L'ANALYSE DANS SES RAPPORTS AVEC LA CHIMIE ET LA BIOLOGIE

Le degré de développement de la Mécanique et de la Physique a permis de donner à presque toutes leurs théories une forme mathématique ; certaines hypothèses et la connaissance des lois élémentaires ont conduit aux relations différentielles qui constituent la forme dernière sous laquelle se fixent, au moins pour un temps, ces théories. Celles-ci ont vu peu à peu leur champ s’agrandir avec les principes de la Thermodynamique. Aujourd’hui, la Chimie tend à prendre à son tour une forme mathématique. Je n'en prendrai comme témoin que le Mémoire

célèbre de Gibbs, sur l’équilibre des systèmes chimiques, d’un caractère si analytique, et où il a fallu quelque effort aux chimistes pour reconnaître, sous leur manteau algébrique, des lois d’une importauce considérable. Il semble que la Chimie soit sortie aujourd’hui de la méthode prémathématique, par laquelle débute toute science, et qu’un jour doive venir où s’ordonneront de vastes théories, analogues à celles de notre Physique mathématique actuelle, mais bien plus vastes et comprenant l’ensemble des phénomènes physico-chimiques,. Il serait prématuré de se demander si l’Analyse trouvera dans leurs développements la source de nouveaux progrès; on ne sait même pas devant quels types analytiques on pourra se trouver. J’ai constamment parlé d'équations diflérentielles régissant les phénomènes; sera-ce toujours là la forme dernière qui condense une théorie ? Je n’en sais certes rien, mais Cependant nous devons nous souvenir que plusieurs hypothèses ont été faites de nature plus ou moins expérimentale ;: parmi elles, il en est une qu’on peut appeler principe de non-hérédité!, qui postule que l'avenir d’un système ne dépend que de son état actuel ou plus brièvement que les accélérations ne dépendent que des positions, Dans

4. Un physicien géomètre d'un rare talent, trop tôt enlevé à la science, Gustave Robin, insistait dans ses leçons de thermodynamique générale sur cette hypothèse d'inhérédilé, qu'il entendait d'ailleurs d’une manière un peu plus large,

certains cas, cette hypothèse n’est pas admissible, au moins avec les grandeurs directement envisagées ; on a même quelquefois abusé, à ce sujet, de la mémoire de la matière, qui se souvient de son passé, ét l’on a parlé en termes émus de la vie d’un morceau d’acier. Différentes tentatives ont été faites pour donner une théorie de ces phénomènes, où un passé lointain semble intervenir. Il n’est peut-être pas impossible que, dans des cas aussi complexes, il faille abandonner la forme des équations différentielles, et se résigner à envisager des équations fonctionnelles plus complexes, où figureront des intégrales qui seront le témoignage d’une sorte d’hérédité. Ce sont des questions sur lesquelles nous aurons à revenir dans les chapitres consacrés spécialement à la Mécanique.

Après avoir parlé de non-hérédité, je n’ose guère toucher la question des applications de l’Analyse à la Biologie. On ne formera point sans doute de sitôt les équations fonctionnelles des phénomènes biologiques d’un type analogue à celles dont je parlais, il y a un moment; les tentatives faites jusqu'ici sont dans un ordre d’idées plus modeste. Cependant l’on s’efforce de sortir du champ purement qualificatif pour introduire des mesures quantitatives. Dans la question de la variation de certains caractères, on se livre à des mensurations et à des mesures statistiques qui se traduisent par des courbes de fréquence. Les modifications de ces

courbes avec les générations successives, leurs décompositions en courbes distinctes, pourront donner la mesure de la stabilité des espèces ou de la rapidité des mutations, et l’on sait quel intérêt s'attache à ces questions dans des recherches botaniques récentes. Il y a dans tout ceci un si grand nombre de paramètres, qu’on se demande si l’on pourra se borner à envisager seulement un nombre pratiquement limité de paramètres. Quelques lois, d’un caractère arithmétique simple, comme celles

de Mendel, relatives à l’hérédité, viennent parfois donner de nouveau confiance dans le vieil aphorisme « que toutes choses s'expliquent par les nombres » ; mais, malgré de légitimes espérances, il est clair que, dans son ensemble, la Biologie est encore loin

d’entrer dans une période vraiment mathématique.

Il n’en est pas de même, d’après certains économistes, pour l'Economie politique. Après Cournot, VEcole de Lausanne a fait un effort extrêmement intéressant pour introduire l’Analyse mathématique dans l'Economie politique. Sous certaines hypothèses, qui conviennent au moins à des cas limités, on trouve dans de savants traités une équation entre les quantités de marchandises et leurs prix, qui rappelle l'équation des vitesses virtuelles en Mécanique : c’est l'équation de l'équilibre écono- - mique. Une fonction des quantités joue dans cette théorie un rôle essentiel rappelant celui de la fonction potentielle. D'ailleurs, les représentants les

plus autorisés de l'Ecole insistent sur l’analogie des phénomènes économiques avec les phénomènes mécaniques ; « comme la Mécanique rationnelle, dit l’un d’eux, considère des points matériels, l’Economie pure considère l’homo æconomicus ». Naturellement, on retrouve là aussi les analogues des équations de Lagrange, moule obligé de toute mécanique. Tout en admirant ces hardis travaux, on se prend à craindre que les auteurs n'aient négligé certaines masses cachées, comme auraient pu dire Helmholtz ét Hertz. Mais, quoi qu'il en advienne, il ÿ à dans ces doctrines une application curieuse des Mathématiques, qui, au moins dans des cas bien circonscrits, a déjà rendu des services.

J'’arrêterai là cette histoire très sommaire de quelques-unes des applications de l'Analyse avec les réflexions qu’elle m'a par moment suggérées. Je suis loin d’avoir été complet; ainsi, j'ai omis de parler du calcul des probabilités qui demande tant de subtilité d'esprit, et dont Pascal se refusait d'expliquer les finesses au chevalier de Méré, parce qu’il n’était pas géomètre. Son utilité pratique est de premier ordre, Son intérêt théorique a toujours été considé-. rable ; il est encore augmenté aujourd’hui, grâce à l'importance prise par les recherches que Maxwell appelait statistical et qui tendent à envisager la Mécanique sous un jour tout nouveau, ne voyant dans ses lois que des probabilités et des moyennes. Nous aurons l’occasion de revenir sur ces questions

On aura pu voir, dans cette esquisse, si rapide qu’elle ait été, l’origine et la raison des liens si profonds qui unissent l'Analyse à la Géométrie, à la - Mécanique et à la Physique, plus généralement à toute science portant sur des grandeurs numériquement mesurables. L'influence réciproque de l'Analyse mathématique et des théories physiques a été à cet égard particulièrement instructive. Que réserve J'avenir? Des problèmes plus difficiles, correspon- . dant à une approximation d’ordre plus élevé, amèneront des complications que nous ne pouvons que vaguement prévoir, en parlant, comme je le faisais tout à l’heure, d'équations fonctionnelles remplaçant nos équations différentielles actuelles. Mais, quoi qu’il arrive, l’Analyse mathématique restera toujours cette langue qui suivant un mot de Fourier, « n'a point de signes pour exprimer les notions con- [uses », langue capable de condenser dans ses symboles un nombre immense de résultals, et douée d’une admirable puissance de transfcrmal!ion et de prévision.