulières de notre géométrie ordinaire, ayant pour base commune ABGDEF et pour sommets l'une G et l'autre H.

Supposons maintenant qu'au lieu des constatations précédentes, on observe qu'on peut comme tout à l'heure appliquer a (3 y successivement sur A GO, BGO, CGO, DGQ, EGO, FGO, AHO, BHO, CHO, DHO, EHO, FHO, puis qu'on peut appliquer a p (et non plus a y) successivement sur AB, BG, CD, DE, EF et FA.

Ce sont les constatations que l'on pourrait faire si la géométrie non euclidienne était vraie, si les corps a p Yj 0 A B C D E F G H étaient des solides invariables, si le premier était un triangle rectangle et le second une double pyramide hexagonale régulière de dimensions convenables.

Ces constatations nouvelles ne sont donc pas possibles si les corps se meuvent suivant le groupe euclidien; mais elles le deviennent si l'on suppose que les corps se meuvent suivant le groupe lobatchevskien. Elles suffiraient donc (si on les faisait) pour prouver que les corps en question ne se meuvent pas suivant le groupe euclidien.

Ainsi, sans faire aucune hypothèse sur la forme, sur la nature de l'espace, sur les rapports des corps avec l'espace, sans attribuer aux corps